新高考二轮复习真题源导数专题讲义第24讲 最值函数的零点问题（解析版）

第24讲最值函数的零点问题1．已知函数，．（1）当为何值时，轴为曲线的切线．（2）设在，单调递增，求的取值范围．（3）用，表示，中的最小值，设函数，，讨论零点的个数．【解答】解：（1）．设曲线与轴相切于点，，则，，，解得，，因此当时，轴为曲线的切线；（2），导数为，由题意可得在，恒成立，即有的最小值，由的导数为在递增，即有最小值为4，则，解得；（3）当时，，函数，，故在时无零点．当时，若，则（1），（1），（1）（1），故是函数的一个零点；若，则（1），（1），（1）（1），故不是函数的零点；当时，，因此只考虑在内的零点个数即可．①当或时，在内无零点，因此在区间内单调，而，（1），当时，函数在区间内有一个零点，当时，函数在区间内没有零点．②当时，函数在内单调递减，在，内单调递增，故当时，取得最小值．若，即，则在内无零点．若，即，则在内有唯一零点．若，即，由，（1），当时，在内有两个零点．当时，在内有一个零点．综上可得：当或时，有一个零点；当或时，有两个零点；当时，函数有三个零点．2．已知函数，．（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；（3）用，表示，中的最小值，设函数，，讨论零点的个数．【解答】解：（1）若函数的定义域为，则任意，使得，所以△，解得，所以实数的取值范围为．（2）若函数在上单调递减，又因为在上为减函数，所以在上为增函数且任意，，所以，且（1），即，且，解得，所以的取值范围为，．（3）因为当时，，所以，，所以在上无零点，①当时，过点，且对称轴，作出的图象，可得只有一个零点，②当时，过点，且对称轴，当△，即时，只有一个零点，当△，即时，的零点为，由两个零点，，当△，即时，令，解得，，且，，若，即时，函数有3个零点，，，若，即时，函数有1个零点，若若，即时，函数有2个零点，，综上所述，当，，时，只有一个零点，当或时，有两个零点，当，时，有三个零点．3．已知函数，，其中为自然对数的底数．（1）讨论函数的单调性；（2）用，表示，中较大者，记函数，，．若函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围．【解答】解：（1），当时，，在上单调递增，当时，，当，，，，单调递增，当，，单调递减；（2）当时，，，在无零点，当时，（e），（e），若（e），即，则是的一个零点，若（e），即，则不是的零点，当时，，所以此时只需考虑函数的零点的情况．因为，①当时，，在上单调递增．所以：（ⅰ）当时，（e），在上无零点；（ⅱ）当时，（e），又，所以此时在上恰有一个零点；②当时，由（1）知，在递减，，递增，又因为（e），，所以此时恰有一个零点．综上，．4．已知函数，，其中．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，证明；（Ⅲ）用，表示和中的较大值，设函数，，讨论函数在上的零点的个数．【解答】（Ⅰ）证明：设函数，则．令得，则在上，，递增，在上，，递减．所以（1），即．（Ⅱ）证明：当时，，前面的“”仅当时取等号后面的“”仅当时取等号，不能同时取到．所以．（Ⅲ）解：在区间上，，所以，，所以，在区间上不可能有零点．下面只考虑区间上和处的情况．由题意的定义域为，．令可得（负值舍去）．在上，递增，在，上，递减，．①当时，，所以（1）．因为在区间上，，且（1），所以此时存在唯一的零点．②当时，．因为，所以．所以．于是恒成立．结合函数的性质，可知此时存在唯一的零点．③当时，，所以在上递增．又因为（1），，所以在区间上存在唯一的零点．结合函数的性质，可知是唯一的零点．综上所述：当时，在上有唯一的零点；当时，在上也有1个零点．5．已知函数，，其中．（1）讨论函数的单调性，并求不等式的解集；（2）若，证明：当时，；（3）用，表示，中的最大值，设函数，，若在上恒成立，求实数的取值范围．【解答】解：（1），（1分）当时，，，，当时，，，，当时，，（2分）所以当时，，即在上是增函数；（3分）又（3），所以的解集为．（4分）（2）．（5分）由，得，，，（6分）则，即在上为增函数．（7分）故，即．（8分）（3）由（1）知，当时，恒成立，故恒成立；当时，，因为，，要使得恒成立，只要在上恒成立即可．（9分）由，得．设函数，，，则．（10分）令，得．随着变化，与的变化情况如下表所示：0单调递增极大值单调递减所以在上单调递增，在，上单调递减．（11分）在上唯一的一个极大值，即极大值，故．综上所述，所求实数的取值范围为，．（12分）6．已知函数，．（1）证明恒成立；（2）用，表示，中的最大值．已知函数，记函数，，若函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围．【解答】（1）证明：由题得的定义域为，则在上恒成立等价于在上恒成立，．（1分）记，则，．（2分）当时，；时，，故在上单调递减，上单调递增，．（3分）所以（1），即恒成立．（4分）（2）解：由题得，①当时，，此时无零点．（5分）②当时，（e），（e）．当（e），即时，是的一个零点；．当（e），即时，不是的一个零点；．（6分）③当时，恒成立，因此只需考虑在上的零点情况．由．当时，，在上单调递增，且（e），当时，（e），则在上无零点，故在上无零点；当时，（e），则在上无零点，故在上有1个零点；当时，由（e），，得在上仅有一个零点，故在上有2个零点；所以，．（9分）．当时，由得，由时，；当时，，故在上单调递减，在上单调递增；由（e），，得在上仅有一个零点，故在上有2个零点；所以，．（11分）综上所述，时，在上恰有两个零点．（12分）7．已知函数，．（1）若在区间，上的最大值为，求实数的取值范围；（2）设，，记，，为从小到大的零点，当时，讨论的零点个数及大小．【解答】解：（1），在和上单调递增，在上单调递减，的极大值为，的极小值为（2），又（3），若在区间，上的最大值为，则，解得；（2），当时，，此时，在，上有一个零点，；当时，，在上单调递减，在上单调递增，又，，由于，（1），时，，在上有一个零点；又，令，，在，上单调递增，，，（a）．再令，，，在，上单调递增，从而（2），在，上单调递增，（2），则（a）．在上有一个零点，综上所述，当时，有三个零点，，．且．8．已知函数．（1）若，求函数的极大值；（2）定义函数，，其中表示几个数据中的最大者，为自然对数的底数，当时，试探究函数的零点个数．【解答】解：（1）时，，，令，解得：，令，解得：或，故在递减，在，递增，在递减，故（1）；（2）函数在递增，且仅在处有1个零点，且时，，又，，①时，，在递减，且过，，即在时必有1个零点，此时有2个零点，②时，令，得两根为，，则是函数的极小值点，是的极大值点，，现在讨论极大值的情况：，当，即时，函数在恒小于0，此时有2个零点，当，即时，函数在上有1解，此时有3个零点，当，即时，函数在上有2个解，一个小于，一个大于，，函数有2个或3个零点．9．已知函数，．（1）若直线与曲线相切，求实数的值；（2）用，表示，中的最小值，设函数，，讨论零点的个数．【解答】解：（1）依题意，，则曲线在点，处的切线方程为，又，代入整理得，此直线与重合，得，消去得：①，令，则，当时单调递增，当时，单调递减，（1）．由①知，，解得；（2）①当时，，所以，无零点；②当时，（1）（1），从而（1），故为的一个零点；③当时，，则的零点即为的零点．又，所以①当时，，此时在上单调递增，（1），此时无零点；②当时，令，解得：，易知在上单调递减，在上单调递增，又（1），在上无零点，另外，由（1）可知（1）恒成立，即对恒成立，则，所以，故存在，进而存在，使得，即，此时在上存在唯一零点；综上可得：当时，有1个零点；当时，有2个零点．10．已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）记，表示，中的最小值，设，，若函数至少有三个零点，求实数的取值范围．【解答】解：（1）的定义域为，，令，得．①当，即时，；②当，即时，；③当，即时，，综上，当时，的单减区间为和，单增区间为；当时，的单减区间为，无增区间；当时，的单减区间为和，单增区间为．（2）的唯一一个零点是，，，由（1）可得：当时，，此时至多有两个零点，不符合题意；（ⅱ）当时，在定义域上单减递减，此时至多有两个零点，不符合题意；（ⅲ）当时，若（2），即，此时至多有两个零点，不符合题意；若（2），即，此时，即，此时恰好有三个零点，符合题意；若（2），即，此时，，记，所以，所以（a）在上单调递增，所以，此时恰好有四个零点，符合题意，综上，．11．已知函数，．（1）当时，求的单调区间；（2）当时，记函数，，若函数至少有三个零点，求实数的取值范围．【解答】解：（1）令，当时，．，令，得．当，，单调递增；当，，，单调递减；当，，，单调递增．（2）当时，，令，得，．①当，即时，，此时至多有两个零点，不合题意；②当，即时，，此时至多有两个零点，不合题意；③当，即时，若（1），至多有两个零点，不合题意；若（1），得，，恰好有三个零点；若（1），得，（2），．记（a），则（a），（a），此时有四个零点．综上所述，满足条件的实数的取值集合为，．12．已知函数，，其中．（1）讨论函数的单调性；（2）用，表示，的最大值，记，，讨论函数的零点个数．【解答】解：（1），当时，，，则，当时，，，则，当时，（1），所以当时，，在上是增函数；（2）函数的定义域为，由（1）得函数在上单调递增，（1），当时，，又，，所以当时，恒成立，即时，无零点，当时，恒成立，所以的零点即为函数的零点，下面讨论函数在的零点个数：，所以，①当时，因为，，，又在区间单调递减，所以，即当时，，，所以单调递减，由，得：当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，所以，当时，，有（1），（1），当（1）时，函数有1个零点，当时，函数有2个零点，当（1）时，函数有3个零点，②当时，，由①得当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，（1），所以当时，函数有两个零点，③当时，，，，即成立，由（1），所以当时，函数有1个零点，综上所述，当或时，函数有1个零点；当或时，函数有2个零点；当时，函数有3个零点．13．已知函数，，其中．（1）讨论函数的单调性，并求不等式的解集；（2）用，表示，的最大值，记，，讨论函数的零点个数．【解答】解：（1），当时，，，则，当时，，，则，当时，（1），所以当时，，在上是增函数，又（1），所以的解集为．（2）函数的定义域为，由（1）得函数在上单调递增，（1），当时，，又，，所以当时，恒成立，即时，无零点，当时，恒成立，所以的零点即为函数的零点，下面讨论函数在的零点个数：，所以，①当时，因为，，又函数在区间单调递减，所以，即当时，，，所以单调递减，由得：当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，所以，当时，，有（1），（1），当（1）时，函数有1个零点，当（1）时，函数有2个零点，当（1）时，函数有3个零点，②当时，，由①得当，，单调递增，当时，，单调递减，所以，（1），所以当时，函数有两个零点，③当时，，，，即成立，由（1），所以当时，函数有1个零点，综上所述：当或时，函数（1）有1个零点，当或时，函数有2个零点，当时，函数有3个零点．14．已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）用，表示，中的最大值，若函数，只有一个零点，求的取值范围．【解答】解：（1）函数的定义域为，且．当时，对恒成立，所以在上单调递增．当时，令，得，当，时，．当，时，．所以在，上单调递减，在，上单调递增．（2）①当时，，从而，，所以在上无零点．②当时，（1），若，（1）（1），（1）（1），所以是的零点，若，（1）（1），（1）（1），所以不是的零点，③当时，，所以在上零点个数只需要考虑在上的零点个数．在上的零点个数在上实根的个数在上实根的个数，令函数，，则，所以在上单调递减，在上单调递增，又，（1），，当或时，在上无零点，当或时，在上有两个零点，当时，在上有两个零点，综上可得时，在上有1个零点，当时，在上有两个零点，当时，在上有1个零点，则在上有唯一零点，所以的取值范围为，．15．已知函数．（1）求证：；（2）用，表示，中的最大值，记，，讨论函数零点的个数．【解答】证明：（1）：设，定义域为，则，当时，；当时，，故在内是递减函数，在内递增函数，所以是的极小值点，也是的最小值点，所以（1），所以．解：（2）函数的定义域为，，当时，；当时，，所以在内是递减函数，在内是递增函数，所以是的极小值点，也是的最小值点，即（1），若，则，当时，；当时，；当时，，所以，于是只有一个零点．当时，则，当时，，此时；当时，，，此时．所以没有零点．当时，根据（1）知：，而，所以，又因为（1），所以在上有一个零点，从而一定存在，，使得（c）（c），即，即，当时，，所以，从而，于是有两个零点和1．当时，有两个零点．综上：当时，有一个零点；当时，没有零点；当时，有两个零点．16．已知函数，．（1）当，且时，证明：；（2）定义，设函数，，试讨论零点的个数．【解答】（