苏科版八年级上册几何压轴题专题(解析版)

苏科版八年级上册几何压轴题专题（解析版）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（苏科版八年级上册几何压轴题专题（解析版））的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为苏科版八年级上册几何压轴题专题（解析版）的全部内容。八年级几何题目1.如图，点P是等边三角形ABC内一点,且PA=3,PB=4,PC=5,若将4APB1.绕着点B逆时针旋转后得到aCQB,则NAPB的度数..如图1,点M为直线AB上一动点，△PAB，aPMN都是等边三角形，连接BN,（1）求证:AM=BN；（2）分别写出点M在如图2和图3所示位置时，线段AB、BM、BN三者之间的数量关系（不需证明）；（3）如图4,当BM=AB时，证明:MN±AB..如图1,将一块等腰直角三角板ABC的直角顶点C置于直线l上，图2是由图1抽象出的几何图形，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E.(1)4ACD与aCBE全等吗？说明你的理由.(2)猜想线段AD、BE、DE之间的关系.(直接写出答案).(1)问题发现如图1,4ACB和△口6£均为等边三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE,求NAEB的度数.(2)拓展探究如图2,AACB和△口6£均为等腰直角三角形，NACB=NDCE=90°,点A、D、E在同一直线上，CM为aDCE中DE边上的高，连接BE.请求NAEB的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系,并说明理由．C.如图①,4ABC中，AB=AC,NB、NC的平分线交于。点，过。点作EF〃BC交AB、AC于E、F.试回答:(1)图中等腰三角形是.猜想:EF与BE、CF之间的关系是.理由：(2)如图②，若AB手AC,图中等腰三角形是.在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？(3)如图③，若NBC中NB的平分线BO与三角形外角平分线CO交于。，过。点作OE〃BC交AB于E,交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由．.如图1,点P、Q分别是边长为4cm的等边4ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s,(1)连接AQ、CP交于点M,则在P、Q运动的过程中，NCMQ变化吗？若变化，则说明理由,若不变，则求出它的度数;(2)何时4PBQ是直角三角形？(3)如图2,若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M,则NCMQ变化吗?若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数..如图，在aABC中，AB=AC=2,NB=40°,点D在线段BC上运动(点D不与点B、C重合)，连接AD,作NADE=40°,DE交线段AC于点E.(1)当NBDA=115°时，NEDC=°,ZAED=°；(2)线段DC的长度为何值时，△ABDgaDCE,请说明理由；(3)在点D的运动过程中，4ADE的形状可以是等腰三角形吗?若可以，求NBDA的度数;若不可以，请说明理由．3D C.如图，4ABC是边长为5cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发,沿线段AB，BC运动，且它们的速度都为1cm/s.当点P到达点B时，P,Q两点停止运动，设点P的运动时间为t(s).(1)当t为何值时，4PBQ是直角三角形？(2)连接AQ、CP,相交于点M,则点P,Q在运动的过程中，NCMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数..【新知理解】如图①，若点A、B在直线l同侧,在直线l上找一点P,使AP+BP的值最小.作法：作点A关于直线l的对称点A',连接A'B交直线l于点P,则点P即为所求.【解决问题】如图②，AD是边长为6cm的等边三角形ABC的中线，点P、E分别在AD、AC上，则PC+PE的最小值为 cm;【拓展研究】如图③，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P,使NAP氏NAPD.（保留作图痕迹，并对作图方法进行说明）苏科版八年级上册几何压轴题专题（解析版）4 M 口.在4ABC中，NC=90°,AC=BC=2,将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB与点D、点E,图①，②，③是旋转得到的三种图形．（1）观察线段PD和PE之间的有怎样的大小关系，并以图②为例，加以说明；（2）4PBE是否构成等腰三角形?若能，指出所有的情况（即求出4PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能请说明理由．__B国③.（1）观察猜想如图①点B、A、C在同一条直线上，DB±BC,EC^BC且NDAE=90°,AD=AE,则BC、BD、CE之间的数量关系为；（2）问题解决如图②，在RtaABC中，NABC=90°,CB=4,AB=2,以AC为直角边向外作等腰RtaDAC,连结BD,求BD的长；（3）拓展延伸如图③，在四边形ABCD中，NABC=NADC=90°,CB=4,AB=2,DC=DA,请直接写出BD的长.c C图④图2图③12.如图，四边形ABCD是正方形，E是直线CD上的点，将；.u沿AE对折得…M,直线EF■：当DE是线段CD的一半时，请你在备用图中利用尺规作图画出符合题意的图形保留作图痕迹,不写作法⑶在的条件下，求八小的度数..如图，已知4ABC中，NB=90°,AB=16cm,BC=12cm,P、Q是aABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿人18方向运动，且速度为每秒1cm,点Q从点B开始沿8-61人方向运动，且速度为每秒2cm,它们同时出发，设出发的时间为t秒.⑴出发2秒后，求4PBQ的面积；(2)当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，4PQB能形成等腰三角形？(3)当点Q在边CA上运动时,求能使4BCQ成为等腰三角形的运动时间.苏科版八年级上册几何压轴题专题(解析版)C CBp4笛用国.如图,边长为4cm的等边4ABC中，点P、Q分别是边AB、BC上的动点(端点除外)，点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s,连接AQ,CP交于点M，在点P，Q运动的过程中.(1)求证：△ABQgaCAP；(2)NQMC的大小是否发生变化？若无变化，求NQMC的度数;若有变化，请说明理由;(3)连接PQ,当点P,Q运动多少秒时,△PBQ是直角三角形？15,已知4ABC中，AB=AC,BC=6.点P从点B出发沿射线BA移动，同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.(1)如图①，过点P作PF〃AQ交BC于点F,求证：△PDFgaQDC；(2)如图②，当点P为AB的中点时，求CD的长；(3)如图③，过点P作PE^BC于点E,在点P从点B向点A移动的过程中，线段DE的长度是否保持不变？若保持不变，请求出DE的长度，若改变，请说明理由.16.如图，已知4ABC中，NB=90°,AB=16cm,BC=12cm,P、Q是aABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿人18方向运动，且速度为每秒1cm,点Q从点B开始沿8-61人方向运

动，且速度为每秒2cm,它们同时出发，设出发的时间为t秒.C CBp* ABP* A备用图(1)出发2秒后，求PQ的长；(2)当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，4PQB能形成等腰三角形?(3)当点Q在边CA上运动时，求能使4BCQ成为等腰三角形的运动时间.17.如图1,aABC是等边三角形，点E在AC边上，点D是BC边上的一个动点，以DE为边作等边aDEF,连接CF.(1)当点D与点B重合时，如图2,求证：CE+CF=CD；⑵当点D运动到如图3的位置时，猜想CE、CF、CD之间的等量关系，并说明理由;(3)只将条件“点D是BC边上的一个动点”改为“点D是BC延长线上的一个动点"，如图4,猜想CE、CF、CD之间的等量关系为(不必证明).18.如图，在4ABC中,AB=AC,D是BC上任意一点，过D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为E、F点.(1)当点D在BC的什么位置时，DE=DF?并证明.⑵在满足第一问的条件下，连接AD,此时图中共有几对全等三角形？并请给予写出.(3)过C点作AB边上的高CG,请问DE、DF、CG的长之间存在怎样的等量关系？并加以证明．答案和解析1.【答案】150°【解析】解：连接PQ,由题意可知△ABPgaCBQ则QB=PB二4,PA二QC二3,ZABP^ZCBQ,TOC\o"1-5"\h\z.「△ABC是等边三角形， / \\g/.ZABC=ZABP+ZPBC=600, / \\/.ZRBQ=ZCBGH-ZPBC=600, //a C「.△BPQ为等边三角形，.".PQ=PB=BQ=4,又：PQ=4,PC=5,QC=3,/.PQ+QC2=PC2,ZPQC=90°,.「△BPQ为等边三角形，ZBQF^60°,/.ZBQC=ZBQP+ZPQC=150o,ZAPB=ZBQC=150°o首先证明△BPQ为等边三角形，得NBQ上60°,由△ABPgCBQ可得QC=PA,在△PQC中，已知三边，用勾股定理逆定理证出得出NPQ於90°,可求NBQC的度数，由此即可解决问题.本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股定理逆定理的应用，属于中考常考题型.2o【答案】（1）证明：,「△PAB和aPIVIN是等边三角形，/.ZBPA=ZMPN=60°,AB=BP二AP,P忙PN=MN,/.ZBPA-ZMPB=ZMPN—ZMPB,

/.ZAPM=ZBPN.在4APM和4BPN中AP-PB'LAPM~LBPN，，N'/.△APM^ABPN(SAS),「.AM=BN；(2)解：图2中BN=AB+BM；图3中BN=BM—AB,(3)证明：,・,△PAB和4PMN是等边三角形,/.ZABP=ZPMN=60°,AB=PB,/.ZPBM=120°,■/BM=AB=PB,/.ZBMP=30°,/.ZBMN=ZPMN+ZBMP=90°,/.MN±AB.【解析】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键.(1)根据等边三角形的性质就可以得出NBPA=NMPN=60°,AB=BP=AP,PM=PN=MN,进而就可以得出△APMgaBPN,得出结论；(2)由(1)中的方法证得△APMgaBPN,得出图2中，BN=AB+BM；得出图3中，BN=BM-AB；(3)由等边三角形的性质得出NABP=NPMN=60°,就可以得出NPBM=120°,求得NBMP=30°,进而就可以得出NBMN=90°,得出结论.3.【答案】证明：(1)^ACD与aCBE全等.理由如下：

-/AD±CE,BE±CE,/.ZADC=ZCEB=90°,又,「NACB=90°,/.ZACD=ZCBE=90°—ZECB.在4ACD与在4ACD与aCBE中,CD-jLCBE，/.△ACD^ACBE(AAS)；AD=BE-DE.【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，余角的性质，关键是根据AAS证明三角形全等。(1)观察图形，结合已知条件，可知全等三角形为：4ACD与△68£.根据人人$即可证明；(2)由(1)知△ACDgaCBE,根据全等三角形的对应边相等，得出CD二BE,AD=CE,从而求出线段AD、BE、DE之间的关系.【解答】解：(1)见答案；(2)V△ACD^^CBE,「.CD=BE,AD=CE,XVCE=CD—DE,「AD=BE-DE。.【答案】解：(1)：^ACB和△口6£均为等边三角形，「CA=CB,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,/.ZACD=60°-ZCDB=ZBCE,在4ACD和4BCE中，AC-BC'LACD~LBCE,-,,/.△ACD^ABCE(SAS),/.ZADC=ZBEC,・.△DCE为等边三角形，/.ZCDE=ZCED=60°,「点A,D,E在同一直线上,/.ZADC=120°,/.ZBEC=120°,/.ZAEB=ZBEC—ZCED=60°o(2)NAEB=90°,AE=BE+2CM.理由：,・,△ACB和△口6£均为等腰直角三角形,/.CA=CB,CD=CE,ZACB=ZDCE=90°,/.ZACD=ZBCE,在aACD和aBCE中，CA-CB'LACD~LBCECD-CE'/.△ACD^^BCE(SAS),/.AD=BE,ZADC=ZBEC,,「△DCE为等腰直角三角形，/.ZCDE=ZCED=45°,「点A,D,E在同一直线上,/.ZADC=135°,/.ZBEC=135°,/CD=CE,CM±DE,「.DM=ME./ZDCE=90°,「DM=ME=CM.「AE=AD+DE=BE+2CM。【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质和等腰三角形的判定与性，证明三角形全等是解决问题的关键。（1）先证出NAC上NBCE,那么△ACDgaBCE,R据全等三角形证出NADC=NBEC,求出NADC=120°,得出NBEC=120°,从而证出NAEB=60°；（2）证明△ACDgaBCE,得出NADC=NBEC,最后证出DM二ME二6凶即可。.【答案】（1）4AEF、aOEB、aOFC、aOBC、aABC；EF=BE+CF；理由如A：.「OB、OC平分NABC、NACB,/.ZABO=ZOBC,ZACO=ZOCB；.■,EF〃BC,「NEOB=NOBC=NEBO,NFOC=NOC氏NFCO；即EO=EB,FO=FC；「EF=EO+OF=BE+CF；（2）^EOBX△FOC；当AB手AC时，△EOB、aFOC仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立.（证明过程同（1））；（3）4EOB和aFOC仍是等腰三角形，EF=BE-FC；理由如下：同（1）可证得4EOB是等腰三角形；,■,EO〃BC,/.ZFOC=ZOCG,,「OC平分NACG,/.ZACO=ZFOC=ZOCG,「.FO=FC,故4FOC是等腰三角形，/.EF=EO—FO=BE—FC.【解析】解：（1）图中是等腰三角形的有：△AEF、aOEB、aOFC、aOBC、aABC；EF、BE、FC的关系是EF=BE+FC.理由如下：•「OB、OC平分NABC、NACB,/.ZABO=ZOBC,ZACO=ZOCB,「EF〃BC,/.ZEOB=ZOBC=ZEBO,ZFOC=ZOCB=ZFCO,即EO=EB,FO=FC,「.EF=EO+OF=BE+CF；（2）当AB手AC时，^EOB、aFOC仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立.（证明过程同（1））;（3）4EOB和4FOC仍是等腰三角形，EF=BE—FC.理由如下：同（1）可证得4EOB是等腰三角形；「EO〃BC,/.ZFOC=ZOCG,「OC平分NACG,/.ZACO=ZFOC=ZOCG,「FO二FC,故aFOC是等腰三角形，「EF=EO—FO=BE-FC.（1）由AB工人&可得/人8e/人68；又已知OB、OC分别平分NABC、NACB；故NEBO=NOBC=NFCO=NOCB；根据EF〃BC,可得：ZEOB=ZOBC=ZEBO,NFOC=NFCO=NBCO；由此可得出的等腰三角形有：△AEF、aOEB、aOFC、aOBC、aABC；已知了4EOB和aFOC是等腰三角形，则EO=BE,OF=FC,则EF=BE+FC.（2）由（1）的证明过程可知：在证△OEB,aOFC是等腰三角形的过程中，与AB二AC的条件没有关系，故这两个等腰三角形还成立.所以（1）中得出的EF=BE+FC的结论仍成立.（3）思路与（2）相同，只不过结果变成yEF=BE-FC.此题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质、角平分线的定义等知识.进行线段的等量代换是正确解答本题的关键.6。【答案】解：（1）/6凶0=60°不变..「等边三角形中，AB=AC,ZB=ZCAP=600又由条件得AP=BQ,/.△ABQ^^CAP（SAS）,/.ZBAQ=ZACP,/.ZCMQ=ZACP+ZCAM=ZBAQ+ZCAM=ZBAC=600.（2）设时间为t,则AP=BQ=t,PB=4—t①当NPQB=90。时，,/ZB=600,...PB=2BQ,得4-t=2t,t=；②当NBPQ=90。时，■「NB=60。，.•.BQ=2BP,得t=2（4—t）,t=:;4 R「.当第秒或第秒时,4PBQ为直角三角形.(3)NCMQ=120。不变.・「在等边三角形中，BC=AC,NB=NCAP=60°/.ZPBC=ZACQ=120°,又由条件得BP二CQ，/.△PBC^AQCA(SAS)/.ZBPC=ZMQC又,「NPC氏NMCQ,/.ZCMQ=ZPBC=180O—60°=120°【解析】(1)因为点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s,所以AP=BQ.AB=AC,NB=NCAP=60°,因而运用边角边定理可知4人8。^46人凡再用全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理,可求得CQM的度数.(2)设时间为t,则AP=BQ=t,PB=4-t.分别就①当NPQB=90°时；②当NBPQ=90°时利用直角三角形的性质定理求得t的值.(3)首先利用边角边定理证得△PBCgaQCA,再利用全等三角形的性质定理得到NBPC=ZMQC.再运用三角形角间的关系求得NCMQ的度数.此题是一个综合性很强的题目.本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质.难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神.7。【答案】(1)25；65；(2)当DC=2时,△ABDgaDCE,理由：,■,NC=40°,/.NDEC+NEDC=140°,XVNADE=40°,/.NADB+NEDC=140°,「.NAD氏NDEC,又,「AB=DC=2,I-lDEC在4ABD和aDCE中：然=羔,IAB=DC/.△ABD^ADCE(AAS)；(3)当NBDA的度数为110°或80°时,4ADE的形状是等腰三角形,•「NBDA=110。时，/.ZADC=70°,,/ZC=40°,/.ZDAE=70°,/.ZAED=180°—70°-40°=70°,「.△ADE的形状是等腰三角形；.「当NBDA的度数为80。时,/.ZADC=100°,,/ZC=40°,/.ZDAE=40°,/.ZDAE=ZADE,「△ADE的形状是等腰三角形.【解析】【分析】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题.⑴利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题；⑵当DC=2时，利用NDEC+NEDC=140°,NADB+NEDC=140。，求出NAD氏NDEC,再利用人氏口6二2,即可得出△ABDgaDCE.(3)当NBDA的度数为110°或80°时，4ADE的形状是等腰三角形.【解答】解：(1)ZEDC=180°-ZADB—ZADE=180°-115°—40°=25°;ZAED=ZEDC+ZC=40°+25°=65°.故答案为25;65；(2)、(3)见答案。①当NPQB=90。时,①当NPQB=90。时,8.【答案】解：(1)设时间为t,则AP=BQ=t,PB=5—t■/ZB=60°...PB=2BQ,得5-t=2t,t;；②当NBPQ=90。时,,/ZB=60°,「.BQ=2BP,得t=2(5-t),t二；；耳 io「.当第秒或第二秒时，^BQ为直角三角形.(2)NCMQ=60。不变.在4ABQ与4CAP中，AB-ACLB-LCAP-60"加—RQ，/.△ABQ^ACAP(SAS),/.ZBAQ=ZACP,/.ZCMQ=ZACP+ZCAM=NBAQ+ZCAM=ZBAC=60°【解析】(1)需要分类讨论：分NPQB=90°和NBPQ=900两种情况；(2)NCMQ=60°不变.通过证△ABQgaCAP(SAS)得到：NBAQ=NACP,由三角形外角定理得至IJNCMQ=ZACP+NCAM=NBAQ+ZCAM=ZBAC=60°.本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质．掌握判定三角形全等的方法，分类讨论是解决问题的关键．9.【答案】【解决问题】3J：【拓展研究】方法1：如图③，作B关于AC的对称点E,连接DE并延长，交AC于P,点P即为所求，连接BP,则ZAPB=ZAPD.方法2:如图④，作点D关于AC的对称点D‘，连接D'B并延长与AC的交于点P,点P即为所求,连接DP,则ZAPB=ZAPD.【解析】解：(1)【解决问题】如图②，作点E关于AD的对称点F,连接CF,交AD于点P,则PE=PF,

当点F,P,C在一条直线上时，PC+PE=PC+PF=CF(最短)，当CF^AB时，CF最短，此时BF=AB=3(cm),「.RtaBCF中，CF= ?-=./■-::=3,"'(cm),・•.PC+PE的最小值为3「cm,故答案为：3J：；(2)【拓展研究】方法1：如图③，作B关于AC的对称点E,连接DE并延长，交AC于P,点P即为所求，连接BP,贝ljNAPB=NAPD.方法2:如图④，作点D关于AC的对称点D',连接D'B并延长与AC的交于点P,点P即为所求，连接DP,则NAPB=NAPD.(1)作点E关于AD的对称点F,连接CF,则PE=PF,根据两点之间线段最短以及垂线段最短，得出当CF^AB时，PC+PE=PC+PF=CF（最短）,最后根据勾股定理，求得CF的长即可得出PC+PE的最小值；（2）根据轴对称的性质进行作图.方法1:作B关于AC的对称点E,连接DE并延长，交AC于P,连接BP,则NAPB=NAPD.方法2:作点D关于AC的对称点D',连接D'B并延长与AC的交于点P,连接DP,则NAPB=NAPD.本题属于轴对称—最短路线问题,本题考查了勾股定理、轴对称的性质，利用轴对称作图与基本作图等知识点的综合应用，熟知两点之间，线段最短以及垂线段最短是解答此题的关键．月.【答案】解：（1）PD=PE.以图②为例，如图，连接PC -、、.「△ABC是等腰直角三角形，P为斜边AB的中点， 二/.PC=PB,CP±AB,ZDCP=ZB=45°, 产三5XVZDPC+ZCPE=90°,ZCPE+ZEPB=90°/.ZDPC=ZEPB/.△DPC^^EPB(ASA)/.PD=PE；（2）能，①当EP=EB时,CE=BC=1.②当EP二PB时，点E在BC上，则点E和C重合，CE=0.③当BE=BP时,若点E在BC上,则CE=2-,\若点E在CB的延长线上，则CE=2+,\【解析】（1）连接PC,通过证明△DPC^^EPB,得出PD二PE.（2）分EP=EB、EP=PB时、BE=BP三种情况进行解答.本题考查了等腰三角形的性质与判定;此题是分类讨论题,应分情况进行论证，不能漏解．辅助线的作出是解答本题的关键．

.【答案】⑴BC=AB+AC=BD+CE(2)问题解决如图②，过D如图②，过D作DELAB,交BA的延长线于E,由(1)同理得：AABC也△DEA,/.DE=AB=2,AE=BC=4,Rt/kBDE中，BE=6,C由勾股定理得:BD二产善二2眄B(3)拓展延伸如图③，过D作DELBC于E,作DFLAB于F,同理得：△CEDg/\AFD,.-.CE=AF,ED=DF,设AF=x,DF=y,则伤"：；,解得：.-.BF=2+1=3,DF=3,由勾股定理得：BD二y炉不可=3\区【解析】解：(1)观察猜想结论：BC=BD+CE,理由是：如图①，■.-ZB=90°,NDAE=90。，ZD+ZDAB=ZDAB4-ZEAC=90°,/.ZD=ZEAC,■/ZB=ZC=90°,AD=AC,/.△ADB^AEAC,.,.BD=AC,EC=AB,/BC=AB+AC=BD+CE；⑵见答案；(3)见答案；【分析】(1)观察猜想：证明△人口8^^£人伉可得结论：BC=AB+AC=BD+CE；(2)问题解决：作辅助线，同理证明：△人86^4口£人可得口£=AB=2,AE=BC=4,最后利用勾股定理求BD的长；(3)拓展延伸：同理证明三角形全等，设AF=x,DF二旷，根据全等三角形对应边相等列方程组可得结论.本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理、勾股定理,解决本题的关键是证明：△CEDgAAFD,并运用了类比的思想依次解决问题.12.【答案】解：(1)证明：,「四边形ABCD为正方形，/.AB=AD,ZB=ZD=90O,.「将4人口£沿AE对折得^AFE,/.AF=AD=AB,ZAFE=ZD=90O,在RtaABG与Rt^AFG中，AF=AB,AG=AG,/小86g百651_)；(2)如图所示：(3)VAAFE^AADE,AABG^AAFG,/.ZEAF=ZEAD,ZGAF=ZGAB,.「在正方形人86口中，NBAD=90°.「..，.【解析】此题主要考查了折叠的性质、正方形的性质和全等三角形的性质及判定，综合利用各性质定理是解答此题的关键.(1)利用正方形的性质和折叠的性质可得AF=AB,NAFE二ND,由HL定理可证得RtAABG^RtAAFG；(2)首先作出CD的垂直平分线，与CD相交于点E,再以E点为圆心，DE为半径作弧，A点为圆心，AF为半径作弧，两弧相交于点F,连接AF,AE,EF,延长EF与BC相交于点G,如图所示;(3)由△AFEgaADE,△ABGgaAFG,利用全等三角形的性质可得/EAF=NEAD,NGAF=NGAB,易得'・・・■二，可得结论。13.【答案】解：(1)当t=2时，则AP=2cm,BQ=2t=4cm,,/AB=16cm,「.BP=AB—AP=16-2=14(cm),在Rt△BPQ中，S△pB=^BPXBQ=28cm2.(2)由题意可知AP=t,BQ=2t,,/AB=16cm,/.BP=AB-AP=(16—t)cm,当4PQB为等腰三角形时，则有BP=BQ,即16—t=2t,解得t」：，「.出发1秒后4PQB能形成等腰三角形.(3)①当CQ=BQ时，如图1所示，图1则NC=NCBQ,■/ZABC=90°,/.ZCBQ+ZABQ=900,；一「；「：「■.：:“，匕又,「NA+NC=90°,/.ZA=ZABQ,/.BQ=AQ,/.CQ=AQ=-.-：=10cm,/.BC+CQ=22cm,/.t=22^2=11.②当CQ二BC时，如图2所示，5pW A图2则BC+CQ=24cm,/.t=24^2=12.③当BC二BQ时，如图3所示,5p A图3过B点作BE^AC于点E,TOC\o"1-5"\h\z-L•比12x16 48贝l」BE=...=：,, -,/.CE= " J.'' '：' .■■.,「.CQ=2CE=14.4cm,...BC+CQ=26。4cm,「■t=26.4+2=13。2.综上所述：当出发的时间为11秒或12秒或13。2秒时,4BCQ为等腰三角形.【解析】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质和判定,三角形的面积和分类讨论思想等知识.用时间t表示出相应线段的长,注意方程思想的应用.（1）可求得AP和BQ,则可求得BP,最后用三角形面积公式即可得出结论；⑵用士可分别表示出BP和8。，根据等腰三角形的性质可得到BP=8。，可得到关于t的方程，可求得t的值；⑶利用等腰三角形的性质可分8。=CQ、CQ=BC和BQ二BC三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值.14。【答案】（1）证明：.「△ABC是等边三角形，/.ZABQ=ZCAP=60°,AB=CA,:点P、Q的速度相同，/.AP=BQ,在4ABQ和4CAP中,

AB=CA'LABQ-LCAP,,，/.△ABQ^ACAP(SAS)；(2)解：NQMC的大小不发生变化,■/△ABQ^ACAP,/.ZBAQ=ZACP,/.ZQMC=ZQAC+ZACP=ZQAC+ZBAQ=60°；(3)解：设点P,Q运动x秒时,4PBQ是直角三角形,则AP=BQ二x,PB=(4-x),当NPQB=90。时，,/ZB=60°,.,.BP=2BQ,即4—x=2x,解得，x4,当NBPQ=90。时，,/ZB=60°,.,.BQ=2BP,即2(4—x)=x,解得，x=“4R二当点P,Q运动.秒或.秒时，4PBQ是直角三角形.【解析】（1）根据等边三角形的性质、三角形全等的判定定理证明;（2）根据全等三角形的性质得到NBA与NACP,根据三角形的外角的性质解答;（3）分NPQB=90°和NBPQ=90°两种情况,根据直角三角形的性质计算即可.形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键.本题考查的是全等三角形的判定、直径三角形的性质，掌握等边三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键.15。【答案】解：（1）,「AB=AC,NB=nacb.,.,PF//AC,/.ZPFB=ZACBNB=NPFB,「.BP=FP由题意，BP二CQ,..FP=CQ,.,PF//AC,/.ZDPF=ZDQC.又NPDF=NQDC,.■.△PFD^AQCD；⑵如图，过P点作PF〃AC交BC于F丁点P为AB的中点，「.F为BC的中点，「.FC4BC=3由(1)知△PFDdQCD,CD=DF「.CD二口吐娟；⑶线段DE的长度保持不变.如图，过点P作PF〃AC交BC于F,由(1)知PB=PF-.-PE±BC,「.BE二EF由(1)知△PFD/QCD,CD=DF,/.DE-EF+DF-,BC-3.【解析】(1)根据全等三角形的判定定理ASA进行证明;(2)过点P作PF平行与AQ,由平行线的性质和等腰三角形的性质得出NB-NPFB,证出BP-PF,得出PF-CQ,由ASA证明△PFDgaQCD,得出DF-CD-CF,再证出F是BC的中点,即可得出结果;(3)过点P作PF〃AC交BC于F,首先证明BE=EF,根据DF=FC,即可解决问题.本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键..【答案】解：(1)：BQ-2X2-4(cm),BP-AB—AP-16-2X1-14(cm),ZB-90°,/.PQ= -=(cm)；(2)BQ=2t,BP-16-t,根据题意得：2t-16-t,解得：t-［：ZA+ZC-900,「.t-22・2-11秒.②当CQ二BC时，如图2所示,则BC+CQ=24,「■t=24+2=12秒./.BC+CQ=26.4,「+26。4・2=13.2秒.综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，^BCQ为等腰三角形.【解析】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用.（1）根据点P、Q的运动速度求出AP,再求出BP和BQ,用勾股定理求得PQ即可；（2）设出发t秒钟后，4PQB能形成等腰三角形，则BP=BQ,由BQ=2t,BP=8—t,列式求得t即可；（3）当点Q在边CA上运动时，能使4BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：①当CQ=BQ时，则NC=/68。，可证明NA=NABQ,则BQ=AQ,则CQ=AQ,从而求得t；②当CQ二BC时，则BC+CQ=12,易求得t；③当BC二BQ时,过B点作BELAC于点E,则求出BE,CE,即可得出t..【答案】（1）证明：如图2:-/△ABC与4BEF都为等边三角形，/.ZABC=ZEBF=60°,AB=BC=CD,EB=BF,/.ZABC—ZEBC=ZEBF—ZEBC,即NABE=NCBF,在aABE和aCBF中,AB=BC'LABE-LCBFEB-FB/.△ABE^ACBF(SAS)/.AE=CF贝ljCD=AC=AE+EC=FC+EC；(2)CE二CF+CD,理由为:证明：过D作DG