新高考二轮复习真题源导数专题讲义第20讲 不等式恒成立之maxmin问题（原卷版）_第1页
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第20讲不等式恒成立之max，min问题一、解答题1．（2021·云南师大附中高三月考（文））已知函数，，其中.（1）证明：当时，；当时，；（2）用表示m，n中的最大值，记.是否存在实数a，对任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，请说明理由.2．（2021·云南师大附中高三月考（理））已知函数，，其中.（1）证明：当时，；当时，；（2）用表示m，n中的最大值，记.是否存在实数a，对任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，请说明理由.3．（2021·广东·顺德一中高三开学考试）已知函数，，其中．（1）讨论函数的单调性，并求不等式的解集；（2）若，证明：当时，；（3）用表示，中的最大值，设函数，若在上恒成立，求实数的取值范围．4．（2019·浙江嘉兴·模拟预测）已知函数.（I）若是上的单调函数，求实数的取值范围；（Ⅱ）当时，记的最小值为，证明：.5．（2019·云南·一模（理））已知是自然对数的底数，函数与的定义域都是.（1）求函数在点处的切线方程；（2）求证：函数只有一个零点，且；（3）用表示，的最小值，设，，若函数在上为增函数，求实数的取值范围．6．（2018·江西·南昌二中高二期末（文））设函数.（1）若，证明：在上存在唯一零点；（2）设函数，（表示中的较小值），若，求的取值范围.7．（2016·广西来宾·一模（理））已知函数．（1）证明在区间内有且仅有唯一实根；（2）记在区间内的实根为，函数，若方程在区间有两不等实根，试判断与的大小，并给出对应的证明．8．（2016·安徽合肥·一模（理））已知函数.（1）记，证明在区间内有且仅有唯一实根；（2）记在内的实根为，，若在有两不等实根，判断与的大小，并给出对应的证明.9．（2021·全国·高三专题练习）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数（为自然对数的底数）在区间内的零点为，记（其中表示，中的较小值），若在区间内有两个不相等的实数根，，证明：.10．（2021·全国·高三专题练习）已知函数.（1）若函数，试研究函数的极值情况；（2）记函数在区间内的零点为，记，若在区间内有两个不等实根，证明：.11．（2020·北京八中高二期末）已知函数的图象在上连续不断，定义：，．其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值．若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”．（Ⅰ）若，，试写出，的表达式；（Ⅱ）已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的；如果不是，请说明理由；（Ⅲ）已知，函数是上的2阶收缩函数，求的取值范围.12．（2019·湖南·雅礼中学高三月考（理））记表示m，n中的最大值，如.已知函数，.（1）设，求函数在上的零点个数；（2）试探讨是否存在实数，使得对恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由.13．（2011·浙江宁波·一模（理））函数定义在区间上，设“”表示函数在集合D上的最小值，“”表示函数在集合D上的最大值．现设，，若存在最小正整数k，使得对任意的成立，则称函

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