2016海南高考试题与答案-文科数学

2016年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

注意事项：

i.本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的、

准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。写在本试卷上无效。

3.答第H卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是

符合要求的。

(1)已知集合A={1,2,3},8={幻工2<9},则AB=

(A){-2,-1,0,1,2,3}(B){-2,-1,0,1,2}(C){1,2,3}(D){1,2}

(2)设复数z满足z+i=3-i,则建

(A)-l+2i(B)l-2i(C)3+2i(D)3-2i

(3)函数y=Asin(twx+9)的部分图像如图所示，则

7T

(A)y=2sin(2x——)

TT

(B)y=2sin(2x-—)

IT

(C)y=2sin(2x+—)

TI

(D)y=2sin(2x+—)

(4)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为

(A)12兀(B)—7i(C)8K(D)4K

3

(5)设尸为抛物线G/=4x的焦点，曲线片七(A>0)与C交于点只例Lx轴，则公

X

13

(A)一(B)1(C)一(D)2

22

(6)圆x+y~2x-87+13=0的圆心到直线ax^y~1=0的距离为1,贝U折

43/~

(A)--(B)--(C)<3(D)2

34

(7)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

(A)20n(B)24n(C)28n(D)32m

(8)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来

到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为

7533

(A)—(B)-(C)-(D)—

108810

(9)中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程

序框图，若输入的a为2,2,5,则输出的广

(A)7

(B)12

(C)17

(D)34

(10)下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是

(A)y=x(B)y=lgx(C)y=2x(D)y吐

TT

(11)函数/(x)=cos2x+6cos(]-x)的最大值为

(A)4(B)5(C)6(D)7

(12)已知函数/'(x)(xCR)满足/'(%)"(2-才)，若函数片|12尸3与片/"(X)图像的交

点为(xi,yi),(入2,%)，…，(%,%),则产

i=]

(A)0(B)//z(C)2m(D)4m

二.填空题：共4小题，每小题5分.

(13)已知向量a=(m,4),ZF(3,-2),且a〃6,则炉.

x-y+1>0

(14)若x,y满足约束条件《x+y-3N0,则北的最小值为

x-3<0

45

(15)的角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=—,cosC=—，a=l,则

513

b=.

(16)有三卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一卡片，甲看了

乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡

片上相同的数字不是1"，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5"，则甲的卡片上的数字是

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

(17)(本小题满分12分)

等差数列｛4｝中，/+a4=4,%7=6

(I)求的通项公式；

(H)设"=[%],求数列｛瓦｝的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如

[0.9]=0,[2.6]=2

(18)(本小题满分12分)

某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度

的保费与其上年度出险次数的关联如下：

上年度出险次数0123425

保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a

随机调查了该险种的200名续保人在一年的出险情况，得到如下统计表:

出险次数01234>5

频数605030302010

(I)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。求P(A)的估计值；

(n)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.

求P(B)的估计值;

(Ill)求续保人本年度的平均保费估计值.

(19)(本小题满分12分)

如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点0,点E、F分别在AD,CD上，AE=CF,EF

交BD于点H,将OEF沿EF折到O'EF的位置.

(I)证明：AC1HD'.

(II)若A5=5,AC=6,AE=*,OO'=20,求五棱锥。'一ABCEF体积.

4

(20)(本小题满分12分)

已知函数f(x)=(x+1)Inx-a(x-1).

(I)当。=4时，求曲线y=/(x)在(1,7(1))处的切线方程;

(II)若当xe(l,+8)时，f(x)>0,求。的取值围.

(21)(本小题满分12分)

已知A是椭圆E：1的左顶点，斜率为％(Z>0)的直线交E于A,M两点，点N在

E上，MAINA.

（I）当|AM|=|4V|时，求AMN的面积

（口）当21AMi=|A7V|时，证明：6<k<2.

请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，在正方形4%/中，E,G分别在边加，DC上（不与端点重合），且梦加，过〃

良作DF1CE,垂足为£

（I）证明：B,C,G,尸四点共圆；

（II）若/庐1,£为物的中点，求四边形及筋"的面积.

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系x0中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25.

（I）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求。的极坐标方程；

Ix=/cosa,.,,—

（H）直线/的参数方程是!.（t为参数），/与。交于儿6两点，43=9，

|y=rsina,11

求/的斜率.

(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

已知函数/(£)=x-：+工+；,.V为不等式/(x)v2的解集.

(I)求材；

(II)证明：当a,川M时，,+可v.

2016年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学答案

第I卷

选择题

(1)【答案】D(2)【答案】C(3)【答案】A(4)【答案】A

(5)【答案】D(6)【答案】A(7)【答案】C(8)【答案】B

(9)【答案】C(10)【答案】D(11)【答案】B(12)【答案】B

二.填空题

(13)【答案】-6(14)【答案】-5(15)【答案】—(16)【答案】1

和3

三、解答题

(17)(本小题满分12分)

2〃+3

【答案】(1)%=-------；(11)24.

【解析】

试题分析：(I)根据等差数列的性质求q,d,从而求得a“；(II)根据已知条件求4，

再求数列｛2｝的前io项和.

试题解析：（I）设数列｛/｝的公差为d,由题意有2q-5d=4,4—5d=3,解得

,,2

ax=\.d

所以｛4｝的通项公式为4=27.

（II）由（I）知2

L5」

当n=l,2,3时，14一^<2,2=1；

当n=4,5时，242"？<3,2=2；

当n=6,7,8时，3<3<4,2=3；

当n=9,10时，442"+3<5也=4,

所以数列也｝的前10项和为1x3+2x2+3x3+4x2=24.

考点：等茶数列的性质，数列的求和.

【结束】

（18）（本小题满分12分）

【答案】（I）由"变求P（A）的估计值；（H）由亚土处求P（B）的估计值；（III）根

200200

据平均值得计算公式求解.

【解析】

试题分析：

试题解析：（I）事件A发生当且仅当一年出险次数小于2.由所给数据知，一年险次数小于2

60+50

的频率为=0.55

200

故P（A）的估计值为0.55.

（II）事件B发生当且仅当一年出险次数大于1且小于4,由是给数据知，一年出险次数大

于1且小于4的频率为"）+3°=0.3,

200

故P（B）的估计值为0.3.

（HI）由题所求分布列为:

保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a

频率0.300.250.150.150.100.05

调查200名续保人的平均保费为

0.85ax0.30+ax0.25+1.25ax0.15+L5ax0.15+1.75。x0.30+2ax0.10=1.1925。,

因此，续保人本年度平均保费估计值为1.1925a.

考点：样本的频率、平均值的计算.

【结束】

（19）（本小题满分12分）

【答案】（I）详见解析；（H）—.

4

【解析】

试题分析：（ITiEAC//EE再证AC7/”O'.（n）证明再证。£>’，平面A8C.

最后呢五棱锥。'一ABCEF体积.

试题解析：（I）由已知得，ACrBD,AD=CD.

又由AE=C/得"AE=上CF工，故AC//EF.

ADCD

由此得后/，〃。,"'，〃。'，所以AC//”。'..

.,x口口-ASOHAE1

(rIT[)由EF//AC仔----———

DOAD4

由AB=5,AC=6得EX9=BO=J钻2-4(92=4

所以OH=\,D'H=DH=3.

于是QD'2+OH2=(20)2+『=9=D'H2,故0。3OH.

由(I)知AC_L"£)',又ACLBD,BDHD'=H,

所以ACJ■平面BHD',于是AC'OD'.

又由0£>'_L0”,ACOH=0,所以，0D'_L平面ABC.

EPDH9

又由上土="得EF=N.

ACDO2

1|069

五边形A8CFE的面积5=上*6'8—上乂三*3=史.

2224

所以五棱锥。'一ABCEF体积V=^x竺/2&=竺叵

342

考点：空间中的线面关系判断，几何体的体积.

【结束】

（20）（本小题满分12分）

【答案】（I）2尤+y—2=0.；（II）

【解析】

试题分析：（I）先求定义域，再求尸（X）,r（i）,/（1）,由直线方程得点斜式可求曲线

y=/(x)在(1,7(1))处的切线方程为2x+y-2=0.(II)构造新函数

g(x)=lnx—空二D,对实数。分类讨论，用导数法求解.

x+1

试题解析：(I)/(X)的定义域为(0,+8).当a=4时，

f(x)—(x+l)lnx-4(x-l)，r(x)=lnx+—-3,/z(l)=—2,/(1)=0.曲线y=f(x)

在(1,/(1))处的切线方程为2x+y-2=0.

(II)当xe(l,+8)时，/(x)>0等价于——>0.

x+1

令g(x)=lnx---------,则

x+1

x2+2(1-a)x+1

g'(x)屈1)=0,

X(X+1)2

(i)当a<2,xe(l,+oo)时，x2+2(l-a)x+l>x2-2x+l>0,故g'(x)>0,g(x)在

xe(l,+oo)上单调递增，因此g(x)>0；

(ii)当a〉2时，令g，(x)=0得

X1—ci_1_yj(ci_1)__1,%2=a_]+J(a_1)--1,

由/>1和不/=1得X]<1,故当xe(l,々)时，g'(x)<0,g(x)在xe(l,%2)单调递减,

因此g(x)<0.

综上，a的取值围是(TO,2].

考点：导数的几何意义，函数的单调性.

【结束】

(21)(本小题满分12分)

【答案】（I）墨；（II）（蚯,2）.

【解析】

试题分析：（1）先求直线AM的方程，再求点M的纵坐标，最后求A4MN的面积；（II）

设"（玉,y）,,将直线AM的方程与椭圆方程组成方程组，消去y,用左表示玉，从而表

示|AM|,同理用k表示|AN|,再由2|A〃|=|/W|求k.

试题解析：（1）设"（号凹），则由题意知y>0.

TT

由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为一，

4

又A（-2,0）,因此直线AM的方程为y=x+2.

fy23,

将x=y—2代入亍+：=1得7y2-12卜=0,

1212

解得y=0或丁=亍，所以%=亍.

11212144

因此AAMN的面积SMMN=2X-X—X—=—.

曲MN27749

22

（2）将直线AM的方程y=-x+2）伏>0）代入3+^=1得

（3+4/+163%+16炉—12=0.

由玉•（一2）=.--J得％2。-）故।|=71+F|玉+21=可口？.

13+4公13+4公13+422

112k\l\+k2

由题设，直线AN的方程为y=-：（x+2）,故同理可得|AN|=q^n.

2k

由21AMi=|AN|得-----7=-------,即4二一6/+3左一8=0.

3+4k-4+3H

2

设f(t)=4/一6产+3r—8,则:是/⑴的零点，/⑺=12?_14+3=3(2?-1)>0,

所以/⑺在(0,+8)单调递增，又/(G)=15百一26<0,/(2)=6>0,

因此/⑺在(0,+8)有唯一的零点，且零点k在(6,2),所以g<k<2.

考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.

【结束】

请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分,做答时请写清

题号

(22)(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲

【答案】(I)详见解析；(II)

2

【解析】

试题分析：(I)证\DGF~\CBF,再证8,C,G,.四点共圆；(II)证明

Rt\BCG〜Rt\BFG,四边形BCGF的面积S是AGCB面积S^GCB的2倍.

试题解析：(I)因为力F_LEC,所以ADEF〜ACDE

则有ZGDF=ZDEF=ZFCB,—=—=^,

CFCDCB

所以\DGF〜\CBF,由此可得ZDGF=ZCBF,

由此NCGb+180°,所以3,C,G,尸四点共圆.

(II)由B,C,G,尸四点共圆，CG工CB知FG工FB,连结G8,

由G为MADFC斜边CO的中点，知GF=GC,故Rt\BCG〜RtABFG,

因此四边形BCGF的面积S是NGCB面积SAGCB的2倍，即

S=2Ss=2x"l=；.

考点：三角形相似、全等，四点共圆

【结束】

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

【答案】（I）22+122cos6+ll=0；（II）土半.

【解析】

试题分析：（I）利用夕2=f