高中数学椭圆大题题型归纳总结(145分推荐)

22𝑥𝑦22𝑥𝑦12222𝑥𝑦222𝑥𝑦22𝑥𝑦12222𝑥𝑦2高中数学圆大题题型纳总结（145分推荐）一、解答题（本大题共30小题共360.0分）

已知椭圆：𝑏的一个焦点为，椭圆N焦点恰为椭圆M2短轴上的顶点，且椭圆过点求方程

．若线

与椭圆N交A，B两，|

已知椭:(𝑎𝑏>的、右顶点分别为A，，心率为22

2

，过点(作线交椭圆于点C，与，不重当点D与圆上顶点重合时，．求圆方程设线，BC的率分别

，，求证：为值．3.

已知椭:

𝑎𝑏的一个顶点，心率为，直线222𝑥与圆C于不同的两点,．第1页，共页

1022𝑥𝑦22𝑥𝑦求1022𝑥𝑦22𝑥𝑦eq\o\ac(△,)的积为时求的．4.

已知是圆C𝑎>𝑏的焦点焦距为4点22

．求方程；过作条互相垂直的直若与C交两点与C交，E两，记AB的点为MDE的点为，试判断直线MN是过定点，若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．5.

已知椭：𝑎>𝑏的焦F与物22

的焦点重合的心与的顶点重合过F且x轴垂直的直线交于B两于C两，且

．求

的离心率；设M是与的公共点．，与的准方程．第2页，共页

22𝑥𝑦222𝑥𝑦222𝑥22𝑥𝑦222𝑥𝑦222𝑥𝑦6.

若椭圆：𝑎的点到直𝑙22求圆C标准方程

：𝑦=𝑥的距分别为和．2设行

的直线l

交于，两，，求直线l

的方程．7.

设椭圆：𝑎的右焦点分别22点椭圆C上一点，且求圆C离心率；

圆上顶点为点，若点2

的直线交椭圆于M两点线MN的中点的轨迹方程．8.

已知椭圆C𝑎的焦距为长轴长与短轴长之比2．22Ⅰ求圆方程；Ⅱ若与坐标轴平行的直线l

与椭圆相切于点O为标原点直OP与第3页，共页

22𝑦222𝑥𝑦2线l22𝑦222𝑥𝑦2

的斜率之积．9.

已知椭:

𝑥𝑎

𝑎𝑏的离心率为短的一个端点到椭圆的一个焦222点的距离为．求圆C方程；若线𝑦𝑥−与圆C交不同的、积．

两点，eq\o\ac(△,)为标原的面10.

已知椭：𝑎𝑏的焦点为，心率为.线l222且不平行于坐标轴，l与有交点，B，段的点为．Ⅰ求圆C的程；的斜率的乘积为定值；Ⅱ证：直线的率与l

过点Ⅲ延线段OM与圆C交点，若四边形为平行四边形，求此时直线l

的斜率．第4页，共页

222211.

已知椭圆C的心在坐标原点点x轴椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为1．求圆C标准方程；若线l：与圆相交于B两B不左右顶，且以AB为径的圆过椭圆C的顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．12.

已知椭圆C𝑎𝑏的离心率为其左焦点到的离为22，原点O作线OP的线l交圆C于，B两．求圆C方程；eq\o\ac(△,)的积第5页，共页

22𝑥𝑦222𝑥𝑦22𝑥𝑦222𝑥𝑦2

已知椭:𝑎>𝑏>的心率为，且经过点222．求圆C方;过的线与椭圆C相于A两线HAHB分交x轴于，N两，，

，证：为定值．14.

设椭圆：𝑎𝑏，O为点，椭圆的右顶点和上顶点分别为A、22B，点(0,2)，圆的心率为，且．2求圆C方程；不x平行的直线l

与椭圆于不同点P、，已知点P关x轴称点为点M点Q关原点的称点为点且D、MN点共线，求证：直线l点．

过定第6页，共页

22𝑥𝑦222𝑥𝑦2且22𝑥𝑦222𝑥𝑦2且|22𝑦

已知椭圆C𝑎𝑏的离心率为，短轴的一个端点到椭圆的一个222焦点的距离为．求圆C方程；若线𝑦𝑥−与圆C交不同的B两，eq\o\ac(△,)为标原点的面积．16.

已知椭圆C𝑎𝑏的离心率为，焦距为2．222求圆C方程；设，B为圆C上两点O为标原点.

点D在段AB上，连接OD延长交椭圆于E，试问是为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由．17.

设椭圆

𝑥𝑎

𝑎>𝑏过，心率为．225求圆C方程；求点且率的直被C所线段的中点坐标．5第7页，共页

2𝑥2𝑥2𝑥2𝑥18.

已知是圆：2

𝑦𝑏

22

𝑎>𝑏的右焦点直𝑦𝑥交圆C于，点，交y轴点，求圆C离心率e；是椭圆C上点O是标原点

2

2

22

22

的值．19.

已知椭圆：𝑦2

，右焦点，圆O𝑥

2

𝑦

，P为圆上一点，且于第一象限，过点P作PT与相于点T，使得点F，OP的侧．求圆C焦距及离心率．求边形OFPT面积的最大．第8页，共页

22𝑥𝑦224222𝑥𝑦22𝑥𝑦224222𝑥𝑦20.

已知椭圆：𝑎𝑏>的左、右焦点分别为、P是圆上的22一动点，且

的最小值是，当

垂直长轴时|

．2求圆方程；是存在斜率的线l

与以线2

为直径的圆相交于B两与椭圆E相于两|𝐶𝐷|⋅|𝐴？若存在出直线l7说明理由．

的方程不存在，21.

已知B为圆

𝑎𝑏左、右顶点P是圆上一点异22A，，足

⋅𝑘

，且𝑎斜为的直线l

交椭圆C于S，两点，且|．求圆C方程及离心率．如设线:𝑦𝑥与圆C交N两点求四边形MSNT面的最大值．第9页，共页

22𝑥𝑦22𝑥22𝑥𝑦22𝑥𝑦22.

已知椭圆：(𝑎𝑏>的右焦点为长于焦距过22

．求圆方程；设点F且与坐标轴垂直的直线与E交A、两，线段AB的点C，D是y轴一点，且求：线段CD的中点在x轴．23.

已知椭:

𝑎𝑏长轴的两个端点分别，离心率22为

2

．求圆C方程；为圆C上于,的点直分别交直𝑥于两连NA并长交椭圆点Q证直的斜率之积为定值；断,三是否共线，并说明理由．第10页，共43页

22𝑥𝑦2．𝑏22𝑥𝑦222𝑥𝑦2．𝑏22𝑥𝑦22224.

已知椭圆：𝑎𝑏>的离心率是，点是圆E左焦点，点222为椭圆E的顶点，点为椭圆上顶点，求圆方程；

2设为圆轴上的一个动点点P作率为的线l𝑎

交椭圆E于S，T点，证明：

22

为定值．25.

已知椭圆C𝑎𝑏>的心率为，、右焦点分别𝐹𝐹，22轴的上端点为P，且

．求圆C方程；若点且不与垂直的直线与椭圆于M两存点，使得直线TM与的率之积为定值？若存在，求出t理由．

的值；若不存在，请说明第11页，共43页

22𝑥𝑦22𝑥𝑦26.22𝑥𝑦22𝑥𝑦

已知椭圆C𝑎𝑏的离心率为，过圆右焦点并垂直于x22的直线PM交椭圆于P点P位于轴方两点，eq\o\ac(△,)𝑂为标原点的面积为．求圆C标准方程；若线l

交椭圆于B异两线PA与的斜率之积为

，求点到直线l

距离的最大值．27.

已知椭圆C𝑎𝑏的左、右焦点分别为，，心率为，22点

,在C上．求圆C标准方程；设

的直线l

与C交，B两，若|⋅|

，求第12页，共43页

2𝑥2222222212𝑥222222221522222𝑥.

已知椭圆C𝑚2

2

𝑚的右焦点分别，，右焦点作线l交椭圆C于𝑥,，𝑥,，其中，eq\o\ac(△,)𝐴eq\o\ac(△,)的重心分别为、．Ⅰ若坐标为,求椭圆的程；6Ⅱeq\o\ac(△,)

和的面积为和，，求实数的值范围29.

已知椭:

𝑎𝑏的离心率为A，B分是它的左右顶点，F222是它的右焦点F直线与交于异于两𝑥轴时eq\o\ac(△,)的面积为2Ⅰ求C的准方程；Ⅱ设线AP与线交点，求证：点M在直线上．第13页，共43页

22𝑦222𝑦230.

如图，椭圆

𝑥𝑎

𝑎>𝑏经点22

，离心率为．2求圆方程；若过斜率为的线与椭圆E交不同的两点均异于，证明：直线AP与AQ的率之和为定值．第14页，共43页

22𝑥𝑦2222222𝑦22222212答案和解析22𝑥𝑦2222222𝑦222222121.【答案】解：由椭圆：𝑏的个焦点为，，2且，椭N的点，又椭圆

22

,，椭N的轴长为2√222．22椭N的长轴长为，焦距，短半轴长为1的程𝑥

𝑦

；联立{

𝑦=𝑥2𝑥

，得𝑥

2

𝑥2．设(𝑥,𝑦)𝑥,𝑦)，则𝑥,𝑥𝑥，⋅𝑥𝑥2𝑥𝑥2222．【解析本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查弦长公式的应用，属于中档题．由知可得椭圆的点坐标，再由椭圆定义求得椭圆的长半轴长，结合隐含条件求得短半轴长，则椭圆N的程可求；联直线方程与椭圆N的程，化关于的元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式|2.【答案】解：当点D与圆E的顶点重合时，𝑏

，所以

2𝑏2又因为离心

𝑏2

2

，由解2，，第15页，共43页

2𝑥2𝑥2222211121−𝑚12−3𝑚122𝑥123.222𝑥所以E的2𝑥2𝑥2222211121−𝑚12−3𝑚122𝑥123.222𝑥

2

．由意，易知直线CD的率不为，所以设直线CD的程𝑥𝑦，2联立方程组{𝑥𝑦

得

2

)22，显然，设(𝑥,

，𝑥,，222

，2

．2由(，2,0，以

，𝑥

，𝑥−2𝑥)2222𝑥))222212121

𝑚+4𝑚+4

为定值．【解析本题考查椭圆方程及几何意义，直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，考查计算能力，属于中档题．解程

22

2

2

2

，即解；设线CD方程为𝑥，联立方程组{

2得𝑥𝑦

2

)22，到韦达定理，再利用达定理化简即得证．【答案】解：椭一个顶点为，心率为，22{,∴2

2

2

2椭C的程为；2第16页，共43页

22，√(1+224.22联直椭22，√(1+224.22消去y整得

)，设,，,，则

2

，

22

2

，到线距离为√1+

2

，的积·2

2

·

√1+

2

，2的积为，

2

2

，解得，检验，．【解析本题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，三角形面积等，属于中档题．根椭圆一个顶点心率为建立方程组而可求椭圆C方程；直线与椭圆C联消元可

从而可求，到线的离，利用面积为，可求k值．【答案】解：由题意可得{22𝑎𝑏

，解得𝑎

或舍，

，故椭圆方程为．6第17页，共43页

，，22,，(222，,222222由意知，，其一条的斜率不存在时，另外一条的斜率为0，此时直线为x轴，的率都存在且不为0时设，，22,，(222，,222222设(,，，立{

22，6化简可

且，所

则

2

，同理由{

6

，可得

2则

2𝑚2𝑚𝑚+33𝑚+166𝑚+33𝑚+1

，所以直线的方程为

2

62

，化简

2

，故直线恒定

,综上，直线MN过点

,．【解析】本题考查椭圆的概念及准方程考查圆锥曲线中的定点问题，训练了直线与圆锥曲线位置关系的应用由知条件得到关于a，c的程组，求解方程得

，

的值，则椭圆方程可求；当其中一条的斜率不存在时一条的斜率为时线MN为x轴，

的斜率都存在且不为时：，设(,，𝑦，立直线方程与椭圆方程求坐用代k得到点N的标进步得到MN所在直线方程，得到直线过点．【案因F的点轴，可得(，，设的标准方程为

，第18页，共43页

2𝑝222𝑏28𝑏222解得舍C22222𝑝2522𝑦222因为为的点且2𝑝222𝑏28𝑏222解得舍C22222𝑝2522𝑦222

𝑝2

,因为

，，的焦点重合，所以{𝑝=𝑎

2

，消去，可得，以𝑎2𝑏，𝑎所以𝑎2𝑎

，设的心率为，由

𝑎

，则2

2

2，−2去，的离心率为；2由可得𝑎，𝑏𝑐

，2，所以：2

𝑦2

，

：𝑦

，联立两曲线方程，消去y，可得

2

12𝑐

2

，所以2，得或舍去，从而

，2解得，所以和的标准方程分别为，𝑦212𝑥．27【解析】【试题解析】本题考查抛物线和椭圆的定义、方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．由F为

的焦点且轴为的焦点且轴求得的标和|，，由已知条件可得，c，a方程，消去p，结合ab，c和的系，解方程可得e的；由用表示椭圆方程和抛物线方程，立两曲线方程，解M的横坐标，再由抛物线的定义，解方程可得c，进而得到所求曲线方程．6.【答案】解：由直线：𝑦可知其与两坐标轴的夹角均，故长轴端点到直𝑙的离为，短轴端点到直𝑙的离为𝑏22所以𝑎，𝑏，得𝑎，𝑏，222第19页，共43页

2𝑥2，𝑥，𝑥2，22𝑡2222𝑥2，𝑥，𝑥2，22𝑡2222𝑥4123

．设线l：𝑥，𝑥联立{

𝑥

，整理得𝑥=1

𝑥，

，得，设(𝑥,，𝑥,，𝑥𝑥

故𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥因为，

即⋅

𝑥．解得，足，所以直线l

的方程𝑥

或𝑥．【解析由轴端点到直𝑙的距离为轴点到直的离为，，可得椭圆标准方程．𝑥

得设线l𝑥，{

𝑥

，整理𝑥

𝑡𝑥

，即解，即可．本题考查了椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．7.【答案】解：设𝑥,，，(，𝑥由

,{

𝑥

，即

，又𝑥𝑦在圆C：2

22

上

32

，得，2即椭圆离心率为；由知，，又，

，解得

，，第20页，共43页

2𝑥2𝑥，，2𝑥2𝑥2𝑎2𝑥2𝑥2𝑥，，2𝑥2𝑥2𝑎2𝑥

，当线段在轴时，中点为坐标原点，当线段不轴时，设直线的程𝑥𝑥,，𝑥,，代入椭圆方程

中得

，点在椭圆内部，，2则𝑥

，2点𝑥,的标𝑥

2消去得𝑥

𝑥=𝑥，综上所述，点P的轨迹方程为𝑥

𝑥．【解析】本题考查直线与椭圆的置关系的综合应用，椭圆的简单性质以及椭圆方程，考查动点的轨迹方程，是中档题．设(𝑥,(，的坐标转求解离心率；求椭圆C的方程为

，线段在轴上时，中点为坐标原，当线段不轴时，设直线MN的程𝑥，𝑥,，𝑥,，入椭圆方程迹方程即可．

中，通过韦达定理，转化求解轨8.【答案】解：已椭圆中，

，又𝑎

，解得𝑎，，椭的方程为；Ⅱ由意：可设l

的方程𝑥存且与椭圆立消去y可得

𝑥

，由直线l与圆C相，可设切点𝑥,)，由判别可

，解得𝑥

,

，第21页，共43页

122，解得222211111111因此，直线OP的率122，解得222211111111

=−

1

，直线l的率为，即直线与线l

的斜率之积为．【解析本题考查椭圆的概念及标准方程，椭圆的性质及几何意义，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．Ⅰ通焦距，结合长轴长与短轴长之比求，b然后求解椭圆方程．Ⅱ设直线方程，与椭圆方程联立，设切点,，，推出直线OP的00率为

𝑃

1

，直线l

的斜率为k，然后求解即可．9.【答案】解：依题意可设椭圆的程为1(𝑎𝑏，22𝑎𝑏则𝑎𝑏𝑎，椭C的程为1;设(,，,，1

𝑎2联立方

消去y1并整理得：

，所以

，⋅𝑥11211

.即：，又原点到直线的距离

−1|

，的积|𝑑

．【解析】【试题解析】本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，属于中档题．根椭圆的离心率及性质，即可求𝑏

的值，求得椭圆方程；第22页，共43页

2𝑥2𝑥𝑥2𝑥2𝑃，2𝑥利直线与椭圆的位置关系及到直线的距离长公式角形的面积公式，即可得2𝑥2𝑥𝑥2𝑥2𝑃，2𝑥【案】解：Ⅰ由题意可知，

，𝑎𝑎2

，𝑎，椭的方程为

．Ⅱ设线l

的方程为𝑥，𝑥,，𝑥,，联立{

𝑥2，消去得，

𝑥

𝑥

，则𝑥

，为线段AB的点，𝑥12

，

𝑥

，

OM

𝑀𝑀

=−

，OM𝑙

为定值．Ⅲ若边形OAPB为行四边，则𝑥𝑥𝑥𝑃

，

𝑥𝑥

点P椭圆上

(，得，，当边形OAPB为行四边形时，直线l

的斜率为．【解析本考查直线与椭圆的位置关系，涉及曲直联立、中点坐标公式、平面向量的坐标运算等知识点，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．Ⅰ由可知，，

𝑎

，结合𝑎

，解出值即可得解；Ⅱ设线l

的方程为𝑥，𝑥,)，𝑥,，立直线l

的方程和椭圆的方程，消去得到关于x的元二次方程写出两根之和与系数的关系；由于M为线段AB的点利中点坐标公式可用表点M的标利OM𝑀𝑀

可求出直线OM的率，进而得解；Ⅲ若边形OAPB为行四边运可以用k表点P的标，再将其代入椭圆方程即可得到关于k方程，解之即可得解．第23页，共43页

22𝑥𝑦22𝑥𝑦𝑥𝑦22则2222【案解：由题意设椭圆的标准方程22𝑥𝑦22𝑥𝑦𝑥𝑦22则222222由已知椭圆的点到焦点距离的最大值为，最小值为，可得：，𝑎，𝑎，，𝑏𝑎，椭的标准方程；证：𝑥,𝑦，𝑥,𝑦联立{

𝑦=𝑥

，消去y可得

𝑥

𝑥

，

{

𝑥𝑥𝑥𝑥2

2

,又𝑦𝑦𝑥𝑘𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥，因为以AB为径的圆过椭圆的右顶点，·𝐷

2

，𝑦𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥，

2

2

=0，解得：

，且均满足

，当

时l

的方程𝑦𝑥直线过，已知矛盾；当

时，l

的方程𝑦=𝑥

，线过定,．所以，直线l

过定点，定点坐标

,．【解析本题考查椭圆的性质及应用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，综合性强，属于中档题．由知椭圆C上的点到焦点离的最大值为小值为1，而可求椭圆的标准方程；直与椭圆方程联立利以为径的圆过椭圆的右顶结合根的判别式和根与系数的关系求解，即可求得结论．第24页，共43页

22𝑥𝑦𝑥𝑦48285√285eq\o\ac(△,𝐴)eq\o\ac(△,)222𝑥𝑦【案】解：设圆左焦点为22𝑥𝑦𝑥𝑦48285√285eq\o\ac(△,𝐴)eq\o\ac(△,)222𝑥𝑦√(2则由题意得，𝑎解得

𝑎，则

𝑎，所以椭圆方程为．设(𝑥𝑦，𝑥𝑦，由及

得

𝑙

，所以直线l

为𝑥𝑦，由

𝑥𝑦22

得：𝑥

𝑥𝑥,||√1𝑥𝑥

√，因为点到线l

的距离|所以

．【解析】本题查椭圆的方程和质，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数运用韦达定理和弦长公式，考查两点间的距离公式，考查了学生的运算能力，属于中档题．运两点的距离公式以及离心率公式可得c的由c的系可得b，进而得到椭圆方程；根垂直直线斜率间的关系，求出直线l

的方程，联立椭圆方程，消去，用韦达定理和弦长公式，及两点间的距离公式，即可得到面积．【案】解：由意√2又椭圆过，所以22

解得𝑎

，，所以椭圆的方程为．第25页，共43页

，，2212由1211121212221证：设直线方程，，2212由121112121222111由{22

联立消元得

，所

12(，1

1由题意知，，均不为1设

,，𝑥，由H，，三点共线与

共线，所以，简111

;由H，，B三点共线，同理可221

;由，得

，11111所以𝑀𝑁𝑥+2𝑦𝑥+2𝑦1𝑦1−𝑦

2

−𝑦1−𝑦1111)1)111

11−1

2

1−1

1−1

6𝑚𝑚+23𝑚+2

，所以

1

为定值．【解析本题主要考查了椭圆的念及标准方程椭圆的性质及几何意义线椭圆的位置关系以圆锥曲线中的定点与定值问题，属中档题由意根据椭圆的概念得椭圆的方程设线方为，,,，线与椭圆联立消元1，第26页，共43页

11112𝑛11112𝑛222121

,，，由，三点共线知与

共线，所

，简111

1

1

由，，三点共线，同理可得，由

，由，得，表式，从而证得

为定值．【案】解：椭圆的离心率为，

，，又，，，，，1，，故椭圆的方程为

．由意，可设直线:𝑥，,、𝑥,，,、,，1111联立方，

，{

1⋅𝑦1

，

𝑛

，即

．−，,，11D、M、N三点共线，

，(1

1

，1

1

．·

2

·

𝑛2

，．直l

过定点【解析本题考查椭圆的概念及标准方程，考查椭圆的性质及几何意义、直线与椭圆的位置关系及圆锥曲线中的定点值问题，属于较难题．根条件可得关于a、方程，求解可得椭圆方程；第27页，共43页

22𝑎22222111111由意，可设直线:𝑥𝑃(,、,，,、,，22𝑎222221111111111与椭圆方程联立，根据D、M、N三点共线，可得，从而可得结论．【案】解：依意可设椭圆C的程为𝑎>𝑏，22𝑎𝑏则{𝑎

，解得{，𝑏

𝑎

，椭C的方程为1;设(,,，1联立方{1

，消去y，并整理得：

，所以{·𝑥1

，1𝑥211√11即：，又原点到线的离

，的积𝑑

.【解析】【试题解析】本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，属于中档题．根椭圆的离心率及性质，即可求𝑏

的值，求得椭圆方程；利直线与椭圆的位置关系及到直线的距离长公式角形的面积公式，即可得．第28页，共43页

16.𝑐2𝑥𝑥𝑥设2𝑥2𝑥1122𝑥𝑥𝑥2𝑥21225{𝑂𝑂125𝐸|5𝑥𝑥2𝑥16，得16.𝑐2𝑥𝑥𝑥设2𝑥2𝑥1122𝑥𝑥𝑥2𝑥21225{𝑂𝑂125𝐸|5𝑥𝑥2𝑥16，得𝑎．求椭圆方程为设点(𝑥𝑦，𝑥,)，𝑥，由

𝑥1212

,.𝐸|

，则结合题意可

，所以(𝑥,𝑦将点𝑥,代椭圆方程，

3

即2

3

2𝑥

+𝑥3

2

2

，变形，得2

，1

12

2

，又因为点A，均在椭圆上，𝑥

⋅𝑘

，所以

𝑥

代式得5⋅𝑘12𝑥𝑥

,所以是值，为．【解析考椭圆的性质和方程曲中的定值问题与圆的位置关系，属于中档题．由给条件求出，b，进而得到方程．𝑥12设𝐴𝑥𝑦，𝑥,，𝐷(𝑥,，𝐴得{12

,.

，设

𝐸|

，则结合题意可知𝑂，32

，所以𝑥,，将𝐸𝑥𝑦代椭圆方程，得由此得2

，由条件求，而求出答案【案】解：将代椭圆C的程得2，

，由

𝑐𝑎5225

，第29页，共43页

22𝑥𝑦112212126622𝑥𝑦11221122𝑥𝑦112212126622𝑥𝑦11221111，121121121212121212椭C的程为；16过点且率为的直为𝑦

𝑥−，设直线与椭圆的交点𝑥,𝑦，𝑥,𝑦，将直线方程𝑦

𝑥代椭圆方，整理得𝑥2

𝑥，由韦达定理𝑥𝑥，𝑦𝑦𝑥(𝑥𝑥𝑥121212

．由中点坐标公式AB中横坐标为，坐标，2所线段的中点标,2【解析】【试题解析】本题考查椭圆的方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆的方程是关键．椭C1(𝑏>过点，求，利用离心率，求出a即可得到22椭圆的方程；过点且率为的直为𝑦确定线段的中点坐标．

𝑥−入圆C方理用韦达定理，【案】解：由件可得，𝑥,𝑦，𝑥,𝑦，则𝑥,𝑦

，𝑥𝑦，1

𝑦，𝑥,𝑦．2222由，得𝑥,𝑦𝑥,𝑦，𝑥,𝑦𝑥,𝑦，11122122𝑥𝑥，𝑥𝑥，12121

𝑥𝑥𝑐−𝑥𝑥

由已知𝑥

，𝑥，211

𝑥𝑥𝑥𝑥−2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥

．第30页，共43页

222222222222222222222222222222222222222222222

22

得

2

2

2

2

2

2

2

2

，2

222

，

2

．

222

2

2

22

2

2

2

2

2

2

化简得22

，即．设(，由22

222

，

22

，将它们代入

2

2

2

2

2

2

并

2

2

2

2

2

和

2

22

2

22

2

2

化得，

2222

2222

2

2

2

2

．又

2

2

22

22

2

，

2

(𝑐2

)22

−2𝑎22

，(

222

2

2

，所以

222

．【解析本考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，平面向量的坐标运算，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．由件可，,，𝑥𝑦，立直线方程和椭圆方程，结合韦达2定理以及向量的坐标运算可得，，c的系，即可求离心率．设(，合题意以及向量的坐标运算可22

，

222

，代入

222，合韦达定理化简整理即可得出答案．【案】解：在圆C：2中，，，所以

22，故椭圆焦距22，离心率

；2设(𝑦，则2，第31页，共43页

02𝑥𝑥，⋅|𝑥，002𝑥𝑥002𝑥02𝑥000002𝑥𝑥，⋅|𝑥，002𝑥𝑥002𝑥02𝑥00002𝑥0222𝑥

0

，所以

𝑥𝑥00

，所以

00又，𝑂⋅，因此

四边

⋅(0⋅0𝑥00，𝑥由，得

0⋅0

，即𝑥⋅𝑦，所以

四边

⋅𝑥

，当且仅当00

，即

，时等号成立．0【解析本题考查椭圆的几何性以及椭圆的标准方程键是掌握椭圆的标准方程的形式．根题意，由椭圆的标准方程分析可得a、的，计算可得c的，据此计算可得答案；设(𝑥,结合椭圆的方分析可得四边形面的表达式合基本不等式00的性质分析可得答案．【案】解：由意，点P椭上的一动点，的最小值是，得，因为当垂长轴时，

，所以，𝑏

，又由

𝑏

，解得，，所以椭圆的标准方程为．假存在斜率的直线l，不妨设𝑥．由知，椭圆E左焦点为

，，所以以线段为径的圆方程𝑥

．由题意，圆到线l

的距离

，得，第32页，共43页

𝑚2𝑥𝑦222𝑚2即．⋅=−，所以𝑥𝑦又2𝑚2𝑥𝑦222𝑚2即．⋅=−，所以𝑥𝑦联立方程组{，消去，整理得𝑥𝑦=𝑥+𝑚

𝑚𝑥+，由题意𝑚)

7

𝑚

，解得𝑚

，|𝑚|，所𝑚．又由韦达定理，𝑥𝑥

𝑚

，𝑥𝑥

𝑚

，所以𝑥𝑥2×，若，则𝑚，整理得

𝑚

，解得𝑚

，或

．又𝑚

，以

，即𝑚故存在符合条件的直线l其方程𝑦=𝑥，𝑦=𝑥．【解析本题主要考查了椭圆的概念及标准方程、椭圆的性质及几何意义、直线与椭圆的位置关系、圆锥曲线中的定点与定值问题，还涉及了直线与圆方程的应用，属于中等题．根题中条件得

，合椭圆的性质

，建立关于a方程组即可求解；由意设出直线l

方𝑦=𝑥根题设条件得|𝑚|联直线l

与椭圆得方程组，利用韦达定理、圆中弦长公式以及两点间距离的坐标公式，依次计算得到、|关于m的表达式，|⋅的结论．

进而可求得m的，于是可给出相应【案】解：设P𝑥,𝑦，A，B的标分别，．因为

⋅𝑘𝑃𝑃

𝑦𝑦2𝑦2𝑥+6𝑥第33页，共43页

2𝑥222𝑥𝑦22222．2626𝑇因为P在圆C上所以2𝑥222𝑥𝑦22222．2626𝑇36．所以𝑏

𝑦𝑏

22

，故椭圆方程为𝑐2𝑏222．3616所以离心率

2

．因

，所以四边形MSNT的积

𝑇|⋅|．2由题意|，

2．即当取到最大值时取到最大值．联立直𝑙与圆C方程，可得𝑥2．由，得

2

．设点，N的标分别𝑥,𝑦

，𝑥,𝑦22

，则𝑥

，𝑥

，所以2[(2

2

2

+52显然当时，𝑀𝑁|取到最大值，故的最大值为．【解析考椭圆几何性质方程以及圆锥曲线中面积最值问题一题；本考查椭圆标准方程以及几何性质，根据斜率乘积求出、的个关系，再据点在椭圆上及椭圆的性质求解即可；本考查圆锥曲线中面积以及最值问题，对四边形MSNT面进行正确转化，进而联立直线与椭圆方程，再利用弦长公式求解即可．第34页，共43页

2𝑥，，22，,，，即2222𝑡222·，得，，2𝑥2𝑥因为直线的率为，直线BP斜率为，00000000【案】解：由圆经过点，2𝑥，，22，,，，即2222𝑡222·，得，，2𝑥2𝑥因为直线的率为，直线BP斜率为，00000000所以

22，故椭圆方程为．设线l的方程为𝑥(𝑡，(𝑥,，(𝑥,，𝑥,，𝑥联立直线与椭圆方程{，得𝑡𝑥

)，由题意，，

则

12

设)

，由

得：𝑡+2𝑡+2

𝑡所以

，所以0

，故线段中点在轴．【解析本主要考查了直线与椭圆的关系，椭圆的标准方程，考查运算能力，属于中档题．根题目条件，可，而可求出a，可求方程．设线l

的方程为𝑥(𝑡，联立直线与椭圆方程，消去得𝑡)由韦达定理可

，则可求点标，设2)，

建立等式解得，由0

，证结果．【案】解：由意𝑒，所以

，所以椭圆的方程为2．明：𝑥,，为P在圆C上，所以2．𝑥𝑥所以直线的程

𝑥

𝑥．所以点坐标

𝑥

．第35页，共43页

000020220𝑥2，所以直线AN的率为222𝑘0，求出直线AN的率为21128𝑦000020220𝑥2，所以直线AN的率为222𝑘0，求出直线AN的率为211202𝑦2．所以直线的率为𝑥0𝑥2所以直的斜率之积为：𝑦0⋅20𝑥2𝑥2

2𝑦𝑥0

2(1𝑥0

4

．2三共线．因为点于，两点，可知直线的斜率存在且不为零．设直线AP斜，则直线AP：𝑦𝑥，．由知线的率之积为

1122

，1𝑥．所以直线的程为𝑦2𝑥2𝑦0,联立直线与圆方程得可得𝑥2𝑦2,

2

𝑦

8𝑦0．解得Q点纵坐标1

2

，所以Q点的坐标

2212

,

21

2

．2所以，直线BQ的率为1𝑘21

222

02

2

，直线BM的率为

2

．因为直线BQ的率等于直线BM的率，所𝐵,点共线．【解析本题考查椭圆的定义及几何性质，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率与直线的方程，属于中档题．结条件和椭圆的几何性质可求得，，c，即可求得椭圆的方程；(𝑥,𝑦求直线AP的率并求出直线BP方程求点N的标再求得00直线的率，根据点P在椭圆上，可证明直的斜率之积为定值；据直线AP的率存在且不为零，设直线AP斜为k，则可得直线程，求出点，根的线的斜率之积为

1122𝑘

，可得直线的程，联立直线与圆方程，求得点Q标，根据直线BQBM斜相等，可判定结论．【案】解：，，则

22

，即2，

2

22．又

√2，入上式中得到，2√2𝑐√2

2

22，解得，于，1．第36页，共43页

2𝑥222．222由22，得282𝑥故椭圆方程为2𝑥222．222由22，得282𝑥2

2

．设线:𝑦

2

𝑥

交椭圆(𝑥,，𝑥,，22𝑥由2𝑥222

，消去y得2𝑥

2𝑥22．因此𝑥𝑥，𝑥𝑥2

−22于是

2

2

𝑥

2

2𝑥2

2

22(𝑥2𝑥22

2𝑥𝑥22

2𝑥𝑥2𝑥𝑥)2222

(222222𝑚．2故

2

2

为定值，且为3．【解析本题考查椭圆的概念及标准方程、椭圆的性质及几何意义、直线与椭圆的位置关系、圆锥曲线中的定点与定值问题，属于中档题．由意可2而求解椭圆E的程；

22

结合离心率求得2，即可求解，b，从设线:𝑦

2

𝑥

交椭圆(𝑥,𝑥，立线与椭圆方程，结合韦22达定理求解

2

2

，可证明．，【案】解：由意，可得，−2，得22，2

，则

(

，结合

2

2

，得2

2

，由所以

222，

2

，代

222，得22，故椭圆方程为

2

；由知直线l

过设l

的方程𝑥，则联立方程

𝑥𝑦22消得

2

2

28，第37页，共43页

21221212，，11221122𝑇122;12据22222222联立{121221212，，11221122𝑇122;12据22222222联立{1,33212121

2

32(；,设,，,，则{.又直线率分别为𝑇

𝑡𝑡𝑡𝑡则⋅𝑘

𝑦

1

𝑡)

𝑡

2

𝑡

，要使

⋅𝑘𝑇

为定值，则𝑡

2

，即，当时，，⋅𝑇

29(12当时，

19(1𝑡)2

．所以存在点，得直线与的率之积为定值．【解析本考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，向量的数量积，直线的斜率公式以及韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．由意，可，，，1

2

，根12

，列出方程组，求出

，，此能求出椭圆的程；由知直线l

过设l

的方程，立l

与C的程可得

2

2

−8，利用韦达定理、直线的斜率公式即可推存在使得直线TM与的率之积为定值．1【案由题意可得解{,221{2所以椭圆的标准方程为1.设点(,，,，易求得1122当直线l的率不存在时，设其方程,22，因{12

−22且，所以

⋅𝑘

2⋅2，21．解得

12

或

，此时点P到线l

的距离为.2当直线l

的斜率存在时，设其方程，第38页，共43页

2,⋅221212222222，直线l的方程所以2,⋅221212222222，直线l的方程所以直线l过定点，不合题，所以直线l过定点(,1232)max85𝑐所以联立{

清去y并理得

2

2

2

12．2)212)>则{222所以

𝑃

⋅𝑘

𝑃𝐵

3322，即

．22所以

⋅⋅(22即

2

))2．22整理得

2

2

．2即

(2，以或2，22若意．

222若，直线t

的方程为

22又因为2

4

，所以点在圆内．设点P到线l

的距离为，所以

𝑃√(122．222所以点直线I

距离的最大值为.【解析本题主要考查椭圆的应用，熟悉直线与椭圆的关系是解答本题的关键，是高考中常见的题型，属于中档题．𝑐𝑎2由意建立方程组2𝑏2可椭圆方程；2𝑎2{2𝑏2𝑐2讨当直线l结论即可．

的斜率不存在时，当直线l

的斜率存在时，分别计算，再比较大小，下【案】解：因椭圆过点,)

，22

，第39页，共43页

2𝑐2𝑏221𝑎211,𝑎222𝑥2𝑏21110112222121𝑥2𝑥1𝑥112122101𝑥𝑥11121112𝑐2𝑏221𝑎211,𝑎222𝑥2𝑏21110112222121𝑥2𝑥1𝑥112122101𝑥𝑥11121111222则2

𝑎𝑐2

2

1

𝑐

，2联立得{𝑏2

222

1，解得{𝑏2故椭圆标准方程为2

2

．当线l

的斜率不存在时|1

|1

，以𝑎2

1

2

，故直线l

的斜率存在，设直线l：𝑥(𝑥,

，𝑥,22

，𝑥联立{，去并理22

2

𝑥

2

2

𝑥2

2

，则𝑥

,𝑥𝑥,2221

𝑥22𝑥21111

𝑥2

2

1

2

1，同理

2，因为

𝐵1

(𝑥𝑥𝑥𝑥2

182

，得

2