高中数学必修2立体几何考题 2

仅供个人参考高中数学必修2立几何．如图所示，正方体ABCDBC中、N分是A，B的中点．问：1111(1)AM和CN否是异面直线？说明理由；(2)B和是否是异面线？说明理由．11解析：由于M、分是AB和的中点，可证明AC因此AM与CN不11是异面直线(2)由空间图形可感D和CC为面直线可能性较大，判断的方法可用11反证法．探究拓展解这类开放型问题用的方法有直接(即由条件入手，经过推理、演算变形等，如第1)，还有假设法，特例法，有时证明两直线异面用直线法较难说明问题，这时可用反证法，即假设两直线共面，由这个假设出发，来推证错误，从而否定假设，则两直线是异面的．解：(1)是异面直线．理由如下：∵、分是B、C的中点，∥1111又∵A∥DD，而D綊，111∴A綊CC，∴四边形AACC为平行四边形．11∴∥，得到MN，1∴、、、在一个平面内，故AM和CN不异面直线．(2)是异面直线．理由如下：假设B与在同一个平面D内，11则B平面D，∈面CC11∴BC平CCD，与在正方体中⊥平面CC相盾1111∴假设不成立，故D与是面直线1．如下图所示在长为正方体ABCD－BD中为的点为111的中点O面BCC的心．11

1(1)过作直线与交，与CM交Q(写作法，不必证明)；(2)求的不必证)．解析(1)ON∥知定一个平面.OM三确定一个平面(下图所示．∵三个平面α，和ABCD两相交，三条交线CMDA其中交线与交CM不行共面．∴必交，记交点为Q∴OQ是α与β的交线．连结与AN交，与CM交Q，故即所作的直线．(2)解三角形APQ可PQ.如在三棱柱ABCAB中AB＝B＝a∠ABC＝90°D1111不得用于商业用途

仅供个人参考E分为、AC的点．1(1)求异面直线BB与所的角的正切值；1(2)证明：DE为面直线与AC的公垂线；1(3)求异面直线BB与的离．1解析：(1)于直三棱柱－中，∥BB，以AAC就是异111面直线BB与AC所成的角．1又＝＝B＝，ABC，1所以C＝2，tan∠A＝，11即异面直线BB与AC所成的角的正切值为1(2)证明：解法一：如图，在矩形中过点作的行线11分别交ACC于点、M，连结BM，M，则BB綊111又、E分是BB、的点，11可得DE綊.在直三棱柱ABCC中，1由条件ABBC得BM⊥AC，所以BM⊥平面ACC，1故DE⊥平面ACC，所以⊥AC，⊥BB，1即DE异面直线BB与的垂线．1解法二：如图，延长、CB交于点F连结，由条件易证D1是C的中点B是CF中点，又E是AC的中点，所以DE.1在△ACF，由AB＝＝BF知AF在直三棱柱ABCC中⊥平面，1所以⊥，AF平面ACCA，11故DE⊥平面ACC，所以⊥AC，⊥BB，1即DE异面直线BB与的垂线．1(3)由(2)知线段DE的长就是异面直线与的离，由于AB＝aABC＝1190°，所以DEa．如图所示，在正方体－CD中OM别是BD，的点．1111(1)求证：MO是面直线AA和BD的公垂线；11(2)求异面直线AA与BD所的角的余弦值；1(3)若正方体的棱长为a求异面直线与的距离．1解析：(1)明：∵O是BD的点，1∴O是方体的中心，∴OA＝，1又M为的点，1即OM是段的直平分线，1故OM⊥.1连结MDBM，则可得MBMD1同理由点O为BD的点知MOBD，11即MO是面直线和BD的垂线．1(2)由于∥BB，1所以∠B就异面直线和所的角．1111在eq\o\ac(△,Rt)D中设BB＝1，则＝，11所以∠BD＝，113不得用于商业用途

仅供个人参考故异面直线AA与BD所成的角的余弦值等于.13(3)由(1)知，所求距离为线段的长，．如下图在四棱－ABCD中底ABCD是方形，侧棱⊥底面ABCDPD＝.过BD与平行的平面，交侧棱于，又作DFPB，交PB于F(1)求证：点是的点；(2)求证：⊥平面EFD证明：(1)结，交，为AC的点，连EO.∵PA∥平面BDE，平面∩平面BDE＝，PA.∴点是PC的中点；(2)∵PD底面ABCDDC⊂面，∴⊥DC，△是腰直角三角形，而DE是斜边PC的线，∴⊥PC①又由PD⊥平面ABCD得PD⊥.∵底面ABCD是正方形CD⊥，∴BC平面而DE平面∴⊥.由①和②推得DE平面PBC而PB⊂平面PBC，∴⊥，又DF⊥PB且DEDF，所以PB⊥平面EFD．如图，l、l是互相垂直的异面直线，MN是们的公垂线段．点、B在l上，C121在l上，＝＝2(1)求证⊥；(2)若∠ACB＝，求与面ABC所角的余弦值．证明如图由已知l⊥MNl⊥MNl＝M可得l⊥221面ABN由已知MNlAM＝＝，知AN且⊥.1又为在面ABN内的射影，∴⊥.(2)∵eq\o\ac(△,Rt)≌△CNB∴＝BC又已知∠ACB＝，因此ABC为三形．∵eq\o\ac(△,Rt)≌eq\o\ac(△,Rt)，∴＝＝，因此N在面ABC的射影H是三角形的中心．连结BH∠NBH为与面所成的角．在eq\o\ac(△,Rt)NHB中，ABHB6∠＝＝＝NB23AB不得用于商业用途

22221仅供个人参考22221．如图，在四棱锥P－中底面边长为正方形⊥面，且＝.(1)求证：平面⊥平面；(2)求二面角－PC－的弦值．解析：(1)明：∵⊥面ABCD，∴PA⊥BD.∵为方形，ACBD∴⊥平面PAC，又BD在平BPD内∴平面⊥平面BPD(2)在平面内⊥PC垂足为，连结DN，∵eq\o\ac(△,Rt)≌eq\o\ac(△,Rt)PDC由BN⊥得⊥；∴∠为二面角－－D的面角，在△中＝DN＝，BDa，＋－a∴∠＝＝.5如已－BCD是长为正方体点在上11点在上，G在BB上，且＝＝BG1，是BC的中点．111(1)求证：E、、、四共；1(2)求证：平面GH∥面F.11证明：(1)结FG∵AEBG＝1∴＝AE＝21∴BG綊AE，∴A綊BE11∵綊BG，1∴四边形C是行四边形．11∴CB綊D，11∴四边形GFD是行四边形．11∴綊D，∴DF綊，1故EB、、D四点共面．1(2)∵是BC的中点，H＝11B又，∴＝1BH21FC又＝，∠＝∠H，BC31∴eq\o\ac(△,B)eq\o\ac(△,)∽CBF，1∴∠GH＝∠CFB＝∠FBG1∴HG.又由(1)知BE且HGAG，1∩BE＝B，∴平面GH平面F19．在三棱锥P－ABC中PA⊥面，△为三角形，D、E分为BCAC的点，设＝＝(1)求证：平面⊥平面PAC(2)如何在BC上一点F，使AD平面，请说明理由；(3)对于(2)中的点F，求三棱锥B－的体积．解析：(1)明：∵⊥ABC，BE面ABC，∴PA⊥∵△ABC是三形为的点，不得用于商业用途

仅供个人参考∴BE，又PA与相，∴BE平面，∴平面⊥平面.(2)解：取DC的点F则点即为所求．∵，F分是，中点，∴EF∥AD又AD平面，EF平面，∴∥平面PEF113(3)解：V＝＝＝××××＝BBEF3eq\o\ac(△,S)34天19)如图所示在五面ABCDEF中⊥面ABCD∥∥FE，⊥，MCE的点，＝AB＝FE＝AD.(1)求异面直线BF所的角的大小；(2)求证：平面AMD⊥面；(3)求二面角－CD－的弦值．解答：(1)解由题设知，BFCE，所以∠CED(或补为异面直线BFDE所的角设为中点连EPPC因为綊AP，所以綊EP.理AB綊PC.⊥面以EP平面而，都平面内，故EP⊥PC，⊥AD由ABAD，可得⊥AD设＝a，则EP＝＝aCDDE＝2故∠＝所以异面直线BFDE所成的角的大小为(2)证明：因为＝且M为的点，所以DM连结MP则MP⊥CE又MP∩＝，CE平面.而CE⊂平面，所以平面⊥平面.(3)设Q为CD的点，连结，EQ.因为＝DE，所以⊥CD因为＝PD所以PQ⊥CD，故∠EQP为二面角A－E的面角．由(1)可得，⊥，EQa，PQ2PQ3于是在eq\o\ac(△,Rt)EPQ中cos∠＝＝.EQ3所以二面角A－－的弦值为11(2009·重)如图所示四锥P中⊥ADADDCPA⊥底面ABCD1＝＝DC＝＝1M为PC的点N点AB上AN＝.3(1)求证：∥面；(2)求直线MN与面所成的角．解析：(1)明：过点M作ME∥点，连结.∵＝，∴＝＝＝EM又EM∥DC∥，∴EM綊，∴为行四边形，∴∥，∴∥平面(2)解：过N点NQ交BP于⊥CB于点F连结QF，过作NH⊥，结，易知QN⊥面ABCD∴⊥，而NF⊥，不得用于商业用途

QN＋2211仅供个人参考QN＋2211∴⊥面，∵⊥NH，而NH，∴NH⊥平面PBC∴∠为线与面PCB所的角．3通过计算可得＝，＝＝，4QNNF·NF6∴NH＝＝，QF3∴sin∠NMH＝，∠＝，MN∴直线MN与面所的角为60°.．如图，已知正方体－ABC中为的点．111(1)求直线C与DE所的角的余弦值；1(2)求证：平面EBD⊥平面CD；1(3)求二面角－－的弦值．1解析(1)结A则AD∥BC知B与DE所的角即为AD与DE所的角．11连结由方体ABCD－BCD可其棱长为则D2＝＝11111

，∴∠DE1A＋－10＝＝.DDE51∴直线CDE所角的余弦值是1

(2)证明取C的点，D的点G，连结BF，EG，GF.1∵CD平面BCC，1且BF⊂面BCCB，⊥11又∵⊥CCD∩BC＝，1∴BF⊥平面CD.11又∵CD，CD，2∴，∴四边形是行四边形，∴BF∥，∴⊥平面1∵GE⊂平面D，1∴平面D⊥平面CD.11(3)连结EF∵CD⊥BC∥CD，∴⊥B.1又∵GE平面BCD，1∴EF⊥，∴∠是面角E－C－的平面角．11设正方体的棱长为，则在EFG中＝，EF，2FG3∴∠EFG＝，3∴二面角－D的弦值为1

不得用于商业用途

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