高中数学专题复习5两角和与两角差的三角函数

第章三函课题：角和与差的余弦、正弦、正一教学目：掌握平面内两点间的距离公式和两角和与差2.能用以上公式进行简单的求值.教学重：弦的和与差角公式及简单应.教学难：弦的和与差角公式的推.教学过：一、上一节学习了任意角的三函数，在研究三角函数时，还常常会遇到这样的问题：已知任意角αβ的角函数值，如何α＋β、α－β或α的角函数?即α＋－β或α的角函数值与的三角函数值有什么关?二、1.数轴上两点之间的距离就等于这两点所表示的两个数的差的绝对.2.平面内P（，（，｜PP｜

(x)21

2y)223.两角和的余弦公式合图推导出两角和的余弦公)（1）相关点的标（，cosα，αPcosα＋sin（α＋（cos（－β（β）.（2）公式推导｜PP｜

[cos(

2

sin2｜PP｜

[cos(2[sin(2又由｜｜＝｜｜得［cos（α＋）1］＋α＋β）［cos－）cosα］＋［sin－）α］整理，得两角和的余弦公为：（α＋β）αcos－αβ（

）这个公式对于任意的角，β都成.注意：不能把cos（＋β）按分配律展开，应按两角和的余弦公式展.用

替代公式中的

得到两角差的余弦公式：cosα－β）＝cosαcosβ＋sinsin（）总结：两角之和的余弦等于这两角余弦之积与其正弦之积的.(2)角之差的余等于这两角余弦之积与其正弦之积的.三、例题分析例1.求下列式的值：（1）cos75（）（3）（4）cos23°cos22－sin23°sin22°

cos105例2.已

sin

3，为第二象限角，，第四象限角，求5

，例3.已知α、β为角，且cosα＝

4，cos（＋β）＝－，求cosβ的值565

．．．．．．例4.已知cos－β＝

1，sin－sinβ＝，求：cosα－β）的值2四、练习1.下列命题中的假命题)A.存在这样的和β的，使得cos（α＋β）＝cosαcosβ＋sinαsinβB.不存在无穷多个和的，使得cosα＋β）＝cosαcosβ＋sinαsinβC.对于任意的和β，有cosα＋β）coscosβ－sinsinＤ.不存在这样α和值使得cosα＋）cosαcosβ－sinαsinβ2.在中，已知cos·cos＞sin·sin，一是钝角三角形吗？3.已知：∈（

3512，∈0cos（－α），（＋）－44513求：cosα＋β）.4.在中，已知sin＝

3，cos＝，求cos的值55.已知

2cos(2

，tan(

的值。五、1.平面内P（ｙ（）两点间的距离公式：P｜

(xx)21

2

)21

22.两角和与差的余弦公式推导。

第章三函课题：角和与差的余弦、正弦、正二教学目：掌握Ｓ、ＳT、的导过程及公式特征；2.利用上述公式进行简单的求值与证明.教学重：角和与差的正弦公式及推导过.教学难：活应用所学公式进行求值证.教学过：一、cos（＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

C

cos（－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβcos（－α）sin2

C

sin（

2

－）cos(二、讲授新课

CC

((

cos(2sin(cos2

1.推导公式：把（

2

－θ）=sinθ中θ用α＋代替，得到sinα＋β）＝sinαcosβ＋cossin把β用β代替，得到

（Ｓ）sinα－β）＝sinαcosβ－cossin（）sincos当（α＋）0时tan（α＋β）coscos如果cos≠，即α≠且β≠，得到：tan（＋）

tan

（T

）同理可得：tanα－）

tantan

（T

）2.公式应用：例1.利用(差角式求°、15°正弦、余弦、正切值.例2.已知sin＝

2，α∈，3

3，β∈（π，42求（α－（α＋β（＋）例3.已知

5sin

，求证：

。例4.tan7126（1）（）1tan7126

1tantan75

（）

11tan15例5.已知：

tan

，

，

，

tan求与tan值。tan三、1.对等式sin（＋β）＝sinα＋的确认识是)A.一定成立B.C.只有有限对、Ｄ.有无穷多α、β的值使等式成立，但不是对所α、成立2.若·＝，cosα·cosβ＝.3.已知

，cos(，，求值。241365

）24.若（＋）＝，tan（β－）＝，求tanα＋）值）54225.已知tan＝

11，tan（－β）＝－，求（β－α)（）25126.已知

tan

、tan

是方程

x2

的两个根，试求：sin

3sin(

的值。7.证明

tan

3x2sinx2cosx2x四、1.两角和（差）的正弦公式：sin（＋）＝αcosβ＋cosαsinβ(S)sin（－）＝αcos－αsinβ（2.两角和（差）的正切公式：tan（±）＝（及T）几个变式tan±β＝tan（±βtanαtan］1

tantanβ＝

tantan(

第章三函课题：角和与差的余弦、正弦、正三教学目：掌握Ｓ，及T的灵活应.2.综合应用上述公式的技能.教学重：，，的活应.教学难：活应用和、差角公式进行化简、求值、证.教学过：一、和、差角公式：sin（±）＝sinαcosβcossinβ()cosα±β）＝cosαcosβinSβ(C)tanα±β）＝（Ttan公式推导顺序C二、讲授新课——

→C→→S→T→.公式S，都适用于α、β为意角，但运用公式T

时须定、βα±β都不等于

2

＋ｋπ（ｋ∈Ｚ).例1.求证

sin(sin(sin2costan

例2.已知sin＝·sin2α＋求证：tan（＋β）

11

tan例3.求tan70°＋tan50°－

tan50°tan70°值例4.设

tan

，且

2

，

，求cos。2例5.设sin＋cosθ＝

，＜＜π，＋cosθ与tanθ－cotθ的.评述）在sinθ＋θ、sinθcos与sin－θ中，知其中之一便可求出另外两（2解有关θ＋cosθsinθθ与sinθ－的题是三角函数中的一类重要问题三、1.tan230°－＋A（°－A＋（°－A（°－A＝（）.2.是否存在两个锐角使求出的值；若不存在，请说明理由。

，tan32

同成？存，413.已α、β为锐角，α＝，tan（α－β），求53

的.

91050

）四、在解决三角函数问题时，常要将和角公式、差角公式、诱导公式、同角三角函数基本关系式等等综合使.

第章三函课题：角和与差的余弦、正弦、正四教学目：2.理解公式：sinθ＋θ＝

a

sin（＋(其中

aa2

,sin

ba2

，θ为意角).3.灵活应用上述公式解决相关问.教学重：利用两角和与差的正弦式将asinθ＋cosθ形式的三角函数式化为某一个角的三角函数形式.教学难：使学生理解并掌握将sinθ＋cosθ形式的三角函数式化为某一个角的三角函数形式，并能灵活应用其解决一些问.教学过：一、讲授新课利用两角和与的正弦公式的倒写形式，有时可以简化问。这节课，主要就是通过例题总结这类问题的应用。例1.求证

3sin

2

6

cos

(其中令

2(sin2(sincoscossin6613sin,cos)26

sin(6例2.求证

3

3

cos

3sin

2(coscos23

23(其中令

13cos,2333

)总结：对于形如sin＋cos的子都可化为一个角的三角函数形式。变形方式：

acos

a2(

a

a2

a

b2

分析：由于

(

a

a22

b)2)a22

及sinθ＋θ＝(1)若令

a

a

b＝sin，＝cosθa∴asin＋cos＝

2

（sinsinα＋coscosα）＝

cos（θ－α）（或＝

2

2

cos（－(2)若令

a

a2

＝cos

，则

a

b

＝

∴

a

sin＋cosα＝

（sincos

＋cossin

）＝

sin（＋

）总之，二、

a

sin＋cos均可化为某一个角的三角函数形式，且有两种形.

1.证(1)

sin()6(2)cosθ＋sinθ＝

sin（＋

4(3)

（sin+cos）=2cos(x-

4

)2.化下列各式为一个角的三角函数形式3(1)sinx＋cos(2)3sin－5(22(3)3sin－cos

(4)

66sin－）＋cos（－）23.求证：

sincosxtan(