高中数学(北师大版)必修五教案2.3 考点归纳解三角形

解角【考题放】1．,c分别的三个内角B,所的边，aB的（）

（A）充分条件（B）充分而不必要条件（C）必要而充分条件（D）既不充分又不必要条件2．ABC中，已tanC，给出以下四个论断：2①tanB

②B③

2

A

2

B

④cos

2

Acos

2

Bsin

2

C其中正确的是（B）（A）①③（B）②④（C）①④（D）②③3．在△中，已知A、、C成等差数列，tan为__________.

Atan3tan2

的值4．如B的三个内角的余弦值分别等B的三个内角的正弦值，112则（）A．B都是锐角三角形1122B．B都是钝角三角形1122C．B是钝角三角形BC是锐角三角形112D．B是锐角三角形BC是钝角三角形1125己知AC是锐角△ABC的两个内角，tanA,tanC是方程x

-

p＝0(p≠0，且p∈R)，的两个实根，则tan(A+C)=_______tanA,tanC的取值范围分别是____和_____，p的取值范围是__________；(0，)；(0，3)

23

，1)6ΔABC中知AB

466,B3

上的中线BD=sinA.

【专家解设E为BC的中点，连DE，DE//AB，D

1，2设BE=x在ΔBDE中可得

2

2

2

BEBED，5x

867x解得x，x（舍去）33故BC=2，从而

2

2

2

B

283

，即AC

304B，故sinsin

【考点视】专题主要考查正弦定理和余弦定理．【热点析】角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一，本节主要帮助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧握的能力：

学生需要掌(1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形；(2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；(3)能熟练运用三角形基础知识，(余)弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘【范例1【】△ABC中，若tanA︰tanBa

:

，试判断△ABC的形状．解

由同角三角函数关系及正弦定理可推得

sinABsinAsinBB

，∵B为角形的内角，sinA，sinB．∴＝或2A＝－2B，∴＝或＋＝所以△为等腰三角形或直角三角形．

2

．【点晴角形分类是按边或角进行的，所以判定三角形形状时一般要把条件转化为边之间关系或角之间关系式，从而得到诸如

2

＋b

2

＝c

2

，a

2

＋b

2

>c

2

（锐角三角形

＋b

＜c（钝角三角形）sin(A－＝0，sinA＝sinBsinC＝1或cosC＝0等一些等式，进而判定其形状，但在选择转化为边或是角的关系上，要进行探索．

【范例2【文在△中，a、、c分别为角A、、C的对边，

2

2A.2(1)求角A的度数；(2)若a=

，b+c=3，求bc的值解析

由

2

A及A180:22[1cos()]2cosA,4(1cos)即

4cos,180(2)由余定理:A

b

bc

1b21cosA()2bc2

bc.a代入上式::【点睛弦定理和余弦定理在解斜三角形中应用比较广泛【范例3已知△ABC周长为6，BCCA成等比数列，求（1）△ABC的面积S的最大值；（2BABC的取值范围．解析设,CA,依次为a，b，c，则a+b+c=6．在△ABC中cos

2

2ac2ac,ac2故0B

3

．bac

a62．2（１）S

11sinB33．23（２）cosB

22()2

2

(6)2

2

2

．

02,

BC

．【点睛三角与向量结合是高考命题的一个亮点问题当中的字母比较多，这就需要我们采用消元的思想，想办法化多为少，消去一些中介的元素，保留适当的主变元．主变元是解答问题的基本元素，有效的控制和利用对调整解题思路是十分有益处的．【变式】在△中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,△ABC的外接圆半径R=，且满足

2ACB

.(1)(2)

求角B和边b的大小；求△ABC的面积的最大值。解析(1)由

2sinsinCB

整理得sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB∴sin(B+C)=2sinAcosB∴sinA=2sinAcosB∴cosB=∵b=2RsinB∴b=3

1∴B=2(2)

1=sinB3R2sinsinCAsin(23

A

sin(2)6

∴当A=

3

时,

ABC

的最大值是

94

．【点睛角函数的最值问题在三角形中的应用【范例4某观测站C城A的南20˚西的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南40˚东，在C测得距C31千米的公路上B处有一人正沿公路向A走去，走了20千米后，到达D，此时C、距离为21千米，问还需走多少千米到达A？解析据题意得图02其中BC=31千米=20千米=21千米∠60˚．设∠ACD=α，∠CDB=β．在△CDB中，由余弦定理得：

222222222222cos

CDBD122207

，

1

2

437

．sin

sin

41572214

．在△中得AD

212153sin60314

．所以还得走15千米到达A城．【点晴】用解三角形的知识解决实际问题时，关键是把题设条件转化为三角形中的已知元素，然后解三角形求之．1．在直角三角形中，两锐角为A和B，则sinA·sinB(B)1（A）.有最大值和最小值（B）.有最大值但无最小值2（C）.既无最大值也无最小值（D）.有最大值1但无最小值2已知非零向量与AC满(为（D）

ABACAC1BCABACAC

（A）等边三角形（B）直角三角形（C）等腰非等边三角形（D三边均不相等的三角形3．△ABC中，3sinA+4cosB=63cosA+4sinB=1，则∠C的大小是（A）（A）

55（B）（C）或（D）或66

234.一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为A)(A)arccos

5515(B)arcsin(C)arccos(D)arcsin2225.已知a+1是钝角三角形的三边的取值围是.0，2）

16．知定义在R上的偶函数yx)区[0,单调递增,若f()0,22的内角A满足)则A的取值范围是(,](32【文】ABC中A.B.C的对边分别.。（1）若a,b,c成等比数列，求f(B)=sinB+3cosB的值域。

,（2）若a,b,c成等差数列，且A-C=

3

，求cosB的值。解析(1)2ac,2

2

22ac1ac当且仅时取等号,0

3

∵f(B)=sinB+3sin(B

3

)∵

3

3

23

∴f()的值域为3,2(2)2b,∴sinA+sinC=2sinB∵A

3

,A∴

BBBC=∴sin()+sin()=2sinB32展开,化简,得

3cos

BB32*sin,cos0,∴222∴cosB=1

5288文】中,c别为角B,的对边，且满足4cos

2

cos)2（１）求角大小；（２），取最小值时，判断的形状．解析（１AB