计量经济学-汪家义课件 第7章 第2节 联立方程模型的识别

经济计量学汪家义

第二节联立方程模型的识别估计联立方程模型之前，必须讨论联立方程模型的识别问题，识别情况不同，联立方程模型的参数估计方法将有所不同。因此，模型的识别问题在模型设定时就应解决。下面我们通过例子来说明什么是联立方程模型的识别问题。【例7.4】设有简单需求－供给模型其中，需求量Qd，供给量Qs，市场商品价格P为内生变量。一、引入识别概念的例子下面我们通过一些例子来说明识别概念需求方程供给方程平衡方程当供需处于平衡状态时，Qd=Qs。即需求函数和供给函数的形式是相同的，当我们用最小二乘法估计方程的参数时，就无法识别估计出的参数到底是需求方程还是供给方程的参数，这就是联立方程的识别问题。【例】设宏观经济模型为；（1）（2）（3）其中，Y为国民总收入，C

为消费，I

为投资。将方程（1）中的投资I

代入方程（3）得（4）现在的问题是：当我们用样本数据Ct和Yt

估计出的参数是方程（2）中的参数还是方程（4）中的参数呢？这也是联立方程的识别问题。产生这种情况的原因是因为：第（2）个方程和由第（1）个方程与第（3）个方程组合所得到的第（4）个方程在统计形式上是相同的，无法加以区分，也就是说它们不具有唯一的统计形式。我们把由于方程不具有唯一的统计形式，致使不能判断方程属性的问题称为识别问题。方程不具有唯一的统计形式，就称该方程不能识别。例如，在上例中，方程（2）是不能识别的。在例7.4模型中，需求函数和供给函数都是不能识别的。二、识别的概念若模型的某一方程与模型中某些方程或全部方程的线性组合所得到的方程的内生变量、前定变量不完全相同，则称此结构方程具有唯一的统计形式；否则，就称此结构方程不具有唯一的统计形式。1.统计形式唯一性的定义2.识别的定义：

定义：若某一结构方程具有唯一的统计形式，则称此方程是可以识别的；否则，就称此结构方程是不可识别的。若线性联立方程中的每个结构方程都是可以识别的，则称此模型是可以识别的；否则，就称此模型是不可识别的。

【识别的另一个定义】

根据参数关系体系，在已知简化式参数估计值时，如果能得到联立方程模型中某个结构方程确定的结构参数估计值，就称该方程可以识别。否则称该方程为不可识别。理解“识别”概念时，应注意以下几点：1.只有当模型中每一个方程均可识别时，整个模型才是可识别的。因此，判断联立方程模型的识别性，必须对模型中的方程逐个进行识别。

2．模型中的平衡方程和定义方程，即恒等式不需识别。模型的识别不可识别可识别恰好识别过度识别三、识别的分类不可识别：简化式参数不能确定结构式参数。恰好识别：简化式参数唯一确定结构式参数。过度识别：简化式参数确定结构式参数不唯一。【例】识别下列模型

所以，第2与第3个方程的线性组合得到的新方程具有与第1个方程（消费方程）相同的统计形式，所以第1个方程（消费方程）是不可识别的。【解】如果利用第2与第3个方程消去It

，可得到：（1）（2）（3）第1与第3个方程的线性组合得到的新方程具有与第2方程（投资方程）相同的统计形式，所以第2方程（投资方程）也是不可识别的。于是，该联立方程模型不可识别。该模型的简化式模型为：也可以通过结构式参数与简化式参数之间的关系来识别。参数关系体系为：不能通过简化式模型中的3个参数确定结构模型中4个参数的值。由此也可以看出，该联立方程模型不可识别。【例7.5】设有需求－供给模型

其中，D

=

需求量，S

=

供给量，P

=

市场商品价格，I

=

消费者收入。D，S，P

=内生变量，I=外生变量，Pt-1=滞后变量。模型中最后一个方程表示供给量等于需求量，即市场是供求平衡的，供求平衡的量为Qt。因此，该模型可以简化为：这是结构式模型。将内生变量表示为前定变量和随机误差项的函数即可得如下简化式模型：其中，从所给的需求－供给模型可知结构式模型中共有六个结构式参数，即

而在其简化式模型中也含有六个参数，即

因此，可以从六个简化式参数中求出结构式参数的唯一表达式，

从而唯一地确定了结构式参数值。

所以，整个模型是可识别的，而且是恰好识别的。现在对上述需求－供给模型作了一些修改，引入表示财富的变量

Rt（外生变量），得到下列模型:【例7.6】需求－供给模型

我们研究这个模型的识别性。仿照上例的讨论方法，简化式模型为:其中，

模型包含七个结构式参数，但是有八个简化式参数可用来求解这七个结构式参数。这时，方程数大于变量数，因此结构式参数没有唯一解，有多个解。所以，本例是过度识别的。注意：利用简化式参数的个数与结构式参数的个数之间的关系只能判明整个模型的可识别性，而不能确定每一结构方程的可识别性。例如，当整个模型不可识别时，并不意味每个方程不可识别。四、识别的条件

模型识别的条件有两个，即阶条件和秩条件。阶条件是必要条件，秩条件是充分必要条件。判断模型的识别情况，要将两个条件结合起来，灵活应用。如果用定义来判断方程的可识别性会很不方便，下面介绍其它的识别方法。记M------结构式模型所含方程的总数（或内生变量总数）H------结构式模型所含的全部变量总数（包括前定变量和内生变量总数）G------待识别方程所含的全部变量总数（包括前定变量和内生变量总数）1．阶条件：若某一个结构式方程是可以识别的，则此方程被斥的变量总数（不包含在待识别方程中的变量

）大于或等于模型中方程数减一，即H－G≥M－1

式中，等号成立为恰好识别，不等号成立为过度识别，即若（1）

H-G<M-1，则不可识别；（2）H-G=M-1，则为恰好识别；（3）H-G>M-1，则为过度识别。不包含在待识别方程中的变量（被斥变量）个数

（联立方程模型中的方程个数–1）即：若某一个结构式方程是可以识别的，则应用阶条件时要注意：

（1）

阶条件是必要条件，不是充要条件。不能仅从不等式

H－G

≥

M－1

的成立，来断定方程是可以识别的。

（2）如果阶条件不成立，则方程不可识别。例如，若联立方程模型中的某个结构方程包含了所有变量，则这个方程不可识别。因为，此时:H－G=0

<M－1.【例7.7】例

7.6

模型的识别。因为M=2，H=5，G1=4，G2=3，则有：H－G1=1M－1=1，H－G1=M－1；H－G2=2M－1=1，H－G2

>

M－1。

所以，两个方程都满足阶条件，第一个方程为恰好识别，第二个方程为过度识别。【解】由例

7.6

知，该模型是可以识别的。

2．秩条件：在具有M个方程的结构式模型中，任何一个方程可以识别的充分必要条件是：

不包括在该方程中的变量（包括内生变量和前定变量）的参数所组成的矩阵（记为

A）的秩为M－1，

即

r（A）=M－1。待识别方程的被斥变量系数矩阵的秩=（联立方程模型中方程个数–1）

【注意】秩条件虽然是充分必要条件，但当秩条件满足时，只能说明方程是可以识别的，并不能断定方程是恰好识别还是过度识别。因此，必须将秩条件和阶条件结合起来，才能完成方程识别性判断。

【例】设定的联立方程模型为消费方程：投资方程：税收方程：定义方程：（不可识别）（恰好识别）（过度识别）（不用识别）其中Yt、Ct、It、Tt

分别代表收入、消费、投资、税收，是4个内生变量。Gt代表政府支出。试对模型中的各结构方程进行识别。【解】第一步：写出结构模型的系数矩阵结构方程形式为：系数矩阵为：第二步：写出待识别方程的被斥变量系数矩阵消费方程：被斥变量

第三步：识别因为矩阵的秩为2，即被斥变量系数阵的秩=2，而

(联立方程个数)-1=4-1=3由秩条件知，第1个方程是不可识别的。从而但是，对于第1个方程，被斥变量有3个，（方程个数–1）=3。所以满足阶条件。由此可以看出，满足阶条件不能断定方程是可识别的。即阶条件是必要而非充分条件。投资方程：第2个方程（投资方程）的识别：被斥变量矩阵的秩为3，

(联立方程个数)-1=4-1=3由秩条件知，第2个方程是可识别的。又第2个方程被斥变量有3个，则从而第2个方程被斥变量的个数=联立方程个数-1再由阶条件知，第2个方程是恰好识别的。第3个方程（税收方程）的识别：被斥变量税收方程：所以

(联立方程个数)-1=4-1=3由秩条件知，第2个方程是可识别的。又第3个方程被斥变量有4个，则从而第3个方程被斥变量的个数>联立方程个数-1再由阶条件知，第3个方程是过度识别的。由于第4个方程是定义方程，因而不用识别。消费方程：投资方程：税收方程：定义方程：（不可识别）（恰好识别）（过度识别）（不用识别）于是有：整个联立方程模型是不可识别的。（1）先考查阶条件，因为阶条件比秩条件判别起来简单。若不满足阶条件，识别到此为止。说明待识别方程不可识别。若满足阶条件，则进一步检查秩条件。联立方程识别的一般过程：（2）若不满足秩条件，说明待识别方程不可识别。若满足秩条件，说明待识别方程可识别，但不能判别可识别方程是属于恰好识别还是过度识别。对此还要返回来利用阶条件作判断。（3）若阶条件中的等式（被斥变量个数=方程个数–1）成立，则方程为恰好识别；若阶条件中的不等式（被斥变量个数>方程个数–1）成立，则方程为过度识别。结构方程识别的一般步骤：阶条件不可识别秩条件不可识别可以识别阶条件恰好识别过度识别

附录:联立方程识别阶条件的证明：设联立方程的结构式模型为：假定识别的方程是模型的第一个方程，设第一个方程里有g1个内生变量，有k1个前定变量，Y1前面的系数为1，不妨假设g1个内生变量就是前g1个内生变量，k1个前定变量就是前k1个前定变量。如若不然，只需作适当调整。其中：用矩阵表示为：由结构参数与简化参数之间的关系：即利用分块矩阵的运算（1）（2）判断方程能不能识别就是根据由简化式参数能否得到结构式参数唯一值。所以在给定的条件下，若能得到的唯一值，则第一个方程就可识别。显然，若方程（2）有唯一解，则方程（1）中的也就唯一确定了。于是，第一个方程能否识别，就转化为判断方程（2）是否有唯一解。它是一个齐次线性方程组，其系数矩阵是一个的矩阵，未知量的个数为，（因为已假定Y1前面的系数为1）。由线性代数的知识，齐次线性方程组（3）有唯一解的充要条件为：对于方程（2）：可化为：（3）因为一个矩阵的秩与其行秩和列秩相等，所以，当第一个方程可识别时，必有两边同时加上得：第一个方程中被斥变量个数(联立方程个数)–1这就是联立方程识别的阶条件。第一个方程中被斥前定变量个数

(第一个方程内生变量个数)–1此时：若第一个方程中被斥变量个数=(联立方程个数)–1则第一个方程为恰好识别，若第一个方程中被斥变量个数>(联立方程个数)–1则第一个方程为过度识别。

附录:联立方程识别秩条件的证明：设