计量经济课件 01准备知识

第一章准备知识★数学公式★矩阵代数★概率统计3/25/20231★数学公式3/25/20232数学公式(一)阶乘：对于正整数n，有指数函数：斯特林公式：Gamma函数：特别地递推关系n为整数时3/25/20233数学公式(二)二项式系数：对于非负整数n和r，，有二项式展开：对于实数x，y及非负整数n3/25/20234数学公式(三)单变量泰勒序列：二阶向量泰勒展开：对于转置3/25/20235★矩阵代数3/25/20236基本概念矩阵(matrix)：向量(Vector)：数量(Scalar)：数量指的是单个数，表示为3/25/20237矩阵的向量表示3/25/20238矩阵转置对称阵对角阵，上三角阵，下三角阵n=k时称为方阵3/25/20239矩阵相乘3/25/202310单位阵和正交阵若，则称两个向量正交。对于矩阵，k<n，若，则称矩阵的列是正交的。若是方阵，则称其为正交阵。3/25/202311矩阵迹定义性质3/25/202312矩阵逆满秩，若存在单一矩阵，使得，则称是的逆，记为。性质3/25/202313矩阵的行列式方阵特别地性质3/25/202314特征根和特征向量方阵的特征方程若是的特征根，则是奇异阵，因此存在非零向量，使得称为特征向量3/25/202315特征根和特征向量(续)矩阵谱分解3/25/202316幂等(Idempotent)矩阵为方阵若还是对称阵，则其所有的特征根为0或1且有3/25/202317投影(Projection)矩阵令是矩阵，投影矩阵验证：投影矩阵是幂等阵和对称阵3/25/202318投影矩阵性质的谱分解3/25/202319向量(vec)算子3/25/202320克罗内克(Kronecker)积定义性质3/25/202321矩阵微积分3/25/202322矩阵微积分(续)3/25/202323例3/25/202324★概率统计3/25/202325随机变量随机变量(randomvariable)——指一个具有数值特征并由一个实验(experiment)来决定其结果值随机变量用大写字母表示，随机变量的取值用小写字母表示。随机变量的类型分为离散型连续型3/25/202326概率分布概率分布(probabilitydistribution)连续型——常用概率密度函数(probabilitydensityfunction)f(x)表示，也可以用累积分布函数(cumulativedistributionfunction)F(x)表示离散型——概率质量函数(probabilitymassfunction)、累积函数(cumulativefunction)为阶梯函数3/25/202327数学期望期望(expectation)——指对随机变量X的所有可能值的一个加权平均。★★3/25/202328矩(中心矩)对于m>0，定义X的m阶矩为m阶中心矩为3/25/202329期望性质如果c为常量或非随机变量，则E(c)=c如果c为常量或非随机变量，则E[cg(X)]=cE[g(X)]★★★★3/25/202330方差(variance)和标准差其算术根称为标准差3/25/202331方差性质★★均为常数3/25/202332独立离散型连续型3/25/202333条件概率

(conditionalprobability)离散型连续型3/25/202334条件均值(条件期望)

conditionalmean(expectation)性质3/25/202335常用分布伯努里分布二项分布几何分布泊松分布均匀分布贝塔分布正态分布卡方分布t分布F分布伽玛分布柯西分布指数分布对数正态帕累托分布威布尔分布3/25/202336伯努里分布3/25/202337二项分布3/25/202338几何分布3/25/202339泊松分布3/25/202340均匀分布3/25/202341指数分布无记忆！3/25/202342伽玛分布n个服从指数分布的独立随机变量的和服从Gamma分布3/25/202343贝塔分布3/25/202344柯西分布3/25/202345对数正态3/25/202346帕累托分布3/25/202347威布尔分布3/25/202348正态分布时，称为标准正态分布3/25/202349卡方分布3/25/202350t分布n为正整数3/25/202351F分布3/25/202352变换(transformation)连续型随机变量，一一对应，可微是的逆函数雅克比行列式3/25/202353单变量情形的变换增函数减函数例如3/25/202354相关系数

(correlationcoefficient)3/25/202355样本统计样本均值样本方差3/25/202356协方差

(covariance)显然3/25/202357大数定律

(lawoflargenumbers)设是均值为方差为的独立同分布(independent,identically

distributed,iid)随机变量，则弱大数定律强大数定律3/25/202358中心极限定理

(centrallimittheorem)如果随机变量

具有均值和方差，则随着n增大，的抽样分布越来越接近于均值为方差为的正态分布3/25/202359参数估计方法矩方法最小二乘法最大似然法3/25/202360估计量的性质无偏性有效性一致性3/2