平面几何中的向量方法

优选平面几何中的向量方法当前1页，总共18页。向量的相关概念及其形式定义形式坐标形式数量积运算向量的模向量的夹角垂直的判定共线的判定相等的判定a=λb当前2页，总共18页。

向量在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的条件a∥b

.(2)证明垂直问题,常用向量垂直的条件a⊥b

.当前3页，总共18页。利用夹角公式

(3)求夹角问题

，

(4)求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模|a|=

或|AB|=|AB|=

.当前4页，总共18页。ABCD问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，

你能发现对角线AC的长度与邻边AB、AD的长度之间的关系吗？对角线DB？对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？涉及到长度问题常常考虑向量的数量积AB²AC²AD²DB²当前5页，总共18页。ABCDAB²=a²AD²=b²设AB=a，AD=b，则AC=a+b，DB=a-b，分析：AC²=AC+AC=(a+b)(a-b)·=aa+ab+ba+bb····=a²+2ab+b²·DB²=a²-2ab+b²·同理DB²=AC

²+2(a²+b²)AB

²+AD²=2()平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍.当前6页，总共18页。利用向量法解决平面几何问题的基本思路（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究集合之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素。当前7页，总共18页。ABCDEFRT例2

如图，ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？当前8页，总共18页。故AT=RT=TCABCDEFRT当前9页，总共18页。在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力，你能从数学的角度解释这种现象吗？当前10页，总共18页。在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力，你能从数学的角度解释这种现象吗？GFF1F2θ当前11页，总共18页。GFF1F2θ即F1、F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力∴当θ由0°～180°逐渐增大时，由0°～90°逐渐增大，而的值逐渐缩小，因此逐渐增大解：设则由向量的平行四边形法则、力的平衡及直角三角形的知识可知当前12页，总共18页。GFF1F2θ当θ=0，最小，最小值是当θ时，

例3.

在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力，你能从数学的角度解释这种现象吗？当前13页，总共18页。例4.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d=500m,一艘船从A处出发到河对岸，已知船的速度，水流速度，问行驶航程最短时，所用时间是多少？(精确到0.1min)当前14页，总共18页。例4.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d=500m,一艘船从A处出发到河对岸，已知船的速度，水流速度，问行驶航程最短时，所用时间是多少？(精确到0.1min)思考：要使船行驶的时间最短，所用时间是多少？ABCD当前15页，总共18页。例3

证明直径所对的圆周角是直角ABCO已知：如图所示，已知⊙O，AB为直径，C为⊙O上任意一点。求证：∠ACB=90°证明：即，∠ACB=90°思考：能否用向量坐标形式证明？xy当前16页，总共18页。已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m，1)与l平行则实数m的值为（）A.-1B.1C.2D.-1或2D利用向量证明：菱形的两条对角线互相垂直ABCD当前17页，总共18页。练习1、一船从某河的一岸驶向对岸，船速为，水速为已知船可垂直到达对岸，则（）2、已知作用在A点的三个力