数学教育心理学第十六次课

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第一节数学概念学与教的心理分析一、概念的含义二、概念的获得三、促进数学概念学习的教学建议一、概念的含义（一）概念的定义在认识论中，概念被定义为“反映客观事物的共同本质属性的思维形式.”

在心理学中，一般把概念定义为“符号所表征的具有共同本质特征的同类事、物或性质.”（二）概念的构成

1.概念的命名和定义2.概念的内涵和外延3.概念的类别（三）概念的类别

具体性与定义性；精确与模糊；日常与科学.二、概念的获得概念的获得意味着要求学生掌握一类事物的共同本质属性，并能辨别本质属性和非本质属性,能列举出概念的例证和反例.儿童获得概念的三种基本形式是概念的形成概念的同化概念的顺应（一）概念获得的心理分析概念的形成（conceptformation）概念的形成是指从大量的具体例子出发，归纳概括出一类事物的共同本质属性的过程.2．概念的同化（conceptassimilation）概念的同化是指学习者利用原有认知结构中的观念来理解接纳新概念的过程.3．概念的顺应（conceptmodation）概念的顺应是指当原有的认知结构不能同化新概念时，就要调整或改变原有的认知结构，以便概括新概念.（二）数学概念的两种教学模式1．概念形成的教学模式2．概念同化的教学模式三、促进数学概念学习的教学建议（一）概念的引入1.根据概念的定义形式引入2.根据学生认知的心理特点引入（二）概念的理解1.加强对概念的解剖分析2.利用变式，突出概念的本质属性3.注意概念的对比和直观化4.注意概念体系的建构（三）概念的运用

在实践中运用概念的过程，实质上是概念具体化的过程，这有助于学生对概念的深刻理解和牢固地掌握概念.

讨论、思考问题：1.数学概念获得的心理意义是什么？

2.举例说明数学概念获得的三种方式。

3.数学概念分成哪些类别？今天我们要做什么？先看五个具体问题：1.中国人学概念和美国人学概念有什么异同?2.概念和定义有什么异同？3.你认为数学概念分成哪些类别？4.你如何来设计等差数列概念的教学？5.数学概念教学的本质是什么？数学概念教学的本质（何小亚，2008.2）：Ⅰ.数学概念教学的本质不是低水平的概念言语连锁学习，而是要

使学生在脑中形成概念表象，帮助学生在脑中建构起良好的概念图式。概念图式由一些反映概念属性的观念组成。概念图式中观念的多少、观念的准确与否、观念的深刻程度是反映概念理解水平的重要因素。教

要教什么？

Ⅱ.会解题，考试成绩好的学生，并不保证他有好的概念图式。学生会做此题，但不会做2009年高考广东卷理科第8题例如，2009年广州一摸理科第10题：

2009年高考广东卷理科第8题

Ⅲ.没有了反函数的定义怎么教反函数？许多教师对于《标准》没有介绍反函数的定义，仅要求知道指数函数与对数函数互为反函数这一变化十分困惑，不知如何把握深浅度。

（2009年广东高考理科第3题）强化函数概念的好例子——反函数事实上，反函数不是什么新玩意，它就是一种与原函数联系紧密的一种函数。反函数之所以难教，并不是它本身难，而是它的上位概念函数概念的教学出了问题，即没有真正帮助学生建构起良好的函数概念认知图式。良好的函数概念图式：

“函数是两个非空数集之间的一种对应关系；在一个集合中任意取定一个数，总可以在另一个集合里找到唯一确定的数与它对应；前面的集合叫定义域，那些被唯一确定的所有数组成了叫做值域的集合；函数概念的关键是由谁唯一确定了谁；函数概念与函数所用的符号没有什么关系，就像人的名字一样；……”这一心理图式含有具体的函数实例（解析式、图像、表格、映射图）、抽象的对应过程、定义的言语编码，以及与其它概念的联系（方程、曲线、不等式、代数式等）。又比如，2009年高考广东卷理科第13题

Ⅳ.数学概念学习的几种水平(何小亚,2003)了解：能回忆出概念的言语信息；能辨认出概念的常见例证；会举例说明概念的相关属性.理解：能把握概念的本质属性；能与相关概念建立联系；能区别概念的例证与反例.掌握：在理解的基础上，能直接把概念运用于新的情境.综合运用：能综合运用概念解决问题.第二节数学原理学与教的心理分析一、什么是原理的学习二、数学原理学习的形式三、促进数学原理学习的教学建议一、什么是原理的学习1.对原理的两种理解作为客观的原理：指的是原理的客观陈述，用言语符号信息描述概念之间的关系。作为主观的原理：指的是人的心理操作反应系统,即主体在特定的情境中根据各种关系作出相应的反应.它以产生式“若…，则….”的形式贮存在大脑中。主体能以一类操作行为对一类刺激情境作出反应

.2.数学中的原理包括：

主要指公式、法则、定理和性质.一、什么是原理的学习3.原理学习的本质（一）原理学习实际上是学习一些概念之间的关系.

（二）原理学习不是习得描述原理的言语信息，而是习得原理的心理意义，它是一种有意义的学习.（三）原理学习实质上是习得产生式.只要条件信息一满足，相应的行为反应就自然出现.学习者据此指导自己的行为并解决遇到的新问题.（四）习得原理不是孤立地掌握一个原理，而是要在原理之间建立联系，形成原理网络.4.原理学习的四种水平（何小亚，2008.7）从运用原理的角度看，数学原理学习可以分成

言语连锁学习水平；正向产生式水平；逆向产生式水平；变形产生式水平.1）言语连锁学习水平处于这一水平的学生，会说，会背，会写原理的客观陈述，但不理解原理的本质。他们尚未在心理上形成产生式，当然也就不能运用原理。2）正向产生式水平（正用水平）：处于这一水平的学生，已在心理上形成“若……则……”这一正向产生式，能够由满足原理的条件信息推出结论信息。属于正向使用数学原理的水平。3)逆向产生式水平（逆用水平）：处于这一水平的学生，已在心理上形成“要……就要……”这一逆向产生式，能够由结论信息出发，追寻结论成立的充分条件。这一水平属于逆用数学原理的水平，是运用数学原理的较高级水平。4）变形产生式水平（变形使用水平）：处于这一水平的学生，已在心理上形成变形产生式，能够由问题的部分信息检索出相关的数学原理模式，并根据当前解决问题的需要对数学模式进行变形使用，从而解决问题。这一水平属于变形使用数学原理的水平，是运用数学原理的高级阶段.4）变形产生式水平（变形使用水平）：例如，学完两角和的正切公式后，具有变形产生式水平的学生，在解一个综合性问题时，面对两个实数的乘积“

”这一刺激，他想起了两角和的正切公式，并根据需要，知道

二、数学原理学习的形式1.由例子到原理的学习是指从若干例证中归纳出一般结论的学习.它是一种发现学习，简称为“例子-原理法”

（例子见教材P182）

按发现方式教正弦定理.doc二、数学原理学习的形式2.由原理到例子的学习是指先向学生呈现要学习的原理，然后再用实例说明原理（有时要予以逻辑证明），从而使学生掌握原理的学习.这是一种接受学习，简称为“原理-例子法”

按讲授方式教正弦定理.doc3.接受学习与发现学习(何小亚，2008.2）有意义的接受学习的先进性是知识容量大，效率高，易控制。其局限性是学生的主动性、独立性、创造性未能充分体现。而发现学习的先进性是能激发学生的内在动机、培养对数学的兴趣，建立自信，能培养学生的探究精神和问题解决能力。其局限性是知识容量小，效率低，难控制。有意义的接受学习是中国数学学习的优良传统，要保持。学校数学的多数内容适合于接受学习，启发式的讲授教学仍然是数学教学的主要形式。我们反对的是机械的接受学习（如死记硬背、题海训练、能力技巧化等倾向）。发现学习是培养学生提出概念、发明创造的有效手段，我们应毫不迟疑地予以加强。并非所有的内容都适合于发现学习，发现学习只是接受学习的有益补充。教材应该在教学建议中明确一些适合进行发现学习的内容。学生不一定理解所发现内容的实质，发现后的同化理解十分必要。杜绝形式主义的低效率的机械发现学习。是否选择发现学习模式进行教学，必须依据教育目的、学习内容、教学对象和教学条件确定。三、促进数学原理学习的教学建议（一）促进数学原理学习的一般建议1.提供丰富的例子不论采用例子-原理法还是使用原理-例子法来学习原理，都需要为学生提供丰富的例证.例证应尽量涵盖例证的各种典型类别，以利于学生发现原理和全面理解原理.不能只提供原理的例证，还应该提供原理的反例.

2.联系已学过的知识原理学习是有意义的学习，是新旧知识相互作用并形成新的认知结构的过程.要促进新原理的学习，就要使学生的认知结构中具备与新原理相关的适当观念.

在教学中，教师可以引导学生复习、回忆与原理相关的旧知识，以帮助学生同化新原理.3.让学生运用原理

促进原理学习的最有效的办法是让学生在运用原理的过程中掌握原理.注意：练习不是越多越好，类别单一的重复练习并不有效.要想使学生真正掌握原理，形成产生式，就要让学生进行变式练习.所谓变式练习，就是在其它有效学习条件不变的情况下，命题例证的变化.例如，要是学生熟练掌握“平方差公式”这一原理，教师可以让学生解决以下各种类型的问题：（二）促进公式和法则学习的教学建议在数学中产生了大量的由字母和符号表达的正确命题，我们称之为公式.(P184-188)1.公式的推导2.公式的理解3.公式的记忆4.公式的应用5.法则的教学（三）促进定理和性质学习的教学建议

(P188-191)定理和性质教学的基本要求：掌握定理的证明方法使学生理解并记住定理的条件和结论熟悉定理的适用范围定理和性质教学的重点放在：

1.揭示定理结论的发现过程；

2.揭示证明思路的探索过程.

讨论、思考问题：

1.原理学习的本质是什么？

2.举例说明原理学习的形式。

3.学生学习公式后，可分成哪几种水平？

4.您认为，定理教学的