人教版高一数学必修2-空间直线的垂直关系练习题(含答案详解)

必修2空间中的垂直关系基础知识点一、选择题：1.若斜线段AB是它在平面α上的射影的长的2倍，则AB与平面α所成的角是 ().A.60°B.45°C.30°D.120°2.直线l⊥平面α，直线m⊂α，则().A.l⊥mB.l∥mC.l，m异面D.l，m相交而不垂直3.如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的线段有().A.1条B.2条C.3条D.4条4.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则().A.α∥γB.α⊥γC.α与γ相交但不垂直D.以上都有可能5.已知长方体ABCDA1B1C1D1，在平面AB1上任取一点M，作ME⊥AB于E，则 ().A.ME⊥平面ACB.ME⊂平面ACC.ME∥平面ACD.以上都有可能6.如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是().A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B.它们两两垂直C.平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直二、填空题：7.在正方体A1B1C1D1ABCD中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心(如图)，则EF与平面BB1O的关系是________.8.若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的有________个.①a⊥α，b∥α⇒a⊥b;②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.9.α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③m⊥α；④n⊥β.以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________.10.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1ABC的大小为________.三、解答题：11.如图所示，在Rt△AOB中，∠ABO=eq\f(π,6)，斜边AB=4，Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角BAOC是直二面角，D是AB的中点.求证：平面COD⊥平面AOB.12.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(1)求证：PA∥平面EDB；(2)求证：PB⊥平面EFD.综合提高1.已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与直线m垂直，则直线n与平面α的关系是().A.n∥αB.n∥α或n⊂αC.n⊂α或n与α不平行D.n⊂α2.已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是().A.AB∥mB.AC⊥mC.AB∥βD.AC⊥β3.一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角().A.相等B.互补C.相等或互补D.关系无法确定4.如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有().A.①②B.①③C.②③D.③④5.如果三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则顶点在底面的正投影是底面三角形的________心.6.已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，若A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与ABC底面所成的角的正弦值等于________.7.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角为60°.其中真命题的编号是________(写出所有真命题的编号).8.如图，A、B、C、D为空间四点，在△ABC中，AB=2，AC=BC=eq\r(2)，等边三角形ADB以AB为轴运动，当平面ADB⊥平面ABC时，则CD=________.9.如图所示，四边形ABCD为正方形，SA垂直于四边形ABCD所在的平面，过点A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.求证：AE⊥SB，AG⊥SD.10.如图，在四棱锥P－ABCD中，PO⊥面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°.(1)求证：PC⊥BC.(2)求点A到平面PBC的距离.11.如图，已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足.(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.12.(创新拓展)已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且eq\f(AE,AC)=eq\f(AF,AD)=λ(0＜λ＜1).(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?参考答案基础篇1.答案A；解析斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形.如图所示，∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，又AB=2BO，所以cos∠ABO=eq\f(OB,AB)=eq\f(1,2).所以∠ABO=60°.故选A.2.答案A；解析无论l与m是异面，还是相交，都有l⊥m，考查线面垂直的定义，故选A.3.答案D；解析∵PO⊥平面ABC，∴PO⊥AC，又∵AC⊥BO，∴AC⊥平面PBD，∴平面PBD中的4条线段PB，PD，PO，BD与AC垂直.4.答案D；解析以正方体为模型：相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面都与底面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直，故选D.5.答案A；解析由于ME⊂平面AB1，平面AB1∩平面AC=AB，且平面AB1⊥平面AC，ME⊥AB，则ME⊥平面AC.6.答案A；解析∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC.又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB.由AD⊥PA，AD⊥AB，PA∩AB=A，得AD⊥平面PAB.∵AD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.由已知易得平面PBC与平面PAD不垂直，故选A.7.答案垂直；解析由正方体性质知AC⊥BD，BB1⊥AC，∵E，F是棱AB，BC的中点，∴EF∥AC，∴EF⊥BD，EF⊥BB1，∴EF⊥平面BB1O.8.答案2；解析由线面垂直的性质定理知①④正确.9.答案①③④⇒②或②③④⇒①；解析如图，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A、B，α∩β=l，l∩平面PAB=O，连接OA、OB，可证明∠AOB为二面角αlβ的平面角，则∠AOB=90°⇔PA⊥PB.10.答案45°；解析∵AB⊥BC，AB⊥BC1，∴∠C1BC为二面角C1ABC的平面角，大小为45°.11.证明：由题意：CO⊥AO，BO⊥AO，∴∠BOC是二面角BAOC的平面角，又∵二面角BAOC是直二面角，∴CO⊥BO，又∵AO∩BO=O，∴CO⊥平面AOB，∵CO⊂平面COD，∴平面COD⊥平面AOB.12.证明：(1)连接AC，AC交BD于点O.连接EO，如图.∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点.在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO.而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB.所以PA∥平面EDB.(2)∵PD⊥底面ABCD且DC⊂底面ABCD.∴PD⊥DC.∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC.①同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC.而DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE.②由①和②推得DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB.又EF⊥PB且DE∩EF=E，∴PB⊥平面EFD.综合提高1.答案A；解析∵l⊂α，且l与n异面，∴n⊄α，又∵m⊥α，n⊥m，∴n∥α.2.答案D；解析如图，AB∥l∥m，AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m，AB∥l⇒AB∥β.故选D.3.答案D；解析如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角HDGF的大小不确定.4.答案B；解析由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，排除C、D；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE=S矛盾，排除A，故选B.5.答案垂；解析三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则三条交线两两互相垂直，可证投影是底面三角形的垂心.6.答案：eq\f(\r(2),3)；解析由题意知，三棱锥A1ABC为正四面体(各棱长都相等的三棱锥)，设棱长为a，则AB1=eq\r(3)a，棱柱的高A1O=eq\f(\r(6),3)a(即点B1到底面ABC的距离)，故AB1与底面ABC所成的角的正弦值为eq\f(A1O,AB1)=eq\f(\r(2),3).'7.答案①②④；解析本题主要考查了空间直线与直线、直线与平面的夹角.8.答案2；解析取AB的中点E，连接DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC=AB，所以DE⊥平面ABC.又CE⊂平面ABC可知DE⊥CE.由已知可得DE=eq\r(3)，EC=1，在Rt△DEC中，CD=eq\r(DE2＋CE2)=2.9.证明因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.又BC⊥AB，SA∩AB=A，所以BC⊥平面SAB，又AE⊂平面SAB，所以BC⊥AE.因为SC⊥平面AEFG，所以SC⊥AE.又BC∩SC=C，所以AE⊥平面SBC，所以AE⊥SB.同理可证AG⊥SD.10.(1)证明因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.因为∠BCD=90°，所以BC⊥CD.又PD∩CD=D，所以BC⊥平面PCD.而PC⊂平面PCD，所以PC⊥BC.(2)解如图，过点A作BC的平行线交CD的延长线于E，过点E作PC的垂线，垂足为F，则有AE∥平面PBC，所以点A到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离.又EF⊥PC，BC⊥平面PCD，则EF⊥BC.BC∩PC=C，所以EF⊥平面PBC.EF即为E到平面PBC的距离.又因为AE∥BC，AB∥CD，所以四边形ABCE为平行四边形.所以CE=AB=2.又PD=CD=1，PD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD.所以PD⊥CD，∠PCD=45°.所以EF=eq\r(2).即点A到平面PBC的距离为eq\r(2).11.证明(1)在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F，∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC.又∵PA⊂平面PAC，∴DF⊥PA.作DG⊥AB于G，同理可证DG⊥PA.∵DG∩DF=D，∴PA⊥平面ABC.(2)连接BE并延长交PC于H.∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH，又AE⊥平面PBC，故AE⊥PC，且AE∩BE=E，∴PC⊥平面ABE.∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，且PA∩PC=P，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形.12.(1)证明∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC.又∵eq\f(AE,AC)=eq\f(AF,AD)=λ(0＜λ＜1)，∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面AB