专题11 解直角三角形题型归纳-2023年中考数学拉分专题（教师版含解析）

专题11解直角三角形题型归纳1．如图是某小区地下停车场入口处栏杆的示意图，、分别表示地面和墙壁的位置，表示垂直于地面的栏杆立柱，、是两段式栏杆，其中段可绕点O旋转，段可绕点A旋转.图1表示栏杆处于关闭状态，此时O、A、B在与地面平行的一直线上，并且点B接触到墙壁；图2表示栏杆处于打开状态，此时，段与竖直方向夹角为．已知立柱宽度为，点O在立柱的正中间，，，．(1)求栏杆打开时，点A到地面的距离；(2)为确保通行安全，要求汽车通过该入口时，车身与墙壁间需至少保留的安全距离，问一辆最宽处为，最高处为的货车能否安全通过该入口？（本小题中取）【答案】(1)点A到地面的距离为(2)货车不能安全通过该入口【分析】（1）过点作,垂足为点，利用三角函数求得，的长度即为点A到地面的距离；（2）作,交于点,使，利用三角函数求出，，在高度正好的情况下，求得货车靠墙行驶需要宽度超过了的长度，说明不能安全通过．【详解】（1）解：如图，过点作,垂足为点则点A到地面的距离为（2）解：如图，作,交于点,使若货车靠墙行驶需要宽度为则货车不能安全通过该入口.【我思故我在】本题考查了与解直角三角形相关的应用题，掌握三角函数并能解决实际问题是解题关键．2．如图，株洲市炎陵县某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌（CD），放置在教学楼A栋的顶部（如图所示）该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿芙蓉小学围墙边坡AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度为i=1：3，AB=2m，AE=8m．(1)求点B距水平面AE的高度BH．(2)求宣传牌CD的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414,≈1.732）【答案】(1)点B距水平面AE的高度BH是2米(2)广告牌CD的高度约为2.1米【分析】（1）根据山坡AB的坡度为i=1：3，可设BH=a,则AH=3a,然后在Rt△ABH中，利用勾股定理进行计算即可解答；（2）过点B作BF⊥CE，垂足为F，则BH=EF=2米，BF=HE=14米，然后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，再在Rt△BFC中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，最后进行计算即可解答．【详解】（1）解：在Rt△ABH中，BH：AH=1:3，∴设BH=a,则AH=3a，∵AB=2，由勾股定理得BH=2，答:点B距水平面AE的高度BH是2米；（2）解：在Rt△ABH中,BH=2，∴AH=6，在Rt△ADE中,tan∠DAE=.，即DE=tan60·AE=8，如图,过点B作BF⊥CE,垂足为F，BF=AH+AE=6+8=14，DF=DE-EF=DE-BH=8—2，在Rt△BCF中,∠C=∠CBF=45°，∴CF=BF=14,∴CD=CF-DF=14—（8—2）=14—8+2≈2.1答:广告牌CD的高度约为2.1米．【我思故我在】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．3．如图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄与手臂始终在同一直线上，枪身与额头保持垂直量得胳膊，枪柄与枪身之间的夹角为120°（即），肘关节与枪身端点之间的水平宽度为25.3cm（即的长度），枪身．(1)求的长；(2)测温时规定枪身端点与额头距离范围为3~5cm．在图2中，若测得，小红与测温员之间距离为50cm问此时枪身端点与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果精确到0.1cm，参考数据：，）【答案】(1)；(2)在规定范围内，理由见详解．【分析】（1）过点作于点，在RtBMH中，利用含30°直角三角形三边关系，即可解答；（2）延长交于点，，在RtNMI中，利用三角函数的定义即可求出的长，比较即可判断．（1）解：过点作于点，由题可知四边形为矩形，如下图：∴，∵cm，，∴，在RtBMH中，，∴；（2）解：延长交于点，由题意的：，∵，由（1）可知，∴，又，∴在RtNMI中，，∴∵小红与测温员之间距离为50cm，∴，∵，∴此时枪身端点与小红额头的距离在规定范围内．【我思故我在】此题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题关键是添加辅助线和熟记锐角三角函数的定义．4．小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度.一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示.于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器CD，测得；再在BD的延长线上确定一点G，使米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得米，小明眼睛与地面的距离米，测量器的高度米.已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，则这棵古树的高度AB为多少米？（小平面镜的大小忽略不计）【答案】【分析】过点作于点，则，，解，得出，那么，再证明，因此得出，再求出即可.【详解】如图，过点作于点，则，，在中，，∴，∴，∵，，∴由反射角等于入射角得,∴,∴，即，解得∴∴这棵树高18米.【我思故我在】本题主要考查相似三角形的应用，证明三角形相似是解题的关键.5．广场上有一个充满氢气的气球P，被广告条拽着悬在空中，甲乙二人分别站在E、F处，他们看气球的仰角分别是30度、45度，E点与F点的高度差AB为1米，水平距离CD为5米，FD的高度为0.5米，请问此气球有多高？（结果保留到0.1米）．【答案】此气球有9.7米高【分析】由于气球的高度为PA+AB+FD，而AB=1米，FD=0.5米，可设AP=h，根据题意列出关于h的方程即可解答．【详解】解：设AP=h，∵PFB=45°，∴BF=PB=h+1，∴EA=h+6，在RtPEA中，PA=AEtan30°，∴h=(h+6)tan30°，∴，∴h=≈8.2米，∴气球的高度为PA+AB+FD=9.7米．【我思故我在】本题考查了一元一次方程的实际应用，解决本题的关键是正确的运用三角函数知识解答．6．综合与实践小明为自己家设计了一个在水平方向可以伸缩的遮阳蓬，如图所示，已知太原地区在夏至日的正午太阳高度角（即正午太阳光线与地平面的夹角）为，冬至日的正午太阳高度角为，小明家的玻璃窗户高为，在点上方的处安装与墙垂直的宽为的遮阳蓬，并且该遮阳蓬可伸缩（可变化）；为了保证在夏至日正午太阳光不射到屋内，冬至日正午整块玻璃都能受到太阳光照射，求可伸缩的遮阳蓬宽度的范围．（结果精确到，参考数据：，，，，，）【答案】【分析】夏至日正午时，通过解，求出的最大值；冬至日正午时，通过解，求出的最小值；【详解】解：夏至日时，在中，，

冬至日时，在中，，所以，可伸缩的长度的范围是【我思故我在】本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用锐角三角函数解直角三角形是解决问题的关键．7．如图，在航线l的两侧分别有两个灯塔A和B，灯塔A到航线l的距离为千米，灯塔B到航线l的距离为千米，灯塔B位于灯塔A南偏东方向．现有一艘轮船从位于灯塔B北偏西方向的N（在航线l上）处，正沿该航线自东向西航行，10分钟后该轮船行至灯塔A正南方向的点C（在航线l上）处．（参考数据：，，，）(1)求两个灯塔A和B之间的距离；(2)求该轮船航行的速度（结果精确到0.1千米/小时）．【答案】(1)14千米(2)40.7千米/小时【分析】（1）根据题意利用特殊角的三角函数值分别求出，即可得解；（2）根据三角函数值求出CN的长，进而可以求该轮船航行的速度．（1）解：由题意，得，在中，，∴，∴，在中，，∴，∴，∴千米．答：两个灯塔A和B之间的距离为14千米．（2）在中，，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，在中，，由题意，得∴，∴，∴，设该轮船航行的速度是V千米/小时，由题意，得，∴（千米/小时），答：该轮船航行的速度是40.7千米/小时．8．风能作为一种清洁能源越来越受到世界各国的重视，我市结合自身地理优势架设风力发电机利用风能发电．王芳和李华假期去明月峰游玩，看见风电场的各个山头上布满了大大小小的风力发电机，好奇的想知道风力发电机塔架的高度．如图，王芳站在点测得点与塔底点的距离为，李华站在斜坡的坡顶处，已知斜坡的坡度，坡面长，李华在坡顶处测得轮毂点的仰角，请根据测量结果帮他们计算：(1)斜坡顶点B到CD所在直线的距离；(2)风力发电机塔架的高度．结果精确到，参考数据，，，，【答案】(1)；(2)．【分析】（1）在中，，可得，根据解直角三角形进行求解即可；（2）根据求解即可．（1）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，，则为坡顶B到所在直线的距离，则，，在中，，∴，∵，∴；（2）由题意得，四边形是矩形，由勾股定理得：，∵，∴，∴，在中，，，∴，答：塔架高度约为．【我思故我在】本题考查了解直角三角形的实际应用以及勾股定理，根据题意构造直角三角形是解本题的关键．9．小明和小亮利用数学知识测量学校操场边升旗台上的旗杆高度．如图，旗杆立在水平的升旗台上，两人测得旗杆底端到升旗台边沿的距离为，升旗台的台阶所在的斜坡长为，坡角为，小明又测得旗杆在太阳光下的影子落在水平地面上的部分的长为，同一时刻，小亮测得长的标杆直立于水平地面时的影子长为请你帮小明和小亮求出旗杆的高度（结果保留整数，参考数据：）【答案】旗杆的高度约为【分析】延长交于，过作于，根据矩形的性质得到，，，解直角三角形得，根据同一时刻，物高和影长成正比，列方程即可得到结论．【详解】解：延长交于，过作于，则四边形是矩形，，，，，，，，，同一时刻，物高和影长成正比，，，，，答：旗杆的高度约为．【我思故我在】本题考查了解直角三角形—坡度坡角问题、平行投影和矩形的性质，熟练掌握同一时刻，物高和影长成正比是解决本题的关键．10．某项目学习小组用测倾仪、皮尺测量小山的高度，他们设计了如下方案（如图）：①在点A处安置测倾仪，测得小山顶M的仰角的度数；②在点A与小山之间的B处安置测倾仪，测得小山顶M的仰角的度数（点A，B与N在同一水平直线上）；③量出测点A，B之间的距离．已知测倾仪的高度米，为减小误差，他们按方案测量了两次，测量数据如下表（不完整）：测量项目第一次第二次平均值的度数（度）的度数A，B之间的距离150.2米149.8米150米(1)写出的度数的平均值．(2)根据表中的平均值，求小山的高度．（参考数据：）(3)该小组没有利用物体在阳光下的影子来测量小山的高度，你认为原因可能是什么？（写出一条即可）【答案】(1)22°(2)101.5米(3)小山的影子长度无法测量【分析】（1）根据平均数公式，用两次测量得的的度数和除以2即可求解；（2）在Rt△MDE中，利用仰角∠MDE的45°，即可求得ME=DE，在Rt△MCE中，利用仰角∠MCE的正切值，可得ME=CEtan∠MCE，进而由CE=CD+DE=CD+ME，易知四边形CANE、四边形ABDC是矩形，可得EN=AC=1.5米，CD=AB=150米，代入即可求出ME的值，然后由MN=ME+NE求解；（3）可根据小山的影子长度无法测量解答即可．（1）解∶的度数的平均值=，答：的度数的平均值为22°；（2）解：在Rt△MDE中，∵∠MDE=45°，∴∠DME=∠MDE=45°，∴ME=DE，在Rt△MCE中，∵，∴ME=CEtan∠MCE，由题意知四边形CANE、四边形ABDC是矩形，可得EN=AC=1.5米，CD=AB=150米，∴，∴ME=100(米)，∴MN=ME+NE=100+1.5=101.5(米)，答：小山的高度约为101.5米．（3）答：因为利用物体在阳光下的影子来测量小山的高度，由于小山的内部无法到达，则小山的影子长度无法测量，所以没有用物体在阳光下的影子来测量小山的高度的原因是小山的影子长度无法测量．【我思故我在】本题考查仰角，要求学生能借助仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．11．小红家的阳台上放置了一个晒衣架(如图①)，图②是晒衣架的侧面示意图，立杆AB，CD相交于点O，B，D两点立于地面，经测量：AB＝CD＝136cm，OA＝OC＝51cm，OE＝OF＝34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF＝32cm(参考数据：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471，tan28.1°≈0.534)．(1)求证：AC∥BD．(2)求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数(结果精确到0.1°)．(3)小红的连衣裙穿在晒衣架上的总长度达到122cm，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由．【答案】（1）见解析；（2）61.9°；（3）会拖落到地面．【详解】试题解析（1）证明：证法一：相交于点，同理可证：

证法二：∴又（2）解：在中，作于点，则用计算器求得（3）解法一：小红的连衣裙会拖落到地面；在中，过点作于点，同可证：则∴所以：小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度大于晒衣架的高度解法二：小红的连衣裙会拖落到地面.同可证：过点作于点，在中所以：小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度大于晒衣架的高度12．开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°，沿AC方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°．已知测角仪的高度为1.5m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度（结果精确到1m．参考数据：，，）．【答案】拂云阁DC的高度约为32m【分析】延长交于点，则四边形是矩形，则，，在，中，分别表示出，根据，建立方程，解方程求解可得，根据即可求解．【详解】如图，延长交于点，则四边形是矩形，则，，在中，，在中，，，即，解得，(m)．拂云阁DC的高度约为32m．【我思故我在】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．13．如图，为测量某建筑物的高度，小刚采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的C点出发，沿斜坡行走米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至E点处，在E点测得该建筑物顶端A的仰角为，建筑物底端B的俯角为，点在同一平面内，斜坡CD的坡度．请根据小刚的测量数据，计算出建筑物AB的高度．（结果要求精确到个位，参考数据：）【答案】建筑物的高度约为米【分析】过点作，垂足为，延长交于点，则，根据斜坡的坡度，可设米，则米，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．【详解】解：过点作，垂足为，延长交于点，则，∵斜坡的坡度，设，则，在中，，，∴解得，∴，在中，，在中，，∴，∴，∴建筑物的高度约为米．【我思故我在】本题考查了解直角三角形的应用-仰角