2022届中考数学《第37课时：平移与旋转》同步练习

第37课时平移与旋转(80分)一、选择题(每题6分，共30分)1．如图37－1，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为 (C)A．6 B．8C．10 D．12【解析】根据题意，将周长为8的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，∴AD＝1，BF＝BC＋CF＝BC＋1，DF＝AC.∵AB＋BC＋AC＝8，∴四边形ABFD的周长为AD＋AB＋BF＋DF＝1＋AB＋BC＋1＋AC＝10.图37－1 图37－22．[2022·株洲]如图37－2，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到△A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC，A′B′交于点O，则∠COA′的度数是 (B)A．50° B．60°C．70° D．80°【解析】∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，∴∠A＝180°－∠ACB－∠B＝40°.由旋转的性质可知BC＝B′C，∴∠B＝∠BB′C＝50°.∵∠BB′C＝∠A＋∠ACB′＝40°＋∠ACB′，∴∠ACB′＝10°，∴∠COA′＝∠AOB′＝∠OB′C＋∠ACB′＝∠B＋∠ACB′＝60°.图37－33．[2022·广州]如图37－3，将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针旋转90°后，得到的图形为 (A)图37－3ABCD图37－44．[2022·泰安]如图37－4，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与A对应，则角α的大小为 (C)图37－4A．30° B．60°C．90° D．120°【解析】AA′和BB′的垂直平分线的交点即为旋转中心O，根据网格的特征可知∠AOA′＝90°，所以旋转角α＝90°.5．[2022·无锡]如图37－5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连结B1B，取BB1的中点D，连结A1D，则A1D的长度是 (A图37－5\r(7) B．2eq\r(2)C．3 D．2eq\r(3)【解析】∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，∴∠A＝90°－∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝2eq\r(3)，∵CA＝CA1，∴△ACA1是等边三角形，AA1＝AC＝BA1＝2，∴∠BCB1＝∠ACA1＝60°，∵CB＝CB1，∴△BCB1是等边三角形，∴BB1＝2eq\r(3)，BA1＝2，∠A1BB1＝90°，∵D为BB1中点，∴BD＝DB1＝eq\r(3)，∴A1D＝eq\r(A1B2＋BD2)＝eq\r(7).二、填空题(每题6分，共30分)6．[2022·宜宾]如图37－6，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是__60°__.图37－6【解析】由旋转可知∠BOD＝45°，∵∠AOB＝15°，∴∠AOD＝60°.7．[2022·邵阳]如图37－7，将等边三角形CBA绕点C顺时针旋转α得到△CB′A′，使得B，C，A′三点在同一直线上，则α的大小是__120°__．图37－7【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵等边三角形CBA绕点C顺时针旋转α得到△CB′A′，使得B，C，A′三点在同一直线上，∴∠BCA′＝180°，∠B′CA′＝60°，∴∠ACB′＝60°，∴α＝60°＋60°＝120°.8．[2022·枣庄]如图37－8，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝eq\r(2)，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连结C′B，则C′B＝__eq\r(3)－1__． 图37－8 第8题答图【解析】如答图，连结BB′，∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，∴AB＝AB′，∠BAB′＝60°，∴△ABB′是等边三角形，∴AB＝BB′，在△ABC′和△B′BC′中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝B′B，,AC′＝B′C′，,BC′＝BC′，))∴△ABC′≌△B′BC′，∴∠ABC′＝∠B′BC′.延长BC′交AB′于点D，则BD⊥AB′，在Rt△ABC中，AB＝eq\r(（\r(2)）2＋（\r(2)）2)＝2，∴BD＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，C′D＝eq\f(1,2)×2＝1，∴BC′＝BD－C′D＝eq\r(3)－1.9．[2022·贵港]如图37－9，点P在等边三角形ABC的内部，且PC＝6，PA＝8，PB＝10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P′C，连结AP′，则sin∠PAP′的值为__eq\f(3,5)__． 图37－9 第9题答图【解析】如答图，连结PP′，∵线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P′C，∴CP＝CP′＝6，∠PCP′＝60°，∴△CPP′为等边三角形，∴PP′＝PC＝6，∵△ABC为等边三角形，∴CB＝CA，∠ACB＝60°，∴∠PCB＝∠P′CA，在△PCB和△P′CA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(PC＝P′C，,∠PCB＝∠P′CA，,CB＝CA，))∴△PCB≌△P′CA，∴PB＝P′A＝10，∵62＋82＝102，∴PP′2＋AP2＝P′A2，∴△APP′为直角三角形，∠APP′＝90°，∴sin∠PAP′＝eq\f(PP′,P′A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).10．[2022·南充]如图37－10，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE＝DG；②BE⊥DG；③DE2＋BG2＝2a2＋2b2，其中正确的结论是__①②③__ 图37－10第10题答图【解析】如答图，连结BD，EG，设BE，DG交于点O，∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCD＝∠ECG＝90°，∴∠BCD＋∠DCE＝∠ECG＋∠DCE＝90°＋∠DCE，即∠BCE＝∠DCG，∴△BCE≌△DCG(SAS)，∴BE＝DG，∠1＝∠2，∵∠1＋∠4＝∠3＋∠1＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠BOD＝90°，∴BE⊥DG.故①②正确；∴DO2＋BO2＝BD2＝BC2＋CD2＝2a2，EO2＋OG2＝EG2＝CG2＋CE2＝2b2则DE2＋BG2＝DO2＋BO2＋EO2＋OG2＝2a2＋2b2，故③正确．综上，正确结论是①②③三、解答题(共20分)11．(10分)如图37－11，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′.(1)在正方形网格中，画出△AB′C′；(2)计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过的区域的面积． 图37－11 第11题答图解：(1)如答图；(2)由答图可知，线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积就是扇形B′AB的面积，其中∠B′AB＝90°，AB＝eq\r(32＋42)＝5，∴线段AB在变换到AB′的过程中扫过的区域的面积为eq\f(90,360)π×52＝eq\f(25,4)π.图37－1212．(10分)[2022·长春]如图37－12，在菱形ABCD中，∠A＝110°，点E是菱形ABCD内一点，连结CE，将线段CE绕点C顺时针旋转110°得到线段CF，连结BE，DF，若∠E＝86°，求∠F的度数．图37－12解：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠BCD＝∠A＝110°，由旋转的性质知，CE＝CF，∠ECF＝∠BCD＝110°，∴∠BCE＝∠DCF＝110°－∠DCE，在△BCE和△DCF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BC＝DC，,∠BCE＝∠DCF，,CE＝CF，))∴△BCE≌△DCF(SAS)，∴∠F＝∠E＝86°.(8分)13．(8分)[2022·台州]如图37－13，把一个菱形绕着它的对角线的交点旋转90°，旋转前后的两个菱形构成一个“星形”(阴影部分)，若菱形的一个内角为60°，边长为2，则该“星形”的面积是__6eq\r(3)－6__．图37－13 第13题答图【解析】如答图，令AB与A′D′的交点为点E，过点E作EF⊥AC于点F.∵四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠BAD＝60°，∴∠BAO＝30°，∠AOB＝90°，∴AO＝AB·cos∠BAO＝eq\r(3)，BO＝AB·sin∠BAO＝1.同理可知A′O＝eq\r(3)，D′O＝1，∴AD′＝AO－D′O＝eq\r(3)－1.∵∠A′D′O＝90°－30°＝60°，∠BAO＝30°，∴∠AED′＝30°＝∠EAD′，∴D′E＝AD′＝eq\r(3)－1.在Rt△ED′F中，ED′＝eq\r(3)－1，∠ED′F＝60°，∴EF＝ED′·sin∠ED′F＝eq\f(3－\r(3),2)，∴S阴影＝S菱形ABCD＋4S△AD′E＝eq\f(1,2)×2AO×2BO＋4×eq\f(1,2)AD′·EF＝6eq\r(3)－6.(12分)14．(12分)[2022·河北]如图37－14，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，tanA＝eq\f(4,3)，点P为AD边上任意点，连结PB，将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ.(1)当∠DPQ＝10°时，求∠APB的大小；(2)当tan∠ABP∶tanA＝3∶2时，求点Q与点B之间的距离(结果保留根号)．图37－14备用图【解析】(1)分两种情形：①当点Q在直线AD下方时，②当点Q在直线AD上方时，分别求解即可；(2)连结BQ，作PE⊥AB于E.在Rt△APE中，tanA＝eq\f(PE,AE)＝eq\f(4,3)，设PE＝4k，则AE＝3k，在Rt△PBE中，tan∠ABP＝eq\f(PE,EB)＝2，推出EB＝2k，继而推出AB＝5k＝10，可得k＝2，由此即可解决问题．第14题答图① 第14题答图②解：(1)如答图①，①当点Q在直线AD的下方时，∠AP′B＝180°－∠Q′P′B－∠Q′P′D＝180°－90°－10°＝80°.②当点Q在直线AD上方时，∠APB＝180°－(∠QPB－∠QPD)＝180°－(90°－10°)＝100°.综上所述，当∠DPQ＝10°时，∠APB为80°或100°.(2)如答图②，连结BQ