【创新设计】高考数学(山东理)一轮复习练习：12.3几何概型(含答案解析)

基础稳固题组(建议用时：35分钟)一、选择题1.在区间ππ上随机取一个数x，cosx的值介于0到1之间的概率为()－，2221212A.3B.πC.2D.31ππππ分析若cosx∈0，2，x∈－2，2，利用三角函数性质解得x∈－2，－3∪π，π，在－π，π上随机取一个数是等可能的，联合几何概型的概率公式可得所求32222×π－π231概率为P＝π＝.π32－－2答案A2.(2016东·北三省三校联考)实数m是[0，6]上的随机数，则对于x的方程x2－mx＋4＝0有实根的概率为()1112A.4B.3C.2D.3分析方程x2－mx＋4＝0有实根，则＝m2－4×4≥0，∴m≥4或m≤－4，又m∈[0，6]，4≤m≤6，∴对于x的方程x2－mx＋4＝0有实根的概率为6－4＝1.应选B.6－03答案B3.在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为()1124A.6B.3C.3D.5分析设AC＝xcm，0＜x＜12，则CB＝(12－x)cm，要使矩形面积大于20cm2，只需x(12210－22－x)＞20，则x－12x＋20＜0，解得2＜x＜10，所求概率为P＝12＝.3答案C4.若将一个质点随机投入如下图的长方形ABCD中，此中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )ππππA.2B.4C.6D.8暗影面积1π×12分析设质点落在以AB为直径的半圆内为事件＝2＝πA，则P(A)＝长方形面积1×24.答案B5.(2016武·汉部分学校质检)如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚好运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为( )123A.17B.17C.174D.17分析∵大正方形的面积是34，∴大正方形的边长是34，由直角三角形的较短边长为3，得四个全等直角三角形的直角边分别是5和3，则小正方形边长为2，面积为4，∴小花朵落在小正方形内的概率为P＝4＝23417.应选B.答案B二、填空题6.如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到暗影部分，据此预计暗影部分的面积为________.分析设暗影部分的面积为S，由题意知S＝180，解得S＝0.18.S正方形1000答案0.1857.在区间[－2，4]上随机地取一个数x，若x知足|x|≤m的概率为6，则m＝________.分析由|x|≤m，得－m≤x≤m.当m≤2时，由题意得2m＝5，解得m＝2.5，矛盾，舍去.66当2＜m＜4时，由题意得m－（－2）＝5，解得m＝3.66即m的值为3.答案38.在区间[1，5]和[2，4]上分别各取一个数，记为m和n，则方程x2y22＋2＝1表示焦点在x轴mn上的椭圆的概率是________.22分析∵方程x2＋y2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，∴m>n.mn如图，由题意知，在矩形ABCD内任取一点Q(m，n)，点Q落在暗影部分的概率即为所求的概率，易知直线m＝n恰巧将矩形均分，∴所1求的概率为P＝2.答案

129.如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到暗影部分的概率为________.分析∵y＝ex与y＝lnx互为反函数，故直线y＝x双侧的暗影部分面积相等，只需计算此中一部分即可.1如图，S1＝xx10＝e－1.1edx＝e|0＝e－e0S总暗影＝2S暗影＝2(e×1－S1)＝2[e－(e－1)]＝2，2故所求概率为P＝e2.2答案e2三、解答题10.设对于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求方程有实根的概率.解设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”当.a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.试验的所有结果所组成的地区为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}，组成事件A的地区为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，依据条件画出组成的地区(略)，可得所12求的概率为P(A)＝3×2－2×223×2＝.3能力提高题组(建议用时：20分钟)k11.(2016辽·宁五校联考)设k是一个正整数，已知x的睁开式中1＋k第四项的系数为161，函数y＝x2与y＝kx的图象所围成的地区如图中暗影部分所示，任取x∈[0，4]，y∈[0，16]，则点(x，y)恰巧落在暗影部分内的概率为( )17517A.96B.32C.6D.48分析由题意得Ck313＝1，解得k＝4.k161432暗影部分的面积S1＝2)dx＝2x2－3，4]，y∈[0，16]，4(4x－xx0＝，∵任取x∈[0033∴以x、y为横、纵坐标的所有可能的点组成的地区面积S2＝4×16＝64，因此所求概率PS1＝1，应选C.S26答案C如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点，则此点取自暗影部分的概率是()A.1－1B.12ππ22C.1－πD.π如图，设OA＝2，S扇形AOB＝π，S△OCD＝1×1×1＝1，S扇形OCD＝π分析，224∴在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1＝π－2π－1＝1，所有242暗影面积为π－2.故所求概率π－22P＝π＝1－π.答案C13.张先生订了一份报纸，送报人在清晨6：30～7：30之间把报纸送到他家，张先生走开家去上班的时间在清晨7：00～8：00之间，则张先生在走开家以前能获得报纸的概率是________.分析

以横坐标

x表示报纸送到时间，以纵坐标

y表示张先生离家时间，成立平面直角坐标系，由于随机试验落在正方形地区内任何一点是等可能的，因此切合几何概型的条件.依据题意只需点落到暗影部分，就表示张先生在1111×1－××走开家前能获得报纸，即所求事件A发生，因此P(A)＝222＝7.1×18答案7814.已知向量

a＝(－2，1)，b＝(x，y).(1)若x，y

分别表示将一枚质地平均的正方体骰子

(六个面的点数分别为

1，2，3，4，5，6)先后投掷两次时第一次、第二次出现的点数，求知足

a·b＝－1的概率；若x，y在连续区间[1，6]上取值，求知足a·b<0的概率.解(1)将一枚质地平均的正方体骰子先后投掷两次，所包括的基本领件总数为6×6＝36(个)；由a·b＝－1有－2x＋y＝－1，因此知足a·b＝－1的基本领件为(1，1)，(2，3)，(3，5)，共3个；故知足a·b＝－1的概率为3＝13612.(2)若x，y在连续区间[1，6]上