数字信号处理程佩青课后习题答案第六章习题与答案(word文档)

．用冲激响应不变法将以下变换为H(z)，抽样周期为T1Ha(s)sa(1)Ha(s)2b2(sa)A,n为随意正整数。(2)Ha(s)(ss0)n剖析：①冲激响应不变法知足h(n)ha(t)tnTha(nT)，T为抽样间隔。这类变换法一定Ha(s)先用部分分式睁开。②第（2）小题要复习拉普拉斯变换公式L[tn]n!Sn1,ha(t)Aes0ttn1Ha(s)Au(t)(SS0)n(n1)!，可求出h(k)Tha(t)tkTTha(kT)，kx(k)zdX(z)又dz，则可递推求解。解:(1)Ha(s)sa111(sa)2b22sajbsajbh(t)1e(ajb)te(ajb)tu(t)a2由冲激响应不变法可得：h(n)Tah(nT)T(aejb)nT(ea)jbnT(u)n2H(z)h(n)znT1121eaTejbTz11eaTejbTz1n0T1eaTz1cosbT12eaTz1cosbTe2aTz2(2)先引用拉氏变换的结论Ltnn!sn1可得：Ha(s)A(ss0)n则ha(t)Aes0ttn1(n1)!u(t)h(k)Th(Tk)TAes0kT(kT)n1u(k)a(n1)!按aku(k)Z11,az1且kx(k)Z

zdX(z)dz可得H(z)h(k)zkk0Tn1kn1(z1es0T)kTA(n1)!k1ATn(zd)n1(1)(n1)!dz1es0Tz1能够递推求得：AT,n11es0Tz1H(z)ATneS0Tz1，n2,3,(1es0Tz1)n已知模拟二阶巴特沃思低通滤波器的归一化系统函数为：Ha'(s)111.4142136ss2而3dB截止频次为50Hz的模拟滤波器，需将归一化的'(s)Ha中的s变量用s来取代250's)9.8696044104Ha(s)Ha(10100s24设系统抽样频次为fs500Hz，要求从这一低通模拟滤波器设计一个低通数字滤波器，采纳阶跃响应不变法。剖析：阶跃响应不变法，使失散系统的阶跃响应等于连续系统阶跃响应的等间隔抽样，g(n)ga(t)tnTga(nT),由模拟系统函数Ha(s)变换成数字系统函数的关系式为：H(z)z1Z{[L1[Ha(s)]]tnT}zs，还要用到一些变换关系式。解:依据书上公式可得模拟滤波器阶跃响应的拉普拉斯变换为：Ga(s)1Ha(s)s9.8696044104s(s2444.28830s9.8696044104)1(s222.14415)222.14415s(s222.14415)2(222.14415)2因为Leat(sin0t)u(t)0a)22(s0Leat(cos0t)u(t)sa2(sa)201Lu(t)s故ga(t)L1Ga(s){1e222.14415t[sin(222.14415t)cos(222.14415t)]}u(t)则g(n)ga(nT){1e222.14415nT[sin(222.14415nT)cos(222.14415nT)]}u(n)利用以下z变换关系：Zx(n)X(z)ZenaTx(n)X(eaTz)Z(sinaT)u(n)zsinaTz22zcoaTs1Z(cosnaT)u(n)z2zcosaTz22zcosaT1zZu(n)1z且代入a=222.14415T112103sfs500可得阶跃响应的z变换G(z)Zg(n)zz20.303390z71z1z20.14534481z20.10784999z(z1)(z21.1580459z0.41124070)由此可得数字低通滤波器的系统函数为：H(z)z1G(z)z120.145344z810.107849z991121.158045z90.411240z703．设有一模拟滤波器Ha(s)12s1s抽样周期T=2，试用双线性变换法将它转变为数字系统函数H(z)。剖析：双线性变换法将模拟系统函数的S平面和失散的系统函数的Z平面之间是一一对s1z1cz1应的关系，除去了频谱的混叠现象，变换关系为1。解：由变换公式sc1z1z

11及c2可得：TT=2时：1z1sz11H(z)Ha(s)|1z1s11z11z121z1z11z(1z1)23z2

114．要求从二阶巴特沃思模拟滤波器用双线性变换导出一低通数字滤波器，已知3dB截止频次为100Hz，系统抽样频次为1kHz。解:归一化的二阶巴特沃思滤波器的系统函数为：Ha(s)112s1s21.4142136s1s2则将ss代入得出截止频次c为c的模拟原型为Ha(s)1s)2s(1.4142136()1200200394784.18s2888.58s394784.18由双线性变换公式可得：H(z)Ha(s)|21z1sT1z1394784.18(21031z1)2888.58(21031z1)394784.181z11z10.064(12z1z2)11.1683z10.4241z25.试导出二阶巴特沃思低通滤波器的系统函数（设c1rads）。解:幅度平方函数为：|H(j)|21(/c)41令2s2，则有Ha(s)Ha(s)1(s/c)41各极点知足下式：j[2k1sk]ce24，k=1,2,3,4则k=1,2时，所得的sk即为Ha(s)的极点：s1cej32242j2s2cej5323242j2由以上两个极点组成的系统函数为Ha(s)k0(ss1)(ss2)k0s232s3代入s0时Ha(s)1,可得k03因此Ha(s)332s3s2试导出二阶切贝雪夫低通滤波器的系统函数。已知通带涟漪为2dB，归一化截止频次为c1rads。(试用不一样于书籍的解法解答）解:因为12dB，则110101100.210.58489320.58489320.7647831因为截止频次为2rads，则1acsi（n）4sh1sh1(1)csin( )N4sh111)22sh(20.7652-0.8041bccos( )4ch1sh1(1)ccos( )N4ch1sh1(1)2220.76521.378则s10.804j1.378s2s10.804j1.378则Ha(s)A(ss1)(ss2)1.0116057s2因为N2是偶数，故s0(0)时，有Ha(0)10.794328212可求得A1.27353620.79432821.0116057已知模拟滤波器有低通、高通、带通、带阻等种类，而实质应用中的数字滤波器有低通、高通、带通、带阻等种类。则设计各种类数字滤波器能够有哪些方法？试画出这些方法的构造表示图并注明其变换方法。模拟归一化原型

模拟—模拟频带变换

模拟低通、数字低通、高通、带通、带高通、带通、带阻数字化阻(a)先模拟频带变换，再数字化模拟归一化原数字低通、高型通、带通、带阻把(a)的两步合成一步直接设计模拟归一化原数字低通、数字化数字—数字型数字低通高通、带通、频带变换带阻先数字化，再进行数字频带变换某一低通滤波器的各样指标和参量要求以下：巴特沃思频次响应，采纳双线性变换法设计；(2)当0f2.5Hz时，衰减小于3dB；当f50Hz时，衰减大于或等于40dB；(4)抽样频次fs200Hz。试确立系统函数H(z),并求每级阶数不超出二阶的级联系统函数。解：T15103fs2fcT21c2.5402002fstT21st502200采纳双线性变换法:tg( )T2由指标要求得：20log10|Ha(j400tg()|38020log10|Ha(j400tg()|404又Ha(j21))2N1(c故20log10|Ha(j)|10log10[1()2N]c因此j400tg(80)2N10log1031c2Nj400tg(4)4010log101c取等号计算，则有：1[400tg(/80)/c]2N100.3............(1)1[(400tg(/4)/c]2N104........(..2.)..得1log[(1041)/(100.31)]Nlog[1/tg(/80)]1.422取N=2,代入(1)式使通带边缘知足要求，可得c15.7又二阶归一化巴特沃思滤波器为：Ha(s)11.4142136s1s2代入ss/c：Ha(s)246.5222.2s246.5s由双线性变换H(z)Ha(s)|4001z1s1z1246.5246.51.6912651053.19507105z1[400(1z1)]222.240(01z2)(12z1z2)(1z1)21.513665105z2246.5(1z1)212z1z2686.11(11.889z10.89z52)或许也可将N=2代入(2)中使阻带边缘知足要求，可得c40，这样可得：Ha(s)1600402s1600s2H(z)12z1z2198z115.1486.86z21为了知足通带、阻同带的不指标要求，c先后两次取不一样的故值得，到不一样的系统传输函数，c详细取值应H(z)看题目要求。用双线性变换法设计一个六阶巴特沃思数字带通滤波器，抽样频次为fs500Hz，上、下面带截止频次分别为f2150Hz，f130Hz。解：由模拟低通→数字带通11T13023fs5002522T215023fs5005取归一化原型，c1，则有：Dcctg(21)ctg(6)1.0649225cos[()/2]cos(9)1225E21.16822)/2]6cos[(21cos()25查表得三阶归一化巴特沃思低通滤波器的系统函数为：HLp(s)12s22s1s3H(z)HLp(s)|1Ez1z2sD1z21A32B221.0649C1此中ABC1.064911.1682Z1Z

Z22代入后整理可得：H(z)13z2HIz1Jz2Kz33z4z6Lz4Mz5Nz6此中HD32D22D16.60535,I3ED34ED22ED12.01872J(3E23)D32(E21)D22D38.79956K(6EE3)D34ED5.41307L(3E23)D32(E21)D22D34.07370M3ED34ED22ED1.42114D32D22D10.06938将分母中z0的系数归一化，可得：H(z)0.151391.33219z20.81950z311.81954z1(13z23z4z6)0.61673z40.21515z50.01050z6要设计一个二阶巴特沃思带阻数字滤波器，其阻带3dB的边带频次分别为40kHz，20kHzfs200kHz。解：因为设计的是1s其3dB1rad/s,D1ctan(21)2tan(402010321103)22000.3249197

2cos0.3cos1.2360680.1依据变换公式，将HLP(s)的表达式代入，并代入D1、E1,可得数字带阻滤波器系统函数H(z)为：H(z)HLP(s)|D1(1z2)sE1z121z1(1Ez1z2)1D111E1z11D1z21D11D10.75471z2)6(2171.2360z6810.93293z8110.50952z525用双线性变换法设计一个六阶切贝雪夫数字高通滤波器，抽样频次为fs8kHz，截止频次为fc2kHz。(不计4kHz以上的频次重量)解：不如用13dB的三阶切比雪夫低通系统函数，查表得：HLp(s)0.25059430.25059430.92834805s0.5972404s2s3又c2fc0.5fsc1ctgc1(c1rad/s)21z而由变换关系式s1z

11故可获得数字高通滤波器的系统函数H(z)为：H(z)0.2505943z11z11z11)2z10.5972404(z1()3111z1化简可得：H(z)0.0902658(13z13z2z3)0.6905560z10.8018905z20.3892083z31试导出从低通数字滤波器变为高通数字滤波器的设计公式。解：低通变为高通，只要将频次响应旋转180度，马上Z变换成--Z即可，因此我们只要将低通---低通变换公式中得Z1用Z1取代,就达成了低通到高通的变换，由此可得：z1G(Z1)Z1Z11Z11Z1因为此时得对应关系为cc,故所需值为:ejcejc===>1ejccoscc2coscc2试导出从低通数字滤波器变为带通数字滤波器的设计公式。解：低通与带通间的关系能够查察《数字信号办理教程》,此中2,1分别为带通滤波器通带的上、下截止频次，0为带通中心频次。因此当低通数字频次由0时，带通数字频次由0;当低通数字频次由-0时，带通数字频次由00，因此当由0变化到则相应的一定变化2，因此全通函数的阶数应为，则有：N2z1G(Z1)Z1Z11Z11Z1Z2D1Z1D2211D2ZD1Z因为（或)对应于,故有11时，z11,0ZG(1)代入上式，并由1,2都是实数，则z1G(Z1)Z2D1Z1D2......(*)DZ2DZ1121将低通的频次0，c，c及分别与其对应的0，1，2代入(*)式得：z1G(Z1)Z22kZ1k1(k1k1)k1Z22kZ11k1k1cos(21)此中2cos0，为要求的上、下截止频次，0为cos(21)21通带中心频次为低通的截止频次2,ckcot(21)tan(c)22试导出从低通数字滤波器变为带阻数字滤波器的设计公式。解：低通与带通滤波器之间的变换关系见《数字信号办理教程》，由表可知：变化量为时，变化量为2，故全通函数阶数N2,则有：Z1GZ1Z1Z11Z11Z1又由Z1（对应带阻的）时，10Z1G(1)1(对应低通的）0可得Z1GZ1Z1Z11Z11Z1Z2D1Z1D2D2Z2D1Z11把低通的频次c，c，及分别对应的带阻的频次2，1，0代入上式，则有：Z1G(Z1)Z22Z11k1k1k1kZ22Z111k1kcos122此中cos0cos212ktan(21)tan(c)22(2,1为要求的上，下截止频次，0为阻带中心频次）令ha(t),sa(t)和Ha(s)分别表示一个时域连续的线性时不变滤波器的单位冲激响应,单位阶跃响应和系统函数。令h(n),s(n)和H(z)分别表示时域失散线性移不变数字滤波器的单位抽样响应，单位阶跃响应和系统函数。n(1)假如h(n)ha(nT)，能否s(n)ha(kT)？k(2)假如s(n)sa(nT)，能否h(n)ha(nT)？解：(1)因为s(n)u(n)h(n)n此中u(n)(k)k故nns(n)[(k)]h(n)h(k)kk又h(n)ha(nT)n因此有s(n)ha(kT)k解:（2）n由s(n)[(k)]*h(n)knkh(k),有：s(n)s(n1)h(n)若s(n)sa(nT)则sa(nT)s[(n1)T]h(n)a（1）又sa(nT)sa[(n1)T]nTha(t)dt(n1)T2）由（）两式可得：1,(2)nTh(n)ha(t)dtha(nT)(n1)T16.假定Ha(s)在ss0处有一个r阶极点，则Ha(s)能够表示成rAkHa(s)Ga(s)s0)kk1(s式中Ga(s)只有一阶极点。写出由Ha(s)计算常数Ak的公式(2)求出用s0及ga(t)[Ga(s)的拉普拉斯反变换]表示的冲激响应ha(t)的表示式。假定我们定义h(n)ha(nT)为某一数字滤波器的单位冲激响应试利用（2）的结果写出系统函数H(z)的表示式。导出直接从Ha(s)获得H(z)的方法。解：(1)rAk由Ha(s)Ga(s)1(ss0)kk故由拉氏变换两边乘(ss0)r，再求导数得：1drkAkrk(ss0)rHa(s)(rk)!ds(2)可利用本章第1题的结论得：ha(t)L1Ha(s)res0tt(k1)Au(t)g(t)k1(k1)!ka（3）第一题是( )A/(ss0)k这里Has是一个常数。本题是rAkHa(s)，是乞降表示式，k1(ss0)k且对k，，是不一样的常数。1,2,.....rAk(a)由Ha(s)计算各常数Ak的方法为：rAkHa(s)Ga(s)k1(ss0)kA1A2.....ArGa(s)ss0(ss)2(ss)r00则有：(ss)rH(s)0arAk(ss0)rk(ss0)rGa(s)k1A1(ss0)r1A2(ss0)r2.....A(ss)rG(s)( )r0a因为(ss0)rHa(s)在ss0处没有极点，因此可在s0四周展成台劳级数，即：p(ss0)rHa(s)1{dp[(ss0)rp0p!dsHa(s)]}ss0(ss0)p()(II)式与()对比较，看出P0时Ar[(ss0)rHa(s)]ss0P1时Ar1d[(ss0)Ha(s)]dsss0┇2P2时Ar21d2[(ss0)Ha(s)]2dsss0PP时Ar1dppp!dsp[(ss0)Ha(s)]ss0令rpk,即prk可得AkArp(b)与第1题的议论相像，可得：1drk[(ss0)r即AkrkHa(s)](rk)!dsss0res0ttk1Aku(t)ha(t)1(k1)!ga(t)u(t)k求H(z),先求h(n)ha(nT)res0nTTk1nk1Aku(n)ga(nT)u(n)k1(k1)!则H(z)Tha(nT)znn0Th(n)znn0rTes0Tnk1k1Akzn0k1(kTnn1)!Tga(nT)znn0rTkAknk1s0Tz1)nG(z)(e1(k1)!n1rTkAk(1)k1k1dk1[11]k1(kzk1s0Tz1)!dz1eG(z)按第1题议论知：H(z)A1T1es0Tz1(3)Ha(s)和H(z)的对应关系：rTkA(k1)!es0Tz1ks0T1kkG(z)k2(k1)!(1es0Tz1)k（a）(ss0)(1ez)A1TrAkTkes0Tz1G(z)1es0Tz1k2(1es0Tz1)k即ss0的k阶极点变为zes0T的k阶极点(b)系数：A1A1Tks0T1，AkAkTez(k2,3,,r)点的变换方法同样。(c)Ga(s)G(z)的方法与一阶极图P5-17表示一个数字滤波器的频次响应。(1)用冲激响应不变法，试求原型模拟频次响应。(2)当采纳双线性变换法时，试求原型模拟频次响应。解:(1)冲激响应不变法：因为大于折叠频次时H(ej)为零，故用此法无失真。故H(ej)T1Ha(j)Ha(j),TT由图P617可得：25,2333H(ej)25,32330，[,]之间的其余又由，则有T2T52,3T3T3Ha(j)H(ej)2T5,3T233T0，其余双线性变换法依据双线性变换公式可得：Ha(j)Ha(jctg)2ctg()2arctg（）c故4arctg5,3c3cc33Ha(j)4arctgc5，3c3c330,其余需设计一个数字低通滤波器,通带内幅度特征在低于0.3的频次衰减在0.75dB内，阻带在0.5到之间的频次上衰减起码为25dB。采纳冲激响应不变法及双线性变换法,试确立模拟系统函数及其极点，请指出怎样获得数字滤波器的系统函数。(设抽样周期T=1)。解:(1)以巴特沃思滤波器为原型冲激响应不变法依据体意有：20logH(ej0.3)0.7520logH(ej0.5)2521又Ha(j))2N1(c则有临界条件为(注意T1,Ω：/T)则有临界条件为：0.32N1100.075c0.52N1102.5c以上两式联解得：N8,c1.047依据极点公式12k1j[]Skce22N,k1,2,.....,8能够求得此系统函数的极点为：s1,80.204j1.027s2,70.582j0.871s3,60.871j0.582s4,51.027j0.204由此能够得出系统函数的表示式为：Ha(s)1.221.742s1.047)(s20.408s1.047)(s1(s21.164s1.047)(s22.054s1.047)将此系统函数展成部分分式：(若Sk极点的留数为Ak,则S*k极点的留数为A*k）8Ak8AkHa(s)H(z)k1sskk11eskTz1双线性变换法2tg2T由题目所给指标可得：20log100.3)0.75Ha(j2tg220log10Ha(j2tg0.5)252由此可得临界条件为：tg(0.15)2N12100..075(1)ctg(0.25)2N12102.5(2)c以上两式联解得：N5.52