优选教案：人教B版高中数学选择性必修第二册3.1.3 组合与组合数

3.1.3组合与组合数（2）本节课选自《2019人教B版高中数学选择性必修第二册》，第三章《排列、组合与二项式定理》，本节课主要学习组合与组合数。排列与组合是在学习了两个计数原理之后，由于排列、组合及二项式定理的研究都是以两个计数原理为基础，同时排列和组合又能进一步简化和优化计数问题。教学的重点是组合的理解，利用计数原理及排列数公式推导组合数公式，注意区分排列与组合的区别，难点是运用排列与组合解决实际问题。课程目标学科素养A.学会运用组合的概念，分析简单的实际问题.B.能够运用排列、组合知识解决相关问题.1.数学抽象：组合的概念2.逻辑推理：运用组合与计数原理分析问题3.数学运算：运用排列和组合解决问题4.数学建模：常见的组合问题重点：运用排列、组合知识解决综合问题.难点：运用排列、组合知识解决综合问题.多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、典例解析例4.现有30件分别标有编号的产品，且除了2件次品外，其余都是合格品，从中取出3件；

（1）共有多少种不同的取法？

（2）若取出的3件产品中恰有1件次品，则不同的取法共有多少种？

（3）若取出的3件产品中至少要有1件次品，则不同的抽法共有多少种？解：（1）所求的抽法总数，就是从30件产品中取出3件组合数：C303=30×29×283×2×1=4060.

（2）抽取可以分成两步完成：第一步，在2件次品中抽出1件，有C21C2（3）满足条件的取法可以分成两类：恰有1件次品的取法和恰有2件次品的取法。恰有1件次品的取法有C21×C28因此取法种数为C21C例5.要把9本不同的课外书分给甲、乙、丙3名同学：（1）如果每个人都得3本，则共有不同的分法多少种？（2）如果要求一人得4本，一人得3本，一人得2本，则共有不同的分法多少种？解:(1)要完成分配任务，可以分为三步：第一步，分给甲3本书，有C9第二步，分给乙3本书，因为只能在剩下的6本书里选，所以有C6第三步，分给丙3本书，因为只能在剩下的3本书里选，所以有C3因此共有不同的分法数为C（2）要完成分配任务，可以分为两步：第一步，将9本书按照4本、3本、2本分为三组，有C9第二步，将分好的3组书分别分给3个人，有A3因此共有不同的分法数为C解简单的组合应用题的的求解策略（1）要先判断它是不是组合问题,取出的元素只是组成一组,与顺序无关则是组合问题，只有当该问题能构成组合模型时,才能运用组合数公式求出其种数.（2）在解题时还应注意两个计数原理的运用,在分类和分步时,注意有无重复或遗漏.跟踪训练1.若7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排3人,则不同的安排方案共有种.(用数字作答)

解析:第一步,安排周六有C73种方法,第二步,安排周日有C所以不同的安排方案共有C73C4答案:140例6.先要从A,B,C,D,E,F这6人中选出4人安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，那么一共有多少种不同的安排方法？解:安排方法可以分成两类，选出的4人中有A和没有A；

有A的安排方法可以分成两步完成：

第一步在乙、丙、丁3个岗位中选择一个分给A,共C31种方法；

第2步在B,C,D,E,F这5人中选出3人安排在其他3个岗位，共所以此类安排方法共有C31没有A的安排方法共有A54因此安排方法总数为

C31×有限制条件的组合问题及解题方法1.特殊元素:若要选取的元素中有特殊元素,则要以有无特殊元素,特殊元素的多少作为分类依据.2.含有“至多”“至少”等限制语句:要分清限制语句中所包含的情况,可以以此作为分类依据,或采用间接法求解.3.分类讨论思想:解题的过程中要善于利用分类讨论思想,将复杂问题分类表达,逐类求解.跟踪训练2.某地区发生了特别重大的交通事故.某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴事故现场抢救伤员.已知这10名医疗专家中有4名是外科专家.问:(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种?(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种?(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种?分析:本题属于组合问题,解答本题的关键是分清“恰有”“至多”“至少”的含义,正确地分类或分步解决.解:(1)分步:首先从4名外科专家中任选2名,有C42种不同的选法,再从除外科专家的6人中选取4人,有C所以共有C42C6(2)“至少”的含义是不低于,有两种解答方法.(方法一:直接法)按选取的外科专家的人数分类:选2名外科专家,共有C42选3名外科专家,共有C43选4名外科专家,共有C44根据分类加法计数原理,共有C42C6(方法二:间接法)不考虑是否有外科专家,共有C106选取1名外科专家,共有C41没有选取外科专家,共有C66所以共有C106-C(3)“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况,可分类解答:没有选取外科专家,共有C66选取1名外科专家,共有C41选取2名外科专家,共有C42根据分类加法计数原理,共有C66+C通过具体的问题情境，引导学生分析常见的组合问题。进一步加深对组合概念的理解。通过具体问题，鼓励学生独立思考，综合运用组合及两个计数原理解决计数问。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。在典例分析和练习中让学生熟悉组合在计数中的运用，并观察、推导组合数的两个公式。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。三、达标检测1.C2n-3A.7 B.4或7C.7或11 D.4或7或11解析:由组合数的条件可知,n即2≤n≤4,n当n=2时,C2n当n=3时,C2n-3n-当n=4时,C2n-3n-1答案:D2.有5名同学站成一排拍毕业纪念照,其中甲必须站在正中间,并且乙、丙两位同学不能相邻,则不同的站法有()A.8种 B.16种 C.32种 D.48种解析:首先将甲排在中间,乙、丙两位同学不能相邻,则两人必须站在甲的两侧,选出一人排在左侧,有C21A21种方法,另外一人排在右侧,有A21种方法,余下两人排在余下的两个空,有A22种方法,答案:B3.从2位女生、4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案)

解析:方法一:①当3人中恰有1位女生时,有C21C4②当3人中有2位女生时,有C22C4故不同的选法共有12+4=16(种).方法二:6人中选3人共有C63种选法,当3人全是男生时有C43种选法,所以至少有1位女生入选时有C答案:164.要从6名男生4名女生中选出5人参加一项活动,按下列要求,各有多少种不同的选法?(1)甲当选且乙不当选;(2)至多有3名男生当选.解:(1)甲当选且乙不当选,只需从余下的8人中任选4人,有C84=70(2)至多有3男当选时,应分三类:第一类是3男2女,有C63第二类是2男3女,有C62第三类是1男4女,有C61由分类加法计数原理知,共有C63C45.有5个男生和3个女生,从中选出5人担任5门不同学科的课代表,求分别符合下列条件的选法数:(1)有女生但人数必须少于男生;(2)某女生一定担任语文课代表;(3)某男生必须包括在内,但不担任数学课代表;(4)某女生一定要担任语文课代表,某男生必须担任课代表,但不担任数学课代表.分析(1)按选中女生的人数多少分类选取.(2)采用先选后排的方法.(3)先安排该男生,再选出其他人担任四科课代表.(4)先安排语文课代表的女生,再安排“某男生”课代表,最后选其他人担任余下三科的课代表.解:(1)先选后排,先选可以是2女3男,也可以是1女4男,共有C53C32+C54C31种,后排有(2)除去该女生后,先选后排,有C74·A(3)先选后排,但先安排该男生,有C74·C(4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C63种,再安排该男生有C31种,其余3人全排有A33种,通过练习巩