与中点有关的辅助线作法例析

与中点有关的辅助线作法例析安徽省利辛县教育局督导室夏飞线段的中点是几何图形中的一个特殊点解与中点有关的问题时果适当地添加辅助线巧地利用中点则是处理中点问题的关键但由于含有中点条件问题的辅助线的作法灵活，不少同学难以掌握。下面就针对中点问题举例谈谈几种添加辅助线的方法．一遇中找点这种方法常用于解决三角形和梯形的有关问题要连接两个中点作中位线利其性质．因此，在三角形中，已知三角形两边中点，连结两个中点，即可构造三角形的中位线；在梯形中，已知梯形两腰中点，连结两个中点，即可构造梯形的中位线．例：图1，E、F分为、AD的中点，射线BA、EF交点，射线CDEF交点．证：

．分：接AC并取其中点P，构造，证明可得证．证：接AC，取AC的点P，连接PE、PF

，再利用中位线的性质即∵为BC的中，∥，，同理PF∥CD，∵，∴

．，，

由∥，

，由PF∥CD，得．说：知三角形一边的中点或梯形一腰的中点，常过中点作中位线．二遇中作线这种方法常用于解决直角三角形或等腰三角形的有关问题是运用直角三角形斜边上的中线或等腰三角形底边上的中线性质此遇到直角三角形斜边上的中点或等腰三角形底边上的中点，应联想到作中线．例如eq\o\ac(△,，)ABC中高为的中点证．分：△中现了ADC和eq\o\ac(△,Rt)ADB这两个直角三角形因为E为BC的中点，即题目中有中点与直角三角形的条件．按照“遇到中点找中点”的方法，可取△ADC斜边AC的中点（或AB的点），连接EF，即eq\o\ac(△,得)ABC的位线；再依据“遇到中点作中线”的方法，连接，即得到eq\o\ac(△,Rt)ADC斜AC上的中线，然后只要证明即可．证：AC的点，连接EF、．∵、F分为BC、AC的点，∴∥AB，∵AD高，∴△ADC是直角三角形．

．

又∵F为边AC的点，∴

，．由∥，得又∵，．

．∴．说：一点是直角三角形斜边的中点或等腰三角形底边的中点，则应常想到作中线．三遇中倍线这种方法是指若中出现由中引出的线段应常想到成倍延长这一线段可解题提供更为广阔的思路．例：图3在ABC中已知D为BC边点⊥ED于D交ABAC于F、E．求证：．分：证的线段、、EF间没有明显关系。但点D是BC边的中点，故应考虑倍长ED倍长FD也可）到点，连结BG、FG则：BGD△CED所以则，样就把

，又因为FD⊥，

BFCE、转到了△中，再利用三角形三边关系即可证得结．证：长ED到G使

．∵点是BC的中点，∴

，又∵∴△BGD△CED∴；在△中，

，∵

，⊥，∴，在△中，∴．

，说：倍长线段”法在解题过程中有着很重要作用，通过倍长相应的线段，再结合相应的条件可得到全等三角形从而可转移角但须注意它的使用前提是已知条件中存在着线段的中点．四遇中，结为例时常中作行在解决有些几何问题中尽遇了中点但证明的结论是比例式此时可考虑过中点作平行线．例：图，过△ABC的点任一直线，与边中线AD分交于点F、E．求证：．

分：AD是线，则D为的点，要证明的结论为比例式，且AED又在一个三角形内D点DM∥AB是△BFC的位线

时又可证得AEF∽△DME则有结论成立．证：点作∥交CE于M，则：．

，接下去利用等量代换即可证得∵

，∥AB，∴，是△的位线，∴．在△AEF与△DME中，，，∴△∽△DME，

∴，∴即

，．[注此例也可按照“遇到点找中点”的方法，取中点M，后接DM．]说：点是图形中的特殊点，中线、中位线是三角形中特殊线段，在解题中，如果能灵活运用与它们相关的性质，巧作辅助线，可使许多问题迅速得到解决．五遇线垂平线的，常这点线的点接起由线段垂直平分线上的点线段两端点的距离相等以可根据这一性质定理，若遇到线段垂直平分线上的点常这一点与线段的端点连接起来往使问题变得简便，从而顺利证得结论成立．例如设P是边ABC的边任一点连接AP作AP中垂线交、ACMN．证：．分：接PM、PN因为MN是AP的垂线，所以

，，eq\o\ac(△,则)MPNMAN，于是有

．又由于有△BPM△，是可证得．

，可得：，是

证明：连接PM、．在△MPN与△MAN中∵MN是AP的垂线，∴

，，是共边，∴△MPN≌△MAN），∴又∵

，∴

，∴△BPM，∴．从上述几例含有中点条件的问题可以看出三角形中