测量误差及数据处理的基本知识

关于测量误差及数据处理的基本知识第一页，共五十一页，编辑于2023年，星期二知识点一：误差分类、性质；衡量精度指标第二页，共五十一页，编辑于2023年，星期二5-1测量误差的种类一、测量误差的来源1）仪器（精密度、装配、搬运等）；2）观测者（仪器安置,照准读数等;感觉器官的鉴别能力、工作态度、技术水平等）；3）外界环境条件（温度、风力、大气折光等）如：观测一段距离两次，观测值不完全相等等。故：测量误差是不可避免的！

第三页，共五十一页，编辑于2023年，星期二二、测量误差的种类按性质分三类：1）粗差——特别大的误差（错误或异常值）记错、读错或测错2）系统误差——在相同的观测条件下，对某量进行一系列观测中，数值大小或正负符号固定不变，或按一定规律变化的误差，称系统误差。（如水准测量时i角误差;钢尺标称长度不准确等误差）3）偶然误差——在相同的观测条件下，对某量进行一系列观测中，单个误差出现没有一定规律性，其数值大小和符号都不固定，表现出偶然，这种误差乘为偶然误差，又称随机误差。（如：读数误差，照准误差等）第四页，共五十一页，编辑于2023年，星期二处理原则粗差——细心，多余观测进行检核，并剔除；系统误差——找出规律，采取适当的观测方法、检校仪器或加改正数的方法抵消或减弱其影响；偶然误差——改善外业测量环境,进行多余观测，并根据其统计特性进行数学处理（平差）。第五页，共五十一页，编辑于2023年，星期二三、测量误差的定义真误差：观测值与真值之差，即：

真误差（∆）=观测值-真值例：观测三角形三个内角，分别为：则三角形的内角和真误差为：第六页，共五十一页，编辑于2023年，星期二5-2偶然误差的特性βαγ[例2]：对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角（图5-1），三角形内角和的误差i为：i=i+i+i-180（5-1）其结果按误差区间0.2秒间隔、数值大小及符号进行排列（见表）。试:分析三角形内角和的误差I的规律。第七页，共五十一页，编辑于2023年，星期二误差区间负误差正误差误差绝对值dΔ" KK/nKK/n KK/n0~3 45 0.126 46 0.128910.2543~6 40 0.112 410.115810.2266~933 0.092 330.092660.1849~1223 0.064210.059 44 0.12312~15 17 0.047 160.045 33 0.09215~18 13 0.036 13 0.036 26 0.07318~21 6 0.01750.014 11 0.03121~244 0.0112 0.006 6 0.01724以上0 000 00

Σ 1810.5051770.4953581.000

表2-1偶然误差的统计

第八页，共五十一页，编辑于2023年，星期二由上表，可总结偶然误差的四个统计特性：1、一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定限值；（说明偶然误差出现的范围）2、绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会大；（说明偶然误差绝对值大小的规律）3、绝对值相等的正、负误差出现个数大致相等；（误差符号出现的规律）4、在相同条件下，对同一量进行重复观测，偶然误差算数平均值随着观测次数的无限增加而趋于零。（说明偶然误差的抵偿性）第九页，共五十一页，编辑于2023年，星期二

-24-21-18-15-12-9-6-30+3+6+9+12+15+18+21+24X=f（）按表数据，绘制频率直方图：第十页，共五十一页，编辑于2023年，星期二

-24-21-18-15-12-9-6-30+3+6+9+12+15+18+21+24X=f（）将区间缩小，绘制误差分布曲线：可以看出:曲线越陡，小误差越密集。第十一页，共五十一页，编辑于2023年，星期二实践证明：偶然误差不能用计算来改正、或用一定的观测方法简单的加以消除，只能根据其特性来合理地处理观测数据，以提高观测成果质量。第十二页，共五十一页，编辑于2023年，星期二5-3衡量观测值精度的指标

研究误差的目的之一就是对观测值的精度做出科学评价，在我国，评定精度额标准，常用的有中误差、极限误差和相对误差三种。一、观测条件将仪器、人以及外界条件称为“观测条件”。观测条件相同，则认为观测精度一样，也称为“等精度观测”，反之，观测条件不同，则称为”不等精度观测“。第十三页，共五十一页，编辑于2023年，星期二二、衡量观测精度的指标衡量观测精度：可通过统计表、直方图或分布曲线来比较。不难看出，误差曲线越陡，说明小误差出现的概率越大，精度也越高；反之，则低。衡量观测精度的数字指标：中误差极限误差相对中误差第十四页，共五十一页，编辑于2023年，星期二1）中误差中误差的定义式：（5-1）实际中，观测次数总是有限的，故常用M的估值:（5-2）不难看出：中误差越大，表示观测值的精度越低；反之，精度越高。第十五页，共五十一页，编辑于2023年，星期二例3：对同量分组各进行了10次观测，其真误差为：第一组：第二组：试计算两组观测列中误差。解：第十六页，共五十一页，编辑于2023年，星期二例4：某作业组对7个三角形进行了内角观测，其三角形闭合差为：试计算这组闭合差的中误差。解：第十七页，共五十一页，编辑于2023年，星期二2）极限误差偶然误差第一特性表明，一定观测条件下，偶然误差的绝对值不超过一定限值。若超过了，则认为有错，应舍去重测。这个限值称为极限误差。实践证明：大于一倍的中误差出现概率约占30%，大于两倍占5%，大于三倍约站0.3%。定义：取两倍或三倍的中误差作为偶然误差的极限误差，即：

∆容=2m（3m）（5-3）即：超过极限误差的认为是粗差，应舍去重测。第十八页，共五十一页，编辑于2023年，星期二3）相对误差中误差和真误差又称绝对误差。某些情况下单用中误差表达观测值精度是不能完全表达精度的优劣。相对误差定义：误差与观测值之比，用形式表示。即：分为：相对中误差、相对容许误差、相对闭合差。注意：相对误差一般是用来衡量距离的精度的！是一无名数。第十九页，共五十一页，编辑于2023年，星期二[例4]：用钢卷尺丈量200m和40m两段距离，量距的中误差都是±2cm，问两者的精度是否相同？解：按定义，得：前者的相对中误差为：

0．02／200＝1／10000后者相对中误差则为：

0．02／40＝l／2000故前者的量距精度高于后者。第二十页，共五十一页，编辑于2023年，星期二本知识点小节：1、误差来源、分类以及性质；2、衡量精度三个指标。第二十一页，共五十一页，编辑于2023年，星期二知识点二：误差传播律第二十二页，共五十一页，编辑于2023年，星期二5-4误差传播律在测量工作中，有一些需要知道的量并非直接观测得到，而是通过观测值以一定的函数关系计算而得，因此称这些量为观测值的函数。由于观测值中含有误差，使函数受其影响也含有误差，此种误差关系，称之为误差传播。第二十三页，共五十一页，编辑于2023年，星期二误差传播律：表述观测值中误差与函数中误差之间数学关系的定律，称为误差传播定律。用途：当已知一些量的中误差，来求由这些量构成的函数的中误差（精度）。（中误差的定义是求直接观测量的精度的）例如：已知观测高差的中误差（精度），问由其计算所得高程的精度？第二十四页，共五十一页，编辑于2023年，星期二1）线性函数的中误差X是已知中误差的独立观测值，K是常系数。当观测值的中误差分别为：m1,m2…mn时，按传播律得函数Z的中误差为：[例5]

已知函数式：HA=H0+h1+h2，m1=m2=±3毫米，求A点高程的中误差？第二十五页，共五十一页，编辑于2023年，星期二应用误差传播律时，要注意一下特例：（1）当k1=k2=…kn=0时，则函数（5-4）式为倍数函数：（2）当k1=k2=….=kn=1时，则函数（5-4）式为和差函数：第二十六页，共五十一页，编辑于2023年，星期二可见，在应用误差传播律解题时：（1）要正确列出函数式；（2）根据函数式找出所用的误差传播律公式，并将各数据对应地带入公式计算。第二十七页，共五十一页，编辑于2023年，星期二例：在1：500地形图上量的某两点的距离d=234.5mm,其中误差md=±0.2mm,求该两点间的地面水平距离D及其中误差mD.解：第二十八页，共五十一页，编辑于2023年，星期二例：设对某一个三角形观测了其中α、β角，测角中误差为试求第三个角γ的中误差。解：第二十九页，共五十一页，编辑于2023年，星期二2）非线性函数（一般函数）设有非线性函数Z=f(x１，x２…xn）

x１，x２…xn为独立观测值，其相应的中误差分别为m１、m２…mn，求函数Z的中误差。

第三十页，共五十一页，编辑于2023年，星期二不难看出，线性函数是非线性函数特例；综合上述，应用误差传播律求观测值函数中误差，一般按以下三个步骤计算：1、列出独立观测值的函数式2、对函数全微分,计算各观测值的偏导数值；3、根据各观测值的和中误差mxi,按公式计算函数值的中误差mz.第三十一页，共五十一页，编辑于2023年，星期二例【6】:已知x的中误差为±8mm,y的中误差为±5mm,求解z的中误差。解：第三十二页，共五十一页，编辑于2023年，星期二本知识点小节：1、误差传播律应用前提（求函数的中误差）；2、误差传播律公式（线性、非线性）；3、应用误差传播律注意事项（合并同类项、单位统一）。第三十三页，共五十一页，编辑于2023年，星期二知识点三：同精度直接观测平差；不等精度直接观测平差。第三十四页，共五十一页，编辑于2023年，星期二5-5同精度直接观测平差除了标准实体，自然界中的任何单个未知量的真值都是无法确定的；只有通过重复测量，才能对其真值做出可靠的估计。重复测量又会导致观测值间产生矛盾；于是，就需对观测数据进行处理，这过程称为“测量平差”。测量平差目的就是对带有误差的观测值给予适当的处理，以求其最可靠值，并评定其精度。第三十五页，共五十一页，编辑于2023年，星期二一、求或是值（平差值）在等精度直接观测平差中，观测值的算术平均值就是未知量的最或是值，即：改正数（残差）：最或是值与观测值之差，即改正数性质（用来做计算检核）：第三十六页，共五十一页，编辑于2023年，星期二二、评定精度1）观测值中误差上式为等精度观测值中用改正数计算中误差的公式，又叫“白塞尔”公式。第三十七页，共五十一页，编辑于2023年，星期二[例7]：对某角进行了5次等精度观测，观测结果列于表。求其观测值的中误差。解：（1）计算改正数；（2）按公式求最或是值(算术平均值)、以及观测值中误差：第三十八页，共五十一页，编辑于2023年，星期二2）算术平均值的中误差函数式：利用误差传播律，可得：或：第三十九页，共五十一页，编辑于2023年，星期二[例8]：上题求最或是值的中误差。解：由公式可直接求得可见：1）算术平均值的中误差与观测次数的平方根成反比。

2）但也不能单纯以增加观测次数来提高成果质量！第四十页，共五十一页，编辑于2023年，星期二下图可以说明之。第四十一页，共五十一页，编辑于2023年，星期二5-6不同精度直接观测平差一、权与单位权“权”的原意为秤锤，此处用作权衡轻重之意。“权”定义：权的性质：是相对的，即可以衡量相对精度。“单位权”的定义：等于1的权为单位权，对应的观测值为单位权观测值，中误差称为单位权中误差。第四十二页，共五十一页，编辑于2023年，星期二二、测量中常用定权方法1、同精度观测的算数平均值的权即：权与观测次数成正比。2、权在水准测量中的应用即：当各测站观测高差为同精度时，各水准