高考数学常见难题大盘点解析几何

21.设A(XI,y.B(x2,y2)是椭圆Xj21(ab0)上的两点,3baba椭圆的离心率e上一,短轴长为2,0为坐标原点.2(1)求椭圆的方程；(2)假定直线AB过椭圆的焦F〔0,c〕,〔c为半焦距〕,求直线AB的斜率k的值;点试问：△AOB的面积能否为定值？假如是,请赐予证明；假如不是,请说明原因分析：本例〔1〕经过e—,2b2,及a,b,c之间的关系可得椭圆的方程；〔2〕2从方程下手,经过直「线方程与椭圆方程构成方程组并联合韦达定理;〔3〕要注意特与一般的关系,分直线的斜率存在与不存在议论.殊答案：〔1〕2b2,b1,e2.e.32椭圆的方程为L4〔2〕设AB的方程为

kxykx2..1由亡(k24)x22.3kx10XiX2,XiX22k2k3k4由X1X1-.3)(明2b2X1X(kx1422..3kk24..3kk244当A为极点时,必为极点△(3)BAO=1.$当A,B不为极点时,设AB的方程为y=kX+bykxb2y(k24)x22kbxb244b2X1k24x2生0(kx1b)(kx2b)X1X4X1X222b2k2-11X2|21b1(x「x2)24x1x2|S1b||XI24k22|b|所以三角形的面积为定值.2.在直角坐标平面中,△ABC的两个极点为A〔0,uuuuuuuuuruuuuuu时知足①GAGBGC0,②|MA|=|MB|=

(1k2)X1X3k,4X2)2V(X1X22kbk240代入整理得：|b|.4k24b216k24-D,B(0,1)uuiu平面内两点uuurAB|MC|③GM//求极点C的轨迹E的方程设P、QRN都在曲线E上,定点F的坐标为(J2,0),PF//FCuuniruuuruuuunrRF//FN且PF?RF=0.求四边形PRQ丽积S的最大值和最小值.分析：本例(1)要熟习用向量的方式表达点特点；(2)要掌握好直线与椭圆的地点关系,弦长公式,灵巧的运算技巧是解决好本题的要点.答案：(1)设C(x,y)uuvuuuuuuvuuvuuu/,QGAGB2GO,由①知GC2GO,G为△ABC的重心,由②知M是^ABC的外心,M在x轴上由③知M(uuuruuur由|MC||MA|得化简整理得:2y1(xw0).2(2)F(四,0)恰为)-1的右焦点3设PQ的斜率为kw0且kw士

,2,那么直线PQ的方程为y=k(x2由yk(x.2)(3k21)x26.2k2x6k23x3y30设P(X1,y1),Q(x2,y2)那么X1+x62k26k23k21x2=——53k那么|PQ|=,1k2?,(x1x2)24x1x2.1k26.2k2244(3k21)3k2123(k21)3k211_2、3(k21)QRNLPQ把k换成一得|RN|=k3k2S」|PQ|IRN|26(k222(3k21)(k23)3(k2记)103(k210Qk2口>2,k2------->162S3-<S<2,(当k=±1时取等号)2又当k不存在或3S^ax=2,Smin=2x223.如图,F为双曲线C:、1a0,b0的右焦点P为双曲线ba-2且位于x轴上方,M为左准线上一点,O为坐标原点四边形OFPMPFOF(I)写出双曲线C的离心率e与的关系式;(n)当1时,经过焦点F且平行于OP的直线交双曲?线于A、点,假定AB12,求此时的双曲线方程剖析：圆锥曲线的几何性质联合其余图形的考察是要点.注意灵巧应用第二定义.

为平行四边形,M解：?四边形OFPM是Y,|OF||PM|c,作双曲线的右准线交PMTH,贝Ua2|PF||OF|c22上c2c'1PM11PHi2丁又e曷22~2~~2~~2e22—2acc2ac2ee202222XV____(n)当1时,e2,c2a,b3a,双曲线为一251四边形OFPM4a3a是菱形,所以直线OP的斜率为百,那么直线AB的方程为V向X2a),代入到双曲线方程得：9x248ax60a20,460a29又AB12,由AB|由k2J(xx2)24%x2得:122、(48a)222/曰29227x2V21为所求仔a—,那么b——,所以———44927424.设A,B分别为椭圆yr1(a,b0)的左、右极点,椭圆长半轴的长等于焦距,且bx4为它的右准线(I)、求椭圆的方程;(n)、设P为右准线上不一样于点(4,0)的随意一点,假定直线AP,BP分别与椭圆订交于异于A,B的点M、N,证明：点B在以MN为直径的圆内剖析：本小题主要考察直线、圆和椭圆等平面分析几何的根基知识,考察综合运用数学知识进行推理运算的水平易解决问题的水平2解：(I)依题意得a=2c,a=4,解得a=2,c=1,进而b=J3c故椭圆的方程为(n)解法1：A(—2,0),B(2,0)(4,0)xN设M(xo,yo)3???M点在椭圆上,.??y0=一4(4-x.2)又点M异于极点A、B,-2<xo<2,由P、A、M三点共线能够得P(4,一)x02uuuu进而BM=(x0-2,y6,uuu6y0一BP=(2,x0)2,,_2uuuuuuu6yc---------(x0—4+3y0)BM?BP=2x0-4+卫匚x2x002......一uuuuuuu—5将①代入0,化间得BM,BP=—(2—xo)uuunuun??-2-x0>0,BM?BP>0,那么/MBP^锐角,进而/MBN^钝角,故点B在以M时直径的圆内解法2:由(I)得A(—2,0),B(2,0)设M(xi,yi),N(如V*,那么一2<xi<2,—2<x2<2,,又MN的中点Q的坐标为(：x一丝,_y_y2),22依题意,计算点B到圆心Q的距离与半径的差_212x1x2、2,y1y22—1[(xi—x2)2+(yi—y2)2]BQ--|MN=(122-2)+(,124=(xi—2)(x2—2)+yiyi@又直线AP的方程为y=—y^(x2),直线BP的方程为y=—y^(x2),xi2x22而点两直线AP与BP的交点P在准线x=4上,」&"=3(x22)yi③???9xi2x22xi2223又点M在椭圆上,那么江江i,即yi23(4xi2)(5)434一.....,......ii2i25于是将?、?)代入◎,化简后可得BQ——MN=-(2—xi)(x22)044进而,点B在以MNK1直径的圆内5.抛物线C:y22px(p0)上随意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大I.求抛物线C的方程；假定过焦点F的直线交抛物线于MN两点,M在第一象限,且|MF|=2|NF|,求直线MN的方程；求出一个数学识题的正确结论后,将其作为条件之一,提出与本来问题相关的新问题,我们把它称为本来问题的一个“逆向〞问题.比如,本来问题是“假定正四棱锥底面边长为4,侧棱长为3,求该正四棱锥的体积〞.求出体积16后,它的一个“逆向〞问题能够是“假定正四棱锥底面边长为4,体积为I6,33求侧棱长〞；也能够是“假定正四棱锥的体积为I6,求全部侧面面积之和的「最小值〞.3现有正确命题：过点A(-,0)的直线,交抛物线C:y22px(p0)于P、Q两点,设点P对于x轴的对称点为R,那么直线RQ必过焦点F.试给出上述命题的“逆向〞问题,并解答你所给出的“逆向〞问题.分析：答案：解：(1)y24X设N(—,t)(t>0),那么M(t：2t),F(1,0).4因为MF、N共线,那么有kFMkNF,所以——22^—,解得tJ2,“14所以k2—222,21因此,直线MN勺方程是y272(x1).“逆向问题〞一：①抛物线Cy22px(p0)的焦点为F,过点F的直线交抛物线C于P、Q两点,设点P对于x轴的对称点为R,那么直线RQ^、过定点A(—,0).2证明：设过F的直线为y=k-JP),P(XI"I),Q(x2,y2),那么R(XI,y1)4xD得k2x2(pk24)x—p2k2以x#2k(xI)4k(xk(x￡x2)k(x|)y11多2121kRAkQAPx2Kx卫px1x1x2x〔x2为22所以直线RQ必过焦点A.②过点A(^,0)的直线交抛物线C于P、Q两点,FP与抛物线交于另一点R,那么RQ^直于x轴O③抛物线C:20),过点B(m,0)(m>0的直线交抛物线C于P、Qy2px(p两点,设点P对于x轴的对称点为R,那么直线RQ必过定点A(-m,0).2y—1的焦点为F1(-c,0)2,F2(c,0),过F2的直线交椭b“逆向问题〞二：椭圆C:T2a圆C于P、Q两点,设点P对于x轴的对称点为R,那么直线RQ必过定点A(—,0)°c22“逆向问题〞三：双曲线C:二?1的焦点为F1(-c,0),F2(c,0),过F2的直线交2a2b双曲线C于P、Q两点,设点P对于x轴的对称点为R,那么直线RQ必过定点A(—,0).c.椭圆的中央是原点O,它的短轴长为2?2,相应于焦点F(C,0)(C>0)的准线X轴订交于点AOF2FA,过点(1)求椭圆的F程及离心率

A的直线与椭圆订交于

P、Q

两点.4一二r,刎线PQ的里|；(3)设AP=AQ(>1),过点P且平行与准线L的直线与椭圆订交于另一点证明FM=-FQ.剖析：(1)要求椭圆的方程及离心.率,很重要的一点就是要熟习这类二次曲线的标准方程的中央、长轴长、短轴长、焦点坐标、标准方程、离心率、焦距等相关观点及几何性质.解：(1)依据条件“椭圆的中央是原点O,它的短轴长为2y[2,相应于焦点F(C,0)22(C>0)的准线L与X轴订交于点A.〞可设椭圆的方程为与_y_1(a>/2),从a2C2a2力士2c),联系以上这两个对于a、c2<2;又因?OF|2FA,能够有c2(而有ac22c的方程组并解得a=J6,c=2,所以椭圆的方程为—y1,离心率e=—.622依据条件“OP-OQ=0",我们可设Px11yl,Qx2,y2,把两个向量的数目积的形式转变为坐标表示的形式,再依据直线PQ经过A(3,0),只须求出直线PQ的斜率K即可求出直线PQ的方程.而P、Q两点又在椭圆上,所以,我们简单想到经过22直线y=k(x-3)与椭圆——Xy—1,联系方程组消去一个未知数y(或x)得3k2620,并利用一元二次方程的根与系数关系联合2一2_2一1X218k2x27k265x/2yy0及y〔y2k3x23不难求出k=——,这里应特别注意K的值要保证>0建立,否当没法保证手线5PQ与椭圆有两个交点.FMFQ的坐标之间关系来(3)要证F代FQ-^我们简单想到经过式中两个向量谋求证题的方法.为此我们可依据题意“过点P且平行为准线L的直线与椭「圆订交于另M坐标为x1,y1.又因AP=AQ易知FMFQ的两个纵坐标已经知足y1y2,所以此刻要考虑的问题是如何证明FMkFQ的两个横坐标应当知足x12x22,事实上,APx13,y1,AQx23,y51注意到>1,解得x25——1⑤2因F(2,0),Mx1,y1,故FM=x12,y1=x211=,y1二—,y222又FQ=x22,y21,所以FM=-FQI"27.F1(2,0),F2(2,0),点P知足|PF1|IPF2I2,记点P的轨迹为E.求轨迹E的方程；假定直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点.(i)不论直线l绕点F2如何转动,在x轴上总存在定点数m的值.

31,、2°M(m,0),使MPMQ恒建立,务实(ii)过P、Q作直线x1的垂线PAOB垂足分别为AB,记1PAi|QB|,2|AB|求入的取值范围.分析：(|PFJ|PF|2|FF|答案：解：1)由21为焦点的双曲2知,点P的轨迹E是以F、F22y22线右支,由c2,2a2,b3故轨迹E的万程为x——1(x1).(2)当直线l的斜率存在时,设直线方程为yk(x2),P(xi,yi),Q(X2,y2),与双曲线方程联立消y得(k23)x24k2x4k230,k230xix2

4k2k234k23xix2

k23解得k2>3(i)MPMQ(x1m)(x2m)y1y2(x1m)(x2m)k(x2,12)(x22)2_2)m22(k1)x1x2(2km)(x1x24k(k21)(4k23)4k2(2k2m)2启55m4K3k23(4m5)k2k232——---------m.k3MPMQ,MPMQ0,故得3(1m2)k2(m24m5)0对随意的3恒建立,201m21.“2,解得mm4m50当m=—1时,MPLMQ当直线l的斜率不存在时,由P(2,3),Q(2,3)及M(1,0)知结论也建立,综上,当m=—1时,MPLMQ,1(ii)a1,c2,直线x—是双曲线的右准线,211一1,一,由双曲线定义得：|PA|-|PF2||PF2|,|QB|-|QF2|,e.1k222方法一:|PQ|_|x2x1|21ABi21y2y1|x1|-1k22-1121k(x2小)|2|k|3k2.k23,0?1拓13一,故一32注意到直线的斜率不存在时,|PQ||AB|,止匕时综上,方法二：设直线PQ的倾斜角为九因为直线PQ与双曲线右支有二个交点,2-,过3Q作QC1PA垂足为C,那么PQC|-|,|PQ||PQ|22|AB|2|CQ|2cos份〕2sinsin1,故:8.如图,P是抛物线C:12,交于另一点Qo-X上一点,直线L过点P且有抛2I〕假定直线L与过点P的切线垂直,求线段PQ中点M的轨迹方程II〕假定直线L可是原点且与X轴交于