弹性力学第三章习题

设有矩形截面的竖柱，其密度为ρ，在一边侧面上受均布剪力 如图 1，试求应力分量。采用半逆解法，设

0 x。x h。导出使其满足双调和方程：

g q 2x y2

Xx

0, y

f(x)

(x)

f(x)14

yd

f(x)d4

f(x)1x44y4

0

dx44 x2y2

dx4

y 14

0,yd4

f(x)d4

f(x)1 0dx4y

dx4d4 f

(x)

0,d4

f (x)1 0dx4f(x)

Ax

dx4Bx2

Cx

f (x)1

Ex

Fx2 y(Ax

Bx2

Cx)

Ex

Fx2

（）f)f)。1含待定常数的应力分量为： 2X02 2Y22

A2)6E2F

xy

A2

2B)

（2）利用边界条件确定并求出解答：(()x

) 0x0,C0

能自然满足：x0

0

能自然满足：xxhx( )yx xh

q,3Ah2 2Bhq( )

0,6Ex2

0,EF 0)yx

y0

（）h(0 xy Ah 3

)y0Bh

dy 0,h02 0

(3

2

) dx y0

（）34解出常数A和B进而可求得应力分量：A

q ,B h2 0,x y

2qyh

3x)h

Py,xy

qx(2h

3xh

（）如图（，三角形悬臂梁只受重力作用，梁的密度为，试用纯三次式应力函数求解该梁的应力分量。x qlglgyl 0oa）

x o ly图

xb）解1设应力函数为

Ax3

2y

2Dy34

。所以应力分量为： 2y2

Xx

2Cx

6Dy 2x2

Yy

6Ax

2By

gy xy

2xy

2Bx

2Cy用边界条件确定常数，进而求出应力解答：)y

g

) 0xyy0g

上边界：AB

0,C

cot,D2

cot23x gxcotx gy,y

2gycot2gycot斜边： l

cos(

0)

,m

cos

xxxy

coscos

00y2

(

2

)

2

(2

2)

2解 1 2 2

x 2 2 x 22

2(

)x

2 (x

2)0得： 1

0

,(

。解：将 代入相容条件，得：ϕ1双方程因此。将

2

代入相容条件得222,2222(2)0 2

代入相容条件，得：所以，3

可。图所示矩形截面简支梁受三角形分布荷载用，试取：

y

，求简支梁的分量（体不计。q xq0ql0q l06q l06xl l qll 323

(x2 y2)

(x2)2

(y2) 4

4x x

y y22

(44xx

4

) 0y解：由满足相容方程确定系数A与B的关系：4

0

4

120

Bxy

4

36

Axyx4

y4

x2y272

120

Bxy 0A 5 B3含待定系数的应力分量为 6x

Ax

y20

Bxy3

6 6y

Axy3

6

6Ex

(2) (xy

Ax2y

5By

3Cx2

3Dy

F)由边界条件确定待定系数： )y

y2

q0x,l0

Ax(

h)2

6(

h)2

Ex

q0xl(3)xy9Ax2

yh2(h)2

5B(

h)2

3

3D(

h)2

F0

(4))y

yh2

0

6Ax(h)2

6(2

)

Ex0

(5)xy

yh2

0

Ax2

(h)2

5B(h)2

3

3D(h)2

F0

(6)、由以上式子可求得： q q q qE

0 12l

A

0 3lh3

B 0 5lh3

C 04lh22h ( )22

dy

q0l

Dh

Fh

q0h

q0

(7)h xy2

x0 6 4

80l 62h 2h2

)x x

0

Al2

Bh

D

(8)由此可解得： q q l

q l q hD 010 lh

0 3 h3

F 04 h

080 l应力分量为 2q

(2 y2 x2 l2

h3) lh3 q

10x(3h2y 4 y3 h3)

(9)2lhq 0q

(4 y2 h2)(3 x2

y2 l2

h2 xy 4lh3 20 如图所示，右端固定悬臂梁，长为 ，高为 ，在左端面上受分布力作用（其合力为 P）不计体力，试求梁的应力分量。 OxOxPhlyd4解：用凑和幂次不同的双调和多项式函数的半逆解法来求解。显然，应力d4对应的面力，在梁两端与本题相一致，只是该函数在上、下边界面上多出了一个大小为 -3d h24 4

的剪应力，为了抵消它，在应力函数 上再添加一个与纯剪应力对应的应力 2函数 b：2 d 4

b 2由平衡条件得含有待定系数的应力表达式为： 2 x y2 2

6 d 4

, y3 d

2 0x2y2xy xy 2 4利用边界条件确定，并求出应力分量： 上、下边界： ( )y

yh2

0

( xy

0yh2左端部： d34( )x x0

0

h (2h xy22

) x0

P解得：b 3P, d 2 P2 2h 4 h312 P

3P 6 P x

xy,h3

0y

xy 2

y2h3试考察应力函数ay

在图 3-8所示的矩形xhxhl板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)?【解答】⑴相容条件:不论系数 a取何值，应力函数ay式(2-25).⑵求应力分量

y图3-8总能满足应力函数表示的相容方程，当体力不计时，将应力函数代入公式)，得 6ay, 0, 0⑶考察边界条件

x y xy yx上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力.左右边界上；当a>0时，考察分布情况，注意到

，故y向无面力左端:f

()

x6

0

yh

xyf 0x x x0

y xy x0右端:f

6

0

yh)

f ) 0x x xl

y xy xl应力分布如图所示，当l主矢，主矩

h时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为OAxOAxfxxyePePePeP因为A点的应力为零。设板宽b，集中荷p的偏心e：()

p

0eh/6xA bh2/6同理可知，当a时，可以解决偏心压缩问题。试考察应力函数

4y2，能满足相容方程，并求出应力分F2h3F量（不计体力，画出图9所示矩形体边界上的面力分布（在小边界上画出面力的主矢量和主矩，指出该应力函数能解决的问题。h/2h/2h/2lx(l?h)y图3-9【解答】（1）将应力函数代入相容方程（2-25）4x4

2 4x2y2

4y4

0，显然满足（2）将代入式（4，得应力分量表达式 12Fxy ,

3F

(14y2)x h3 y

xy yx

2h h2（3）由边界形状及应力分量反推边界上的面力：①在主要边界上（上下边界）上，y2

，应精确满足应力边界条件式（2-1，应力y

yh/

0,yx

0yh/2因此在主要边界yh上无任何面力，即 f2 x

hf y2 yy

h0y2y②在，l的次要边界上，面力分别为：

x0:f

f 3F1-

4y2x y12Fly

2h

h2 23F 4y22xl:f x h3

,f y

2h1h 因此，各边界上的面力分布如图所示：③在，l的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形式：上 上x

=

f

F h/

fdy01N h/21

h/2 xy

=

fdy

F

F h/

fdy

F1S h/21

h/2 y主矩：M1

=

fyx

M h/22 h/

fyx

Fl因此，可以画出主要边界上的面力，和次要边界上面力的主矢与主矩，如图：(b)F作用的问题。设有矩形截面的长竖柱密度为在一边侧面上受均布剪 oxq b力 （图试求应力分量。解答】采用半逆法求解。由材料力学解答假设应力分量的函数形式。(1)假定应力分量的函数形式。

h qgy (h?b)图3-10根据材料力学，弯曲应力 主要与截面的弯矩有关，剪应力 主要与截面y 的力有而挤压应力主要与横向荷载有题横向荷载为则x(2)推求应力函数的形式

0x将 0x

，

f 0,fx

g，代入公式（2-24）y积分

2x y2

fx0xy

fx

（a）yf

x

f1

（b）f

x,

fx都是x待定1（3）相容方程求将（b）式代入相容方程（5得d4fy

x

d4f1

x

（c）x4 x4区域内必须满足相容方程（c）式y一次方程相容方程要求它有无数多个根（y值都应满足它，可见其系数与自由项都必须为零，即

d4f

x

0,d

fx1 0两个方程要求

x4 xfx

x3x

fx1x

（d）fx中的常数项，

fx中的常数项和一次项已被略去， 因为这三项在 的1表达式中成为 y的一次项及常数项，不影响应力分量。将（d）式代入（b）式，得应力函数 y 3x2x x3x

（e）（4）由应力函数求应力分量x

2y2

fx0x

（f） 2y 2

fy6y

By

Dx

Egy

(g)(5)考察边界条件

xy

2

Ax2

2Bx

(h)利用边界条件确定待定系数A、B、C、D、E。主要边界x

上（左

0) 0将（f（h）代入

x

x0

yx0，自然满足主要边界xb上，

xx0)yx0

C0

（i）xxb

0，自然满足)xyxb

q，将（h）式代入，得)xyxb

3Ab22BbC

（j）y0上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：b0

)yy0

xb6x2Ex3b22b00

（k）b0

)yy0

xb6x2Ex2b3b20bb

（l）b0

)yxy0

dx 3Ax22BxCdxAb3Bb2Cb00

（m）由式（i，)（k（l（m）联立求得Aq,b2

Bqb

CDE0代入公式（g，)得应力分量

2qx13x qx3x2 x y b b b b 9.设图3-13中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁9.设图3-13中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁，试用纯三次式的应力函数求解。【解答】采用半逆解法求解设应力函数=Ax3Bx2yDy3，不论上式中的系数如何取值，纯三次式的应力函数总能满足相容方程由式（2-24）求应力分量由体力分量fx

0,fy

g，将应力函数代入公式（2-24）得应力分量： 2x y2

fx2Cx6Dyx

（a） 2y

fy62Byy

（b）

2

2Bx

（c）（3）考察边界条件：由应力边界条件确定待定系数。0，其应力边界条件为：()yy0

0，

) yxy0

（d）（d（b（cA

（e）在斜面上没有面力作用，即

f f

0，该斜面外法线方向余弦为，l，mcos

x y.（5sin)

cos

0sin

x)

cos)y

0

（f）（a（b（（e（fCgcot,Dg

（g）2 3（e（（（b（cx xygycot，图3-5，3求解：本题是较典型的例题，已经给出了应力函数Φ，可按下列步骤求解。Φ代入相容方程，显然是满足的。将Φ4 。25，

满足； 得 在次要边界上，只给出了面力的主矢量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分的边界条件代替。注意负x面，图3-5中表示了负x面上σ,和τ

x xy 。上)，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下，是必须满足的，故不必再校核。代入应力公式，得 。 11. ρ，3-6ρ，1 2试求应力分量。解：用半逆解法求解

gx，yσ为y

y y 2 。yσΦy 则

。由相容方程求应力函数。将Φ代入▽ 。x处都成立，必须 得

得 。代入Φ，即得应力函数的解答，其中已略去了与应力无关的一次式。Φ代入式（，注意体力fρ分量为

x 1 y

。 考虑边界条件：在主要边界±2上，有

m 。 由上式得到 m

求解各系数，由(a)+(b)得

(a)-(b)得

(c)-(d)得

(c)+(d由此得

。

。又有(e)-(f)得 ，(e)+(f)得

代入A，得 。 在次要边界（小边界）x=0上，列出三个积分的边界条件：

得 得 得 。由式(g),(h)解出 。代 入 应 力 分 量 的 表 达 式 ， 得 应 力 解 答 ：

。

试问它们能否作为平面问题的应力函数？解：作为应力函数，必须首先满足相容方程， 。Φ代入，（a）其中A=0，才可成为应力函数；（b）必须满足3（A+E）+C=0，才可成为应力函数。3-7所示的矩形截面柱体，在顶部受有集中力F和力矩 求解图示问题的应力及位移，设在A点的位移和转角均为零。解：应用应力函数求解：求应力分量，在无体力时，得 。

，均已满足。考虑

满足 得

得 。 代入，得应力的解答， 。 Φ求应变分量，

。 求位移分量，由 对积分得 由 对积分，得

。 u,v 两边分开变量，并令都等于常数ω,即 。从上式分别积分，求出 。代入，得 。 再由刚体约束条件，

得 得 。 代入，得到位移分量的解答：

。 在顶点

。矩形截面的简支梁上，作用有三角形分布荷载，图。试用下列应力函数 求解应力分量。解：应用上述应力函数求解：、Φ代入相容方程 。由此， 。求应力分量，在无体力下，得 。考虑主要边界条件±2）,

。 对于任意的x值，上式均应满足，由此得

由(c)+(d)得 。由(c)-(d)得

由（e）-(a)得 。考虑小边界上的边界条件（0，由 得 。 由式（b）和(f)解出 。 另两个积分的边界条件， 显然是满足的。于是，将各系数代入应力表达式，得应力解答： 读者试校核在x=l的小边界上，下列条件都是满足的。 15. 矩形截面的柱体受到顶部的集中力 215. 矩形截面的柱体受到顶部的集中力 2F和力矩M的作用。图3-9，不计体力，试用应力函数求解其应力分量。解：应用上述应力函数求解： ，。

。（）考察边界条件。在主要边界yb，22

。 在次要边界0，

得

得

得 。 再由(a),(b)式解出 。 代入，得应力解答， 。 试由应力函数 求解图3-10所示的半无限平面体在0的边界上受均布压力q的问题。解：应校核相容方程的边界条件，若这些条件均满足，就可以求出其应力分量。本题得出的应力解答是

。 3-113-11q的问题Φ本题得出的应力解答是

半平面体表面上受有均布水平面力 2q，试用应力函数Oxy 2(BOx分量，如图

求解应力解（1）由于

2，而相容方程40，故满足，验证相容方程满足；（2）求出应力分量如下：2B

2B2 2BC2（3）代入2

边界的应力边界条件，得： 0

C0 222

2q Bq（4）得到应力分量的表达式为：

2qcos2半平面体表面上受有均布水平面力 q，试用应力函数2(Bn)求解应力分量，如图（12分）2qOOx解（1）由于

2，而相容方程40，故满足，验证相容方程满足；（2）求出应力分量如下：

2B2B

2Bcos2C（3）代入2

边界的应力边界条件，得： 2

C02

2q

Bq（4）得到应力分量的表达式为：2q2q

2q如图所示矩形截面简支梁，长度为l，高度为h

lh

1，在上边界受 三 角 形 分 布 荷 载 作 用 ， 试 取 应 力 函 数 为 ：Ax3y3

Cx3y

Ex3

，求简支梁的应力分量（体力不计）。y解（1）将代入相容方程，540,由此，5

72A120B0

得 A B3

B33x3yy

E

。（2）求应力分量，在无体力下，得 10Bx

y20B

6 10By

66 (15B2yxy

5B

3x

3y

F)。（3）考察主要边界条件(yh/2)， 15

5 3 yh/2,

0,得x23C

F0。xy

4 16 4 对于任意的 x值，上式均应满足，由此得153C Bh20 154

（a）5Bh416

3Dh24

F0

（b）yh/2,y

0

x54

Bh3

36E0

（c）（d）

yh/2,y由(c)+(d)得

q x0l

5h44

3Ch6Eq x0lEq0 。由(c)-(d)得

12l5

Bh2

3C

(e)4由(e)-(a)得

2lhB q0 , Cq0 5lh3 4lh（4）考察小边界上的边界条件（0）由h/2h/

xy

0

dyq0l,6得 Bh5

Dh3

q0

（f）由式（b）和)解出

16 4 6,Dq l 1 ,。03h3 10lh。Fq

h l 另两个积分的边界条件：

080l 4h显然是满足的。

h/2h/h/2h/

xx

x0x0

dy0,ydy0。（5）于是，将各系数代入应力表达式，得应力解答： 2q

l

2y23 x 0lh h2

h2 10 x

y2 y3 qy

12l

4 , h2 h3 q

y2l

x2 h

y20xy 4

1

h2h

lh 20l

lh经校核在x=l的小边界上，下列条件也是满足的：h/2h/

()x

xl

dy0

h/2h/

()x

xly

dy0

h/2h/

xy

xl

dy 0 。 q3q楔形体左边垂直，右边与垂直方向成角 5o，下端无限长，不计体力，左边受到均布水平方向的面力q作用，试用半逆解法求应力分量。O xqy

45o

n45oy解：解法1---（1）假设部分应力的形式并推求应力函数的形式用量刚分析认为，各个应力分量只可能是xy的纯一次式。而应力函数较长度量刚高两次，应该是x和y的纯三次式，因此假定：ax3bx2ydy3（2）验证上式满足相容方程。显然满足（3）求解应力分量的具体形式 2x y2 2y

fx2cx6dyxfy6ax2byy xy

2

2bx2cy（4）考察边界条件第一个边界应力边界条件为：()xx0

q) 0xyx0代入上式并代入边界方程x=0可得：()xx0)

6dyy2cy0xyx0 d16

c0因此应力分量变化为：x 2cx6dyyx 6ax6axy 2bx2cy2bxxy第二边界x=y的应力边界条件为：l() ) 0xxy xy) ) 0xy yxy22lcos45o ;m45o22而：所以：

2 222 122y2

(2by)02 22

102b

b2 12(2by)22

(6a2b)y0

a 3（5）求解应力分量最后得出应力分量为：

2cx6dyyy 6ax2by2xyy 2bx2cyxxy解法2---（1）假设2

yxx1y y3(x)

(x)y2 6 1 2（2）代入相容方程：得到：

4x4

2 4x2y2

4 0y4f(x)bx21f(x)ax3216

y3cxy2bx2yax3（3）代入边界条件第一个边界x=0应力边界条件为：()xx0

q) 0xyx0第二边界x=y的应力边界条件为：l() ) 0xxy xy) ) 0xy yxy而：l

cos45o

;m45o22得到：22

2 2b1;a12 3（4）求解应力分量

y 2xy

xq【解（1）楔形体内任一点的应力分量决定于q、ρ、，其中 的量纲为NL-2，与应力的量纲相同。因此，应力分量的表达式只可能取Kq的形K是以，表示的无量纲函数，亦即应力表达式中不能出现ρ，再由

2知，应力函数应的函数乘以

2，可设

22f()

（a）将（）代入双调和方程2

1 1 2 2

0，2

22得1 d4f()得

4d2f()

0，2 d4

d d4fd4式的通解为

4d2f()=0，df()

ABCD，将上代入（a得为2(AcosBnCD)。 （b）(2)应力表达式为11

1

22

2(ABC 2 2

2(ABC

(c) 1

1

2

22BC。应力边界条件)0

得2（D）－q; )

0,得Acos2+Bsin2+C+D=0, 0 ) 0得－B－0)

02－2－Ｃ0。 联立求解式(d－，得各系数A

)

B q ，)C

q ，

q(tan2)。)

)将系数代入)，得应力分量 q

tan(1cos2)sin2)，2(tan)tan(1cos2)sin2)2(tan)

（） cos2tansin。2(tan)楔形体在两侧面上受有均布剪力q,如下图所示，试求其应力分量。【解（）应用应力函数由应力函数得应力分量

2AcosBsinCD，进行求解。11

1

2

2(Acos2BsinCD), 2

2(Acos2BsinCD), (1)2Asin2Bcos2C

（2）考察边界条件：根据对称性，得

0;

（a） 2

(b)2

(c) 2

q

(d) 2同式（a）得2AcosC2D(e)同式（b）得2BcosC(f)同式（c）得2AcosC2D0;(g)同式（d）得2BcosC(h)(e(f(g)、(h)联立求解，得A q ,B2

qcot2将以上各系数代入应力分量，得

cos2 sin

cot cos2 sin

cot ,sinqsin图示悬臂梁，梁的横截面为矩形，其宽度取为1，右端固定、左端自由，荷载分布在自右端上，其合力为 （不计体力，求梁的应力分量。解：这是一个平面应力问题，采用半逆解法求解。（）选取应力函数。由材料力学可知，悬臂梁任一截面上的弯矩方程（）与截面位置坐标x成正比，而该截面上某点处的正应力又与该点的坐标y成正比，因此可设(a)式中的为待定常数。将式（a）对y积分两次，得(b)式中的，为x的待定函数，可由相容方程确定。将式（b）代入相容方程，得上式是y的一次方程，梁内所有的y值都应是满足它，可见它的系数和自由项都必须为零，即，积分上二式，得式中为待定的积分常数。将，代入式（b，得应力函数为. (c)应力分量的表达式考察应力边界条件：以确定各系数，自由端无水平力；上、下部无荷载；自由端的剪力之和为P，得边界条件,自然满足；,得;上式对x的任何值均应满足，因此得，，即，得X取任何值均应满足，因此得.将式（e）代入上式积分，得计算得 ,其中,横截面对Z轴的惯性矩。最后得应力分量为试考察应力函数能满足相容方程，并求出应力分量(不计体力),画出题3-2图所示矩形体边界上的面力分布(在次要边界上表示出面力的主矢量和主矩)，指出该应力函数所能解决的问题。解 （1）相容条件：将代入相容方程,显然满足。（2）应力分量表达式(3)边界条件：在主要边界上，应精确定满足应力边界条件(a)(b)在次要边界 x=o,x=l上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件(a)(b)(c)对于如图所示矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，由应力边界条件式（a）(b)、(c)可知上边、下边无面力；而左边界上受有铅直力；右边界上有按线性变化的水平面力合成为一力偶，和铅直面力。所以，能解决悬臂在自由端受集中力作用的问题。如题3-6图所示的墙，高度为h,宽度为b,h>>b,在两侧上受到均布剪力q的作用，试用函数求解应力分量。ob/2ob/2b/2qhqy(h>>b)3-6图解（1）相容条件将应力函数代入相容方程，其中，，。很显然满足相容方程。（2）应力分量表达式考察边界条件，在主要边界上，各有两个应精确满足的边界条件，即在次要边界y=0上，而的条件不可能精确满足（否则只有0，可用积分的应力边界条件代替.把各应力分量代入边界条件，得应力分量为设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用，体力可以不计，l>>h如题3-7图所示，试用应力函数求解应力分量。FsOh/2h/2FsOh/2h/2ly(l>>h,x解（1）相容条件将代入相容方程，显然满足。（2）应力分量表达式(3)考察边界条件，在主要边界上，各有两个应精确满足的边界条件得 (a