线性5数据包络不讲

第七节数据包络分析一．数据包络分析数据包络分析（DEA，dataenvelopmentanalysis）是评价同类组织间的相对有效性的决策方法，能有效解决多个输入、输出的部门之间的相对有效性评价。DEA理论与方法已经成为经济、管理、决策分析等领域的有效工具。每个系统都可以看成是某个单元为了实现自己的目标将一定的输入转化成一定的输出的过程，我们将但愿称为决策单元（DMU）。系统中可以在同时含有多个DMU。2.生产可能集将集合称为所有可能的生产活动构成的生产可能集。若存在多个DMU则有多个生产可能集，如系统中有n个DMU，有m个输入变量，s个输出变量，则第j个DMU的输入、输出向量可以表示为：，并且记录实际已经发生的生产活动，则,称集合为参考集。生产可能集满足如下性质(1)凸性：若对于和，以及，下式成立说明生产可能集为凸集，此定义可以推广到有限个组合。(2)锥性：若和，式成立。(3)无效性：T满足:①，且对均有；

②，且对均有

成立。(4)最小性：T同时具有凸性、锥性和无效性。Y（4,2）（1,2）（（3,3）X0假设一个单输入、单输出的系统，有观察数据，则其构成的生产可能集如图2-14.例子Y（4,2）（1,2）（（3,3）X0假设一个单输入、单输出的系统，有观察数据，则其构成的生产可能集如图2-14.3.生产函数(1)技术有效：对于，若不存在,且，则称为技术有效的生产活动。(2)生产函数：生产可能集T中的所有技术有效的生产活动构成的空间超曲面称为生产函数。(3)规模效益：将产出和投入的同期相对变化比值称为规模效益。若，说明规模效益递增，这时可以考虑增大投入；若，说明规模效益递减，这时可以考虑减小投入，若，说明规模效益不变并称该点为规模有效。(4)输入输出可处理性：若某输入的增加不会引起输出的减少，则称为该输入是可处理的，同样可以对输出的可处理性进行定义。二．C2R模型1.假设条件的提出介绍模型之前，首先提出一些假设：(1)假设系统有n个DMU，其中第j个DMU的输入、输出向量分别为，(2)输入向量所对应的权重为；输出向量所对应的权重为，。则输入向量和输出向量对应的权向量分别为，2.效率评价指数对于第j个DMU而言，按照下式定义其效率评价指数从效率评价指数的定义可以得出以下结论：(1)一定存在v和u使得成立；(2)的值越大表明该DMU可以从相对较少的输入获得相对较多的输出3.C2R模型用效率评价指数作为评价参数，可以建立C2R模型令，，，上面的规划问题可以整理为对偶问题另外还可以从线性规划问题的对偶问题的角度进行讨论，线性规划(P)的对偶问题为有效性其中约束反映被评价的第个DMU的输入组合为1.不难看出，利用上述模型来评价决策单元是不是有效，是相对于其他所有决策单元而言的。下面根据线性规划的定义给出第个DMU的严格定义：定义2-1若线性规划(P)的最优解,满足，

则称第个DMU为弱DEA有效。定义2-2若线性规划(P)的最优解,满足，并且,

,则称第个DMU为DEA有效。5.示例例2-14用DEA模型评价系统相对有效性。已知条件是系统中存在4个DMU，每个DMU有2个输入和1个输出，输入输出表如表2-12。

表2-12各DMU输入输出表DMU1234输入34454323输出2323利用线性规划求解过程如下：第一步，建立DMU1的线性规划模型并求解解得最优解为)，，并且故第1个DMU不满足DEA有效。第二步，建立DMU2的线性规划模型并求解解得最优解为)，，并且，故第2个DMU为DEA有效。第三步，建立DMU3的线性规划模型并求解解得最优解为)，，并且

故第3个DMU为DEA有效。第四步，建立DMU4的线性规划模型并求解解得最优解为，，并且，故第4个DMU为DEA有效。三．使用DEA方法的步骤使用DEA方法进行多个单元的相对有效评价一般包含以下几个步骤：(1)系统分析：这一阶段具体的任务有确定系统边界、分析系统评价的目标、界定影响系统目标的因素；(2)决策单元的选择：根据系统目标选择决策单元，决策单元应该具有相同的目标和任务、相同的环境、输入/输出指标；(3)评价指标体系的构建：指标体系的构建是整个评价过程的关键，在确定评价指标时确保指标的针对性、真实性、精确性、可操作性和数据可得性；(4)历史资料的手收集和整理：历史数据是DEA评价模型定量分析的基础，并且数据的准确性将会直接影响各DMU的相对有效性评价结果。所以，对历史数据的收集和整理十分关键；(5)建立DEA模型并进行求解：根据上面步骤建立相应的DEA模型并采用求解线性规划的思路进行求解，从而得到各DMU的评价结果；(6)分析结果：对EDA模型的评价结果进行分析和判定，并找出非有效性决策单元的无效原因及其改进措施，形成评价报告，并给决策者提出建议。-17-一个评价问题示例[例]：某城市有四家综合性医院：中心医院、市立医院、省医院和医大附属医院，现有他们的管理部门要对该四家医院的工作效率进行考评，测定哪家医院效率更高？

评价任何一个组织机构的工作效果，通常都是经过对其“输入量”和“输出量”的比较而衡量其运作效率的，并且对“好”、“坏”的认定必须能够确定出一个参照标准，或者是借助于与同类机构的比较分析才能实现，否则，评价无意义。

DEA方法的建模思想就是通过对各机构的输入、输出量的比较分析后，建立一个“较理想”的“复合机构”（高效率）作为评价的标准，将被评机构与该“复合机构”进行对比分析：设定“复合机构”的输出量不小于某一参评机构的输出量，那么它的输入量与该参评机构输入量的比较则可反映被评机构的效率情况。如果“复合机构”用较小的输入量即可获得同样或者较多的输出，则可认定该被评机构是低效的，而按此比值量的大小就可以对各个参评机构的运作效率进行排序。二、建模思想

MinZ=Ei

（i=1,······,n）

——对第i机构评价

ST.

∑wi=1

——权重限制

∑wi·OitOit

(t=1,······,T)

——输出约束

∑wi·IisEi·Iis(s=1,······,S)

——输入约束

wi0，Ei0

——变量符号限制三、模型结构i=1nni=1ni=1

机构1输入指标

机构2输入指标

机构n输入指标w1w2wn复合机构

机构1输出指标

机构2输出指标

机构n输出指标w1w2wn输入输出…………DEA方法原理示意图式中，Ei——效率指数，“复合机构”需要的输入为第i机构输入的百分比；wi——权系数，第i机构在“复合机构”中所占的权重；Oit——第i机构第t项输出指标的数值；Iis——第i机构第s项输入指标的数值；T——输出指标总数量；S——输入指标总数量；n——参评机构总数。上述模型为LP模型。若参评机构为n个，要计算每个机构的效率指数，则必须建立起n个LP模型。对第i个机构而言，若Ei<1，则第i个机构为低效。四、应用示例1．输入、输出指标的设计在评价时首先要选择输入、输出指标，通常应该选择数量化的指标，且指标不宜过多，能够切实反映问题即可。本例中选择：输入：（1）医护人员数量（人）（2）年经费数额（千元）（3）床位总数（千床日）输出：（1）就诊患者人数（万人次）（2）住院医疗人数（千人日）（3）培训护士人数（人）（4）培训实习医生人数（人）输入、输出指标统计数值输入指标统计值：医护人员数量285.20 162.30275.70210.40年经费数额123.80128.70348.50154.10床位总数106.7264.21104.10104.04指标 中心医院市立医院省医院医大附属医院输出指标统计值：指标 中心医院市立医院省医院医大附属医院就诊患者人数48.14 34.6236.7233.16住院医疗人数43.1027.1145.9856.46培训护士人数253148175160培训实习医生人数412723842．建立模型

按DEA思想，首先应该构造一个“复合医院”，该“复合医院”可以看作是从被评价医院种选择出“优质资产”（输入）“重组”而成，所以具有最优的效率。因此，首先应确定各医院“资产”在“复合医院”中的比重。比如，我们先来看省医院的运作效率模型：设

w1——中心医院在复合医院中所占比重

w2——市立医院在复合医院中所占比重

w3——省医院在复合医院中所占比重

w4——医大附属医院在复合医院中所占比重则其DEA模型如下：省医院运作效率评价的DEA模型minEst.w1+w2+w3+w4=148.14w1+34.62w2+36.72w3+33.16w436.7243.10w1+27.11w2+45.98w3+56.46w445.98253w1+148w2+175w3+160w417541w1+27w2+23w3+84w423285.20w1+162.30w2+275.70w3+210.40w4275.70E123.80w1+128.70w2+348.50w3+154.10w4348.50E106.72w1+64.21w2+104.10w3+104.04w4104.10Ewi0,(i=1,2,3,4),E0输出输入权数变量符号最优解为：

w1=0.212，w2=0.261，w3=0.000，w4=0.527E=0.905结论分析：若E=1，则“复合医院”需要与省医院同样多的资源， 方能得到不低于省医院产出量的数值； 若E<1，则“复合医院”可用较少的资源，获得不低于 省医院产出的数值，所以可判定省医院是低效的。医护人员数量213.7年经费数额141.05床位总数94.21就诊患者人数36.72住院医疗人数45.98培训护士人数176.6培训实习医生60复合医院输入输出复合医院实际的输入、输出指标构成示意图第八节：线性规划的应用用Excel工作表来建立线性规划模型，主要包括以下几步:第一步在工作表上半部分输入数据。第二步确定每个决策变量所对应的单元格的位置。第三步选择单元格并输入公式，计算目标函数的值。第四步选择一个单元格并输入公式，计算每个约束条件的左端值。第五步选择一个单元格并输入公式，计算每个约束条件的右端值。按照以上五步为下例所建立的电子表格如下图所示。工作表主要包括两部分：数据部分和模型部分。其中，代表决策变量的单元格和输入公式的单元格用阴影显示。工作表中的文字主要是为了我们便于理解题意，其本身对于解题并无任何影响。应用例：某企业计划生产甲、乙两种产品，该两种产品均需经A、B、C、D四种不同设备上加工，按工艺资料规定，每生产一件甲产品需要占用A、B、C、D四种设备各2、1、4、0小时，可获利润2百元。每生产一件乙产品需要占用A、B、C、D四种设备各2、2、0、4小时，可获利润3百元。已知A、B、C、D四种设备在计划时间内能够提供的有效台时数分别为12、8、16、12。问:如何安排产品的生产计划,才能使企业获利最大?用Excel求解模型的步骤如下第一步，打开数据菜单的规划求解，单击，出现对话框如下图所示，第二步，在对话框中填入参数。第三步单击添加按纽，出现添加约束对话框，在单元格引用位置一栏内，填入约束条件左边的值所在的单元格地址，选择约束符号，在约束值一栏内，填入约束左边的值的单元格地址。选择确定。得到一个填写完毕的规划求解参数对话框。第四步，单击对话框内的选项