含参数不等式恒成立问题处理策略

2x22222x2222222含参数的等式恒成问题的处策略耒一付运含参数的不式恒成立求数的取值范的实质是已知不等的解集参数的取值围。学生遇这类问题，较找到解题的切点和突破口下面介绍解这类问题的策和方法。一、分离变法对于一些含数的不等式成立问题，果能够将不等式进行同解形，将不等中的变量和数进行剥离，使变量和参数别位于不等的左、右两，然后通过求数的值域的方将问题化归解关于参数不等式的问题例不等式2cos+k<0对一切实x恒成立，求参数的取值范围。解：所给不式可化为）k>）<kmax而（2）=9∴kmax解之得：k3<-2故k的取范围是（∪（3∞

222222一般地分离量后有下列种情形：≥g(k)<==>[f(x)]≥g(k)min②f(x)>g(k)<==>g(k)<[f(x)]min≤g(k)<==>[f(x)]≤g(k)<==>[f(x)]<g(k)二、数形结对于含参数不等式恒成问题，当不式两边的函数图象形状明，我们可以出它们的图，利用图象直和运动变化的点进行转化化归为某一端情形如端点相切等，从而到关于参数的等式。例2如果不等式≠kx+2在[成立求参K取值范围解：令f(x)=g(k)物线y位x轴方的部分，的图象则斜率为k在y上的截距为2的动线过A作y的切线，令它的方程为，显然k≠0y由清去y得y=kx+2

22211222由△解得k=，k=102y=

110

x+2切物线）上半部y=-

12

x+2切抛物线于下部，故

110

x+2与y=x+5相2切-，其中，2)，令y=5y=于C≠kx+2在[∞）内恒成。（二）==象交点图知当过A直线在∠BAC的外部时它没有交点12故当k>或K<时等105式，在内恒成。

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x切三、利用函的单调性当不等式两的函数在使等式恒成立区间内具有不同的单调性，我们可以用这一特点问题化归为极情形，从而将般问题作特化处理。例3．等式x在（0，a数a取值范围。

12

）内恒成立求参

222a222a2222222222a222a2222222解：xx<0可化为x<logxam1>x>0，）∴0<a<12而y=x在（0，a内单调上升

11）单调下降y=x在0）22∴xx在（0a

11）内恒成立==>()≤log22

12即a≥

111≥故m的取值范围是[21616

,1)四、简价化化归是一种要的思想方，含参数的等式恒成立问题也可用一与之等价的题来代替它从而实现化归例4．不等式（）log>0[33上恒成立，实数的取范围。解：令f(x)=aa+x+133即f(x)(a+1)+1-a33f(x)上成立<==>

f(0)>即f(1)>

a>3a>3解之得loga<3

11∴<a<333

3故a取值范围是

13

,33

2222五、分类讨法当不等式中、右两边的数具有某些确定因素时，应用分类讨的方法来处，分类讨论使原问题中的确定因素变成定因素，为题的解决提新的条件。例5．知时不等式logx|>，求a实数a的取值范围。解：当时|logx>a<==>当x∞]时logx>logx>aa若x∞]logx>a∵logx>1x∴a1从而y=logaa在[上单调增加x∞]logx>1<==>>aa1解得a<2∴1<a<2若x∞]logax恒立∵logxx∞]∴0a<而yxaa在[单调下降∴x∞]logaxloga

2<-1解得a

121∴<a<1

22222222222222222222222222222222综上所述a的值范围是）（

12

,六、利用判式可化为一元次不等式在数集上恒成的问题，可用判别式来求。例6．等式

2x+2mx+m4x+6x+3

<对一切均成立，求实数的取值范围解：∵4x+6x+3=(2x+

33)+24

>0R恒成立∴

2x+2mx+m4x+6x+3

<2x+2mx+m<4x+6x+3<==>2x>0x∈R∴–<0解之得<m<故实数的取值范围1,3)一般地f(x)=ax+bx+c恒<==>恒负<==>

a>0△<0a<0△<0七、利用基不等式基本不等式用来帮助我求解含参数不等式恒成立的问题。例7．设是然数对任的x,z恒（x+y+z

44442442444424422222222444224444224+y)，n的最小值。解：在三元值不等式

a+b+c2

≥

a+b+c

中33x+yx+y令xy=bz

则有

4

≥

233变形即得（+yx+y+z故当n=3时不式恒成立。在（x+y+z+y+z)令x