结构注册工程师微分学

一、函数、极限、连续三、多元函数微分学二、导数与微分微分学四、微分学应用一、函数、极限、连续1.函数定义:定义域值域设函数为特殊的映射:其中定义域：使表达式有意义的实数全体或由实际意义确定。函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性

复合函数(构造新函数的重要方法)初等函数由基本初等函数经有限次四则运算与有限次复合而成且能用一个式子表示的函数.例如.函数基本初等函数:常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数2极限

极限定义的等价形式

(以为例)极限存在准则及极限运算法则无穷小无穷小的性质;无穷小的比较;常用等价无穷小:

两个重要极限～～～～～～～～～等价无穷小代换存在(或为)定理(洛必达法则)说明:定理中换为之一,条件2)作相应的修改,定理仍然成立.洛必达法则3.连续与间断函数连续的定义函数间断点第一类（左右极限存在）第二类（左右极限至少有一个不存在）可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点重要结论：初等函数在定义区间内连续例3.

设函数在x=0连续,则a=

,b=

.提示:有无穷间断点及可去间断点解:为无穷间断点,所以为可去间断点,极限存在例4.设函数试确定常数a及b.二、导数和微分导数定义:当时,为右导数当时,为左导数

微分:

关系

:可导可微导数几何意义:切线斜率1.有关概念例5.设在处连续,且且求解:2.导数和和微分的求求法正确使用导导数及微分分公式和法法则（要求记住住！）隐函数求导导法参数方程求求导法高阶导数的的求法(逐逐次求一阶阶导数）例6.求由方程在x=0处的导数解:方程两边对对x求导得因x=0时时y=0,故确定的隐函函数例7.求解:关键:搞清复合函函数结构由外向内逐逐层求导三、多元函函数微分法法1.多元元显函数求求偏导和高高阶偏导2.复合合函数求偏偏导注意正确使使用求导符符号3.隐函函数求偏导导将其余变量量固定，对对该变量求求导。4.全微微分5.重要要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续例8.求解法1:解法2:在点(1,2)处的偏导数数.解：设则例9.设拉格朗日中值定理四、导数与微微分的应用1.微分中中值定理及其相相互关系罗尔定理柯西中值定理函数单调性的判判定及极值求法法若定理1.设函数则在I内单调递增(递减).在开区间I内可导,3.函数的性性态:2.导数的几几何意义极值第一判别法法且在空心邻域内有导数,(1)“左正右负”,(2)“左负右正”,极值第二判别法法二阶导数,且且则在点取极大值;则在点取极小值.例10.确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为例11.求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故为极小值;又故需用第一判别别法判别.定理2.(凹凸判定法)(1)在

I内则在I内图形是凹的;(2)在

I内则在

I内图形是凸的.设函数在区间I上有二阶导数凹弧凸弧的分界界点为拐点例12.求曲线的凹凸区间及拐拐点.解:1)求2)求拐点可可疑点坐标令得对应3)列表判别别故该曲线在及上向上凹,向上凸,点(0,1)及均为拐点.凹凹凸的连续性及导函函数例13.填空空题(1)设函数数其导数图形如图图所示,单调减区间为;极小值点为;极大值点为.提示:的正负作f(x)的示意图.单调增区间为;.在区间上是凸弧;拐点为提示:的正负作f(x)的示意图.形在区间上是凹弧;则函数f(x)的图(2)设函数的图形如图所示示,曲线方程为参数数方程切线方程切向量法平面方程4.多元函数微微分法的应用(1)在几何中中的应用求曲线的切线及及法平面曲面在点M的法向量法线方程切平面方程法线方程当光滑曲面的方程为显式切平面方程上求一点,使使该点处的法法线垂直于例14.在曲面并写出该法线方方程.提示:设所求点为则该点的法向量量为利用得平面法线垂直于平面面点在曲面上说明:使偏导数都为0的点称为为驻点.极值必要条件函数偏导数,但驻点不一定是是极值点.且在该点取得极极值,则有存在(2)极值与最最值问题极值的必要条件件与充分条件时,具有极值极值充分条件的某邻域内具有有一阶和二阶连连续偏导数,且且令则:1)当当A<0时取极大值值;A>0时取极小小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论论.若函数极值问题无条件极值:条件极值值:条件极值的求法法:方法1代代入法.求一元函数的无条件极值问问题对自变量只有定定义域限制对自变量除定义义域限制外,还有其它条件限限制例如,转化引入辅助函数则极值点满足:方法2拉拉格朗日乘数法法.解该方程组，得得极值点。例15.要设计一个容量量为则问题为求x,y,令解方程组解:设x,y,z分别表