内蒙古自治区通辽市白音昌中学2023-2024学年九年级下学期5月月考数学试题（解析版）

九年级第二学期第二次月考数学试题一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分)1.9的平方根是（）A.3 B.±3 C. D.－【答案】B【解析】【分析】根据平方根的定义解答即可．±±3．故选B．【点睛】本题考查了平方根，注意一个正数的平方根有两个．2.下列设计的图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可．解：A选项：既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故A选项错误；B选项：既是中心对称图形，又是轴对称图形，故B选项正确；C选项：不是中心对称图形，但是轴对称图形，故C选项错误；D选项，是中心对称图形，但不是轴对称图形，故D选项错误，故选：B．3.从教育部获悉，我国已基本建成世界第一大教育教数资源库．目前，国家中小学智慧教育平台现有资源超过条，其中用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种表示数的方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．解：，

故选：B．【点睛】本题考查了科学记数法，解题的关键是熟练掌握科学记数法的表示形式．4.如图：，平分，若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义．由角平分线定义得到，由平行线的性质得到，，即可求出的度数．解：平分，，∵，，，，．故选：C．5.在函数中，自变量x的取值范围是（）A. B. C. D.且【答案】A【解析】【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件列不等式组，然后求不等式组的解集即可．解：由题意知，，解得，故选：A．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组．解题的关键在于根据题意正确的列不等式组．6.某快餐店用米饭加不同炒菜配制了一批盒饭，配土豆丝炒肉的有25盒，配芹菜炒肉丝的有30盒，配辣椒炒鸡蛋的有10盒，配芸豆炒肉片的有15盒．每盒盒饭的大小、外形都相同，从中任选一盒，含肉的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查等可能条件下的概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．让含肉的盒饭数除以总盒饭数即为从中任选一盒含肉的概率．解：配土豆丝炒肉的有25盒，配芹菜炒肉丝的有30盒，配辣椒炒鸡蛋的有10盒，配芸豆炒肉片的有15盒，全部是80盒，含肉的有70盒，所以从中任选一盒，含肉的概率是：．故选：A．7.反比例函数与一次函数在同一坐标系中的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图像的性质，根据题意分以下两种情况讨论，①当时，②当时，利用一次函数与反比例函数图象的性质进行分析判断即可解题．解：当时，过一、三象限，且过一、三、四象限，故A图象正确，符合题意，C、D错误，不符合题意；当时，过二、四象限，且过一、二、四象限，故B错误，不符合题意．故选：A．8.如图，从一个边长是10的正五边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），将剪下来的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面半径为（）A.1 B.3 C. D.2【答案】B【解析】【分析】先求出正五边形的内角的度数，根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，可求出底面半径．解：五边形是正五边形，，则弧的长为，即圆锥底面周长为，设圆锥底面半径为r，则，∴，圆锥底面半径为，故选：B．【点睛】本题考查正多边形与圆，扇形弧长及圆锥底面半径，掌握扇形弧长、圆周长的计算方法是正确解决问题的关键．9.年月日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，三名航天员平安归来，神舟十三号任务取得圆满成功．某航模店购进了“神舟”和“天宫”两款航空模型．已知每个“神舟”模型比“天宫”模型的进价多元，且同样花费元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多个．设“天宫”模型进价为每个元，则下列方程正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】每个“神舟”模型比“天宫”模型的进价多元，同样花费元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多个．设“天宫”模型进价为每个元，根据数量关系列方程即可．解：根据题意，设“天宫”模型进价为每个元，则“神舟”模型的价格为元，∴花费元购进“天宫”模型的数量是，购进“神舟”模型的数量是，∵“天宫”模型的数量比“神舟”模型多个∴，故选：．【点睛】本题主要考查分式方程在实际问题中的运用，理解题目中的数量关系，正确列出方程是解题的关键．10.下列命题中真命题的个数是（）①数据5，6，7，7，8的中位数与众数均为7②顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是矩形；③平分弦的直径垂直于弦；④三角形内心到三角形三边的距离相等．A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】本题考查了中位数与众数的定义，菱形的性质与矩形的判定定理，垂径定理，三角形内心的定义，熟练掌握性质定理是解题的关键．①根据中位数与众数定义判读即可；②根据菱形的性质和矩形的判定判断即可；③可根据垂径定理判断；④根据三角形内心性质判断即可．解：①根据中位数和众数的定义，该数据中位数与众数均为7，故为真命题；②如图，四边形是菱形，、、、分别是菱形四边的中点，则，，，所以，同理，，，即四边形为矩形，故顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是矩形，为真命题；③若被平分的弦为直径，则有可能不垂直，故为假命题；④根据三角形内心的性质可知，三角形的内心到三角形各边的距离相等，故为真命题．故选：C．11.如图，在中，，．将绕点按顺时针方向旋转至的位置时，点恰好落在边的中点处，则的长为（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，判断出斜边的长度，根据勾股定理算出的长度，且，所以为等边三角形，可得旋转角为，同理，，故也是等边三角形，的长度即为的长度．解：∵在中，，，将其进行顺时针旋转，落在的中点处，∴是由旋转得到，∴，∵，点恰好落在边的中点处，∴，根据勾股定理：，又∵，且，∴为等边三角形，∴旋转角，∴，且，∴也是等边三角形，∴，故选：B．【点睛】本题主要考查了旋转性质的应用以及勾股定理的计算，解题的关键在于通过题中所给的条件，判断出图形旋转的度数，知道图形旋转的角度后，有关线段的长度也可求得．12.如图，正方形ABCD对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：①；②；③；④若，则；⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的．其中正确的结论是（）A.①②④⑤ B.①②③⑤ C.①②③④ D.①③④⑤【答案】B【解析】【分析】分别对每个选项进行证明后进行判断：①通过证明得到EC=FD，再证明得到∠EAC=∠FBD，从而证明∠BPQ=∠AOQ=90°，即；②通过等弦对等角可证明；③通过正切定义得，利用合比性质变形得到，再通过证明得到，代入前式得，最后根据三角形面积公式得到，整体代入即可证得结论正确；④作EG⊥AC于点G可得EGBO，根据，设正方形边长为5a，分别求出EG、AC、CG的长，可求出，结论错误；⑤将四边形OECF的面积分割成两个三角形面积，利用，可证明S四边形OECF=S△COE+S△COF=S△DOF+S△COF=S△COD即可证明结论正确．①∵四边形ABCD是正方形，O是对角线AC、BD的交点，∴OC=OD，OC⊥OD，∠ODF=∠OCE=45°∵∴∠DOF+∠FOC=∠FOC+∠EOC=90°∴∠DOF=∠EOC在△DOF与△COE中∴∴EC=FD∵在△EAC与△FBD中∴∴∠EAC=∠FBD又∵∠BQP=∠AQO∴∠BPQ=∠AOQ=90°∴AE⊥BF所以①正确；②∵∠AOB=∠APB=90°∴点P、O在以AB为直径的圆上∴AO是该圆的弦∴所以②正确；③∵∴∴∴∴∵∴∴∴∴∵∴∴所以③正确；④作EG⊥AC于点G，则EGBO，∴设正方形边长为5a，则BC=5a，OB=OC=，若，则，∴∴∴∵EG⊥AC，∠ACB=45°，∴∠GEC=45°∴CG=EG=∴所以④错误；⑤∵，S四边形OECF=S△COE+S△COF∴S四边形OECF=S△DOF+S△COF=S△COD∵S△COD=∴S四边形OECF=所以⑤正确；综上，①②③⑤正确，④错误，故选B【点睛】本题综合考查了三角形、正方形、圆和三角函数，熟练运用全等三角形、相似三角形、等弦对等角和三角函数的定义是解题的关键．二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)13.因式分解：__________．【答案】【解析】【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．提取，再利用平方差公式分解即可．解：原式，故答案为：．14.如图是某立体图形的三视图，若主视图和左视图均为边长为2的等边三角形，则该立体图形的表面积为_________．【答案】【解析】【分析】本题考查了三视图、圆锥，熟练掌握三视图是解题关键．根据三视图的特点可得立体图形是圆锥，再根据圆锥的表面积公式、扇形的面积公式即可求解．解：由三视图可知，这个立体图形是圆锥，∵主视图和左视图均为边长为2的等边三角形，∴这个圆锥的底面圆的直径是2，半径是1；侧面展开图的扇形的半径是2，∴底面圆的周长是，面积是，∴这个圆锥的侧面展开图的扇形的弧长为，∴侧面展开图的扇形的面积为，则该立体图形的表面积为，故答案为：．15.若关于的分式方程无解，则______．【答案】3或4【解析】【分析】先把分式方程化为整式方程，再根据方程无解分情况讨论即可求解．解当3-m=0时，即m=3时，原分式方程无解；当m≠3时，∵原分式方程无解∴=2∴解得m=4综上，m=3或m=4故答案为：3或4．【点睛】此题主要考查分式方程无解的情况求解，解题的关键是熟知解分式方程的方法．16.如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点C，则______．【答案】【解析】【分析】过点C作轴于点D，由题意易得，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解．解：过点C作轴于点D，如图所示：∵，，，∴，∵，∴，∵，∴，在中，，∴，，∵，，∴，∴，∴点，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键．17.如图，二次函数的函数图象经过点，且与x轴交点的横坐标分别为、，其中下列结论：①；②；③；④当时，；⑤，其中正确的有_________．(填写正确的序号)【答案】②④⑤【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象和系数的关系．熟练掌握二次函数的图象开口方向，对称轴，顶点，与x轴，y轴的交点坐标，自变量取特殊值时的函数植，是解决问题的关键．根据二次函数的开口方向，对称轴，与y轴的交点坐标，判断①；根据开口方向，对称轴，判断②；根据当时的函数值，判断③；根据当时的函数值，判断④；根据当与时的函数值，判断⑤．∵抛物线开口向下，∴，∵对称轴在y轴的右侧，∴，∴，∵抛物线与y轴的交点在正半轴，∴，∴，故①错误；∵对称轴在0～1之间，∴，又，∴，∴，故②正确；当时，，故③错误；当时，，∴，故④正确；当时，，当时，，∴，∴，故⑤正确；综上所述，正确的结论有：②④⑤，故答案：②④⑤．三、解答题：(本大题共9个小题，共69分．解答应写出文字说明、证明或演算步骤．)18.计算：．【答案】【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算绝对值、负整数指数幂、零指数幂和特殊角的三角函数值，在计算乘除法，最后计算加减即可．解：原式．19.先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，接着约分得到原式，然后把的值代入计算即可．解：原式，，当时，原式．20.学校玩转数学小组利用无人机测量大树BC的高，当无机在A处时，恰好测得大树顶端C的俯角为45°，大树底端B的俯角为60°，此时无人机距离地面的高度AD＝30米，求大树BC的高．（结果保留小数点后一位．，）【答案】大树BC的高约为米．【解析】【分析】如图，连接，过作于则四边形为矩形，证明再利用锐角三角函数求解则再证明，从而可得答案．解：如图，连接过作于，则四边形为矩形，，，由题意可得：则．答：大树BC的高约为米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，作出适当的辅助线，构建需要的直角三角形是解本题的关键．21.每年6月26日是“国际禁毒日”．某中学为了让学生掌握禁毒知识，提高防毒意识，组织全校学生参加了“禁毒知识网络答题”活动．该校德育处对八年级全体学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格；并绘制成如下不完整的统计图．请你根据图1、图2中所给的信息解答下列问题：（1）该校八年级共有_________名学生，“优秀”所占圆心角的度数为_________．（2）请将图1中的条形统计图补充完整．（3）已知该市共有15000名学生参加了这次“禁毒知识网络答题”活动，请以该校八年级学生答题成绩统计情况估计该市大约有多少名学生在这次答题中成绩不合格？（4）德育处从该校八年级答题成绩前四名甲、乙、丙、丁学生中随机抽取2名同学参加全市现场禁毒知识竞赛，请用树状图或列表法求出必有甲同学参加的概率．【答案】（1）500,108°；（2）见解析；（3）1500名；（4）．【解析】【分析】（1）由条形统计图和扇形统计图得到良好的人数及其所对应的百分比，即可得到该校八年级总人数；通过计算优秀人员所占比例，即可得到其所对的圆心角；（2）计算出等级“一般”的学生人数，补充图形即可；（3）用该校八年级成绩及格的比例乘以该市的学生人数即可；（4）画出树状图，根据概率公式求概率即可．（1）由条形统计图知：等级“良好”的人数为：200名由扇形统计图知：等级“良好”的所占的比例为：40%则该校八年级总人数为：（名）由条形统计图知：等级“优秀”的人数为：150名其站该校八年级总人数的比例为：所以其所对的圆心角为：故答案为：500，108°（2）等级“一般”的人数为：（名）补充图形如图所示：（3）该校八年级中不合格人数所占的比例为：故该市15000名学生中不合格的人数为：（名）（4）从甲，乙，丙，丁四名学生中任取选出两人，所得基本事件有：共计12种，其中必有甲同学参加的有6种，必有甲同学参加的概率为：．【点睛】本题考查了统计与概率的综合，熟知以上知识是解题的关键．22.如图，点，是反比例函数图像上的两点，过点，分别作轴于点，轴于点，连接，已知点，，，（1）求点坐标及反比例函数解析式；（2）若所在直线的解析式为，根据图像，请直接写出不等式的解集．【答案】（1）点的坐标为，反比例函数解析式为（2）当时或当时，【解析】【分析】（1）根据点，，可表示出点的坐标，根据可算出的长，由此即可求解；（2）根据（1）可求出点的坐标，根据图像即可求解．【小问1】解：点，是反比例函数图像上，轴于点，轴于点，点，∴点，∵，∴，即点，∵，∴，即，解得，，∴反比例函数解析式为，∴，，∴点的坐标为，反比例函数解析式为．【小问2】解：已知点，，∴由图像可知，当时，，即；当时，，即；综上所述，当时或当时，．【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，理解图示的意义，掌握待定系数法求解析式，一次函数以反比例函数交点的含义及计算是解题的关键．23.如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点D作，垂足为点E，交的延长线于点F．（1）求证：是的切线；（2）若的半径为5，，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，根据等腰三角形和三角形内角和的性质，推导得，结合平行线的性质，得，根据切线的性质分析，即可完成求解；（2）分别连接、，根据直径所对圆周角为直角和三角函数的性质，推导得；根据勾股定理的性质，得；再结合相似三角形的性质计算，即可得到答案．【小问1】连接，∵，∴，∴．∵，∴．∴．∴∴∵，∴∴是的切线；【小问2】分别连接、，∵是的直径，∴，即．在中，，设，∴∵，∴．∴或（舍去）∴∴．∵，∴．在中，，∴．∵，∴．∴，即．∴经检验，是原方程的解∴．【点睛】本题考查了三角函数、圆、相似三角形、勾股定理、分式方程的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数、圆周角、切线、相似三角形的性质，从而完成求解．24.“警惕疫情，戴好口罩，做好防护”已经成为人们的一种生活常态．某超市购进A、B两种型号的口罩进行销售，已知A型号口罩每盒的进价是B型号口罩每盒进价的1.5倍，某超市用3000元购进A型号口罩的数量比用4500元罩购进B型号口罩的数量少250盒，购进两种口罩以相同的售价销售，A型号口罩的销量y（盒）与售价x（元）之间的关系为；当售价为40元时，B型号口罩可销售100盒，售价每提高1元，少销售6盒．（1）求A型号、B型号两种口罩每盒的进价分别为多少元？（2）若A型号的销售量不低于B型号口罩的销售量的4倍，那么当售价为多少元时，销售两种口罩的总利润的和最大?【答案】（1）B型号口罩每盒的进价为元，则A型号口罩每盒的进价为元；（2）当售价为元时，销售两种口罩总利润的和最大．【解析】【分析】本题考查了分式方程的实际应用，不等式的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意，找出数量关系是解题关键．（1）设B型号口罩每盒的进价为元，则A型号口罩每盒的进价为元，根据“用3000元购进A型号口罩的数量比用4500元罩购进B型号口罩的数量少250盒”列分式方程，求解并检验即可；（2）设售价为元，分别表示出两种口罩的销售量，再根据“A型号的销售量不低于B型号口罩的销售量的4倍”列不等式，求出的取值范围，设销售两种口罩的总利润为元，列出关于的关系式，利用二次函数的性质即可求解．【小问1】解：设B型号口罩每盒的进价为元，则A型号口罩每盒的进价为元，由题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，，答：B型号口罩每盒的进价为元，则A型号口罩每盒的进价为元；【小问2】解：设售价为元，则A型号口罩的销量，B型号口罩的销量为件，由题意得：，解得：，设销售两种口罩的总利润为元，则，，在对称轴右侧，随的增大而减小，当时，有最大值，即当售价为元时，销售两种口罩的总利润的和最大．25.如图①，在四边形中，点P为上一点，当时，（1）求证：．（2）探究：如图②，在四边形中，点P为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由．（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图③，在中，，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边向点B运动，且满足，设点P的运动时间为t（秒），当时，求t的值．【答案】（1）证明见解析（2）成立，理由见解析（3）1或5【解析】【分析】（1）由，，可知，证明，则，进而结论得证；（2）方法同（1）；（3）由题意知，，，由，，可得，证明，则，即，计算求解满足要求的值即可．【小问1】证明：∵，∴，，∴，∴，∴，∴；【小问2】解：依然成立，理由如下：∵，∴，，∴，∴，∴，∴；【小问3】解：由题意知，，，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，解得或，经检验或均为原分式方程的解，∴当时，t的值为1或5．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边对等角．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．26.如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与一直线相交于A(－1，0)，C(2，3)两点，与y轴交于点N，其顶点为D.(1)求抛物线及直线AC的函数关系式；(2)设点M(3，m)，求使MN＋MD的值最小时m的值；(3)若抛物线