简单的弹塑性问题

第6章简单的弹塑性问题第六章简单的弹塑性问题§6.1弹塑性边值问题的提法§6.2薄壁筒的拉扭联合变形§6.5柱体的弹塑性自由扭转§6.6受内压的厚壁圆筒§6.7旋转圆盘塑性力学§6.1弹塑性边值问题的提法一、弹塑性全量理论边值问题i)在V内的平衡方程:ii)在V内几何关系（应变-位移关系）:iii)在V内全量本构关系:(6-3)边界Su上给定位移，要求应力，应变，位移，它们满足设在物体V内给定体力，在应力边界ST上给定面力Ti，在位移以下方程和边条件：v)在上位移边界条件：二、弹塑性增量理论的边值问题i)在V内的平衡方程其中是外法线的单位向量；由此可见，弹塑性边值问题的全量理论提法同弹性边值问题的提法基本相同，不同仅在于引入了非线性的应力-应变关系（6-3）式。iv)在上的应力边界条件:ii)在V内的几何关系（应变位移的增量关系）：iii)在V内的增量本构关系：弹性区：塑性区：（6-9）(a)对于理想塑性材料，屈服函数为，则弹性区：塑性区：（6-10）（b）对于等向强化材料，后继屈服函数为，则iv）在ST

上的应力边界条件：v）在Su上的位移边界条件：vi）弹塑性交界处的连接条件：如果交界面的法向为ni，则在上有：(a)法向位移连续条件(b)应力连续条件上标（E）和（P）分别表示弹性区和塑性区。§6.2薄壁筒的拉扭联合变形考察薄壁圆筒承受拉力P

和扭矩T

联合作用的弹塑性变形问题。采用圆柱坐标，取z

轴与筒轴重合。设壁厚为h

，筒的内外平均半径为R

，则筒内应力为：其余应力分量均为0。因此，不但应力状态是均匀的，而且每一种外载（拉、扭）只与一个应力分量有关，调整P

和T

之间的比值，即可得到应力分量间的不同比例。假设材料是不可压缩的（v=1/2）、理想塑性的Mises材料。采用以下无量纲量：在弹性阶段，无量纲化的Hooke定律给出(6-16)进入塑性以后，Mises屈服条件：可化为：下面按增量理论和全量理论求解这个问题，比较两种结果的异同。对理想弹塑性材料，增量本构方程是Prandtl-Reuses关系，于是：无量纲化后得到：消去得：一、按增量理论求解(6-19)(6-20)由（6-18）式知故从（6-21）式中消去和，就有：同样地，如果已知某时刻的初始状态（应力状态和应变状态）及从该时刻起的变形路径则积分（6-22）或（6-23）式就可得到关系或关系。保持常数的阶段ab

上，设在a点有由于在ab上例如对于实验中经常采用的阶梯变形路径（图6-1），考虑方程（6-22）变变为：图6-1积分并利用用a点的已已知条件，，得出：类似地，对对于阶段bc,二、按全量量理论求解解由于假设了了材料不可可压，由（5-63）式化后得应力力-应变关关系为将(6-26)式按(6-16)式无量纲在本问题中中用分量写写出来就是是：，故在图6-2中，有三条不同的加载路径从原点O到达点C在弹性范围围内，，屈服条件件（6-18）在应应变空间中中写出就是是。可见图中的阴影影区域是弹弹性范围。。路径①沿OBC。在B点有在BC段上有解出在C点类似地，对对路径②，，即阶梯变变形路径OAC可求得三、算例例和比较（1）用增增量理论求求解OCABD①②③刚到达屈服，同时满足由此得出在D点时的应力为：不难证明沿

DC

段皆有，即应力值不变，在C点也就仍为（2）用全全量理论求求解代入（6-27）式得出亦即C点的应变i）由于加加载路径不不同，虽然然最终变形形一样，但但最终应力力却不同；；ii）只有有在比例加加载的条件件下，增量量理论和全全量理论的的结果才一一致。由以上的结结果可知：：路径③是比比例加载路路径ODC，其上。在到达D点时，实验观察证证实，在塑塑性状态下下仍可采取取材料力学学和弹性力力学中关于于扭转的假假定，即柱柱体在弹塑塑性自由扭扭转状态下下，截面只只在自身平平面内转动动，但可以以发生轴向向自由翘曲曲。§6.5柱柱体体的弹塑性性自由扭转转考虑任意截截面形状的的长柱体，，在扭转力力矩T作用用下的自由由扭转问题题。以表示柱体单位长度的扭转角，则小变形时的位移分量为从小应变下下的Cauchy公式得出应应变为：一、研究范范围和基本本方程(6-84)其中是截面的翘曲函数假定截面是是单连通的的，取柱体体的轴线为为z轴。此式与材料料的本构关关系无关，，不论是弹弹性还是塑塑性时都成成立。在进入塑性性之后，恒恒有按照增量本本构关系，，从刚进入入塑性开始始，可以推知进而在变形形的一切阶阶段均有(6-85)(6-86)在弹性时按按Hooke定律求得：：即在塑性阶段不为零的应力分量仍只有其中为合剪应力。可见，在扭转时柱柱体各点的的应力状态态始终是纯剪切，这是一个个简单加载载过程。且主应力为为：二、弹性扭扭转和薄膜膜比拟或由（6-86）式式得到的应应力分量表表示的协调调方程同时，只有有一个平衡衡方程从（6-85）式中中消去翘曲曲函数，得得协调方程程因此，可以引进弹性应力函数，使有则平衡方程程自动满足足，而协调调方程（6-90））化为在弹性力学中，研究了和Poisson方程（6-93）并导致以下结论)合剪应力大大小：iii）柱体截面的周界也是

=const曲线族之一，对单连通截面可令周界上iv）扭矩T与的关系可按St.Venant条件求得：ii）合剪应力的方向沿=const曲线的切向，也就是与的梯度方向相垂直。其中A为柱体的一一个截面。。v）Prandtl薄膜比拟：：将薄膜张于于与柱体截截面边界形形状相同的的边框上，，加均均匀压力力，则与薄膜的高度成正比，的大小与薄膜的斜率成正比，扭矩T与薄膜曲面面下的体积积成正比。。达到，就算达到了弹性极限状态，相应的截面上有一点的扭矩为弹性极限扭扭矩。以半径为为a的圆柱体为为例，带入方程（（6-93）得于是在截面边缘上最大令处导出在塑性阶段，平衡方程（6-91）不变，并仍可由引入应力函数来满足，此时三、全塑性性扭转和沙沙堆比拟当材料进入入塑性时，，因此，按弹弹性考虑，，只要这样，只从平衡方方程、屈服服条件和应应力边条件件就能够求求出理想塑塑性体内的的应力分布布。这种情况况叫做塑性力学中中的静定问问题。则或即对于理想塑性材料，是常数，（6-99）式说明在截面上保持斜率不变。由此，Nadai提出下述沙堆比拟：将一个水平的底面做成截面的形状，在其上堆放干沙，由于沙堆的静止摩擦角为常数，则沙将形成一个斜率为常数的表面。因此，这表面可用来代表塑性应力函数，只相差一个可由屈服应力和沙堆摩擦角决定的比例因子。就是截面的的塑性极限扭扭矩。这时，我们们不用（也也不再有））应力协调方方程，而代之以以屈服条件仍以半径为为a的圆柱体为为例，它处处于全塑性性扭转状态态时，，按（6-100））式求出高度就应为表面必然是一个圆锥，既然斜率是与（6-96）式相相比可知对对圆柱体沙堆比拟的的思想，不不仅可直接接应用于实实验，也可可用来指导导计算三角角形、矩形形、任意正正多角形等等规则截面面的柱体的的塑性极限限扭矩，因因为这只需需计算某些些等斜“屋屋顶”下的的体积。剪应力方向平行于边界，大小为。同时我们也看到，一般来说，在截面内部，沙堆会出现尖顶和棱线，在这些点和线的两侧剪应力不连续。从沙堆比拟中看出，沙堆的梯度垂直于边界，等线平行于边界，每点的合它们是弹性区域收收缩时的极极限。当弹性区区域收缩时时，从不同同方向扩展展过来的两两个塑性区区域相遇，，因此会造造成剪应力力间断。如果截面边边界上有凸角（如三角形形截面和矩矩形截面的的顶点），，从弹性力力学知道，，在凸角处处剪应力等于于零，因而尽管管T增大，，这里始终处于弹弹性阶段。所以，作为弹性区区域收缩极极限的剪应应力间断线线必定通过过这样的凸凸角。反之，如如果截面边边界上有凹角，从弹性力力学知道，，这里剪应力无限限大，因而一开始就进进入塑性阶阶段，棱线线就一定不不经过这里里。四、弹塑性性扭转和薄薄膜-玻璃璃盖比拟当时，柱体的截面上会存在一部分弹性区、一部分塑性区，的模为常数数）。因此此，提出的的数学问题题如下：（这是由于应力分量在上应该连续）。的性质（满足Poisson方程）和的性质（梯度其上应力函数分别具有，在弹性区内满足方程（6-93），在塑性区内满足（6-99），寻求应力函数，在弹塑性区域交界线在截面边界上都要连续Nadai指出，弹塑塑性交界线线可以联合合应用薄膜膜比拟和沙沙堆比拟来来求解。在一块水平平平板上，，挖一个具具有截面形形状的孔，，复盖以薄薄膜。在薄薄膜的上面面，放上一一个按沙堆堆比拟形状状作成的等等倾玻璃盖盖。a)如若压压力较小时时，薄膜的的变形不受受“屋盖””的影响，，这是弹性扭转的情况。b)随着压压力的增加加，薄膜逐逐渐贴到屋屋盖上，贴贴附的区域域就是塑性区域。此时，在贴贴附区域以以外的自由由薄膜仍满满足Poisson方程，所以以仍是弹性性区。由此此可以确定定弹塑性交交界线的形形状。在圆截面情形，由于对称性，可设的一个圆。在弹性区：：有右图显示了了矩形截面面柱体在弹弹塑性扭转转是线线的的变化，其其中黄线以以外是塑性性区域。从从实验中可可以看出，，对一般截截面的柱体体，线线的变变化是非常常复杂的。。在分析计计算时通常常只能采用用数值计算算方法一步步一步地将将近近似求出出。c)最后薄薄膜将全部部贴附在玻玻璃盖上，，弹性区域退退化为棱线线。在塑性区：：由处的剪应力连续，要求由此定出弹塑性交界界线的半径径为则对有(6-106)(6-105)(6-108)(6-107)弹塑性边界界随扭矩变变化的规律律：或即弹塑性扭转后的卸载也相当于在反方向作用一个等值的弹性扭矩。仍以圆柱体扭转为例，加载时的扭转角可由（6-107）式求出为而卸载时的的回弹角是是因此，单位位长度的残残余扭转角角为也可写出回回弹比与所所加扭矩的的关系为五、卸载、回弹弹和残余应应力(6-109)(6-110)(6-111)(6-112)其中卸载后的残残余应力分分布可计算算出为:其分布下图图所示。(6-113)T加载卸载残余应力该问题可简简化为平面面应变问题题，采用柱坐标(r,θ,z),则：在轴对称条条件下：应力边界条件为:而筒两端的的端面条件件：§6.6受受内压压的厚壁圆圆筒这里P是端面的轴轴向拉力。。一、研究对对象和基本本方程考虑一个内内径为a，外径为b的长圆柱厚厚壁筒在均均匀内压p作用下的弹弹塑性变形形。上式中u为径向位移移。几何关系平衡方程在弹性范围围内，本构构关系上Hooke定律:二、弹性解解(6-123)（6-119）至（（6-123）式构构成厚壁筒筒的弹性问问题，其解解为：(6-124)其中现在讨论在什么条件下是中间主应力。由于可知若要是中间主应力，以下条件应成立：或即如果圆筒两端是自由的，则；如果圆筒两端是封闭的，则可见这两种情况都符合（6-126）条件，能保证是中间主应力。采用Tresca屈服条件。。当r=a时屈服：即屈服将首首先发生在在内壁，此此时(6-126)(6-125)相应的内压即为厚壁筒的弹性极限压力

b）当弹性性无限空间间内的圆柱柱形孔洞受受到内压作作用时（例例如对于有有压隧洞）），其内表表面开始屈屈服时的压压力值只与周围的的材料的性性质有关，而与孔洞洞的半径无无关。说明：a)若在弹性范围内设计,对给定的a值,要提高筒所能承受的内压,就必须增加壁厚,但pe的值不可能超过。在设计高压圆筒（如炮管）时应采取其他措施（如下面将要介绍的经过局部塑性变形使之产生有利的残余应力，以及装配有预应力的套筒等）来加以增强。(6-127)当时，筒的内壁首先屈服。当时，塑性区便由r=a逐渐向外扩张。设弹性区和和塑性区的的交界处r=c，下面分别对对弹性区和和塑性进行行计算。（1）弹性区三、弹塑性性解（理想想塑性材料料）得出应力分分布为(6-129)将内层塑性区对外层弹性区的压应力看作作用于内径为c外径为b的弹性圆筒上的内压力。利用弹性解解的结果：：在r=c处，材料刚达到屈服，对外层弹性筒来说，(6-127)中的应为。(6-124)中的应写成进而根据弹弹性区的本本构方程求求出（2）塑性区平衡方程为为同时，仍假定为中间主应力，采用Tresca屈服条件：将（6-132）代代入（6-131））式得积分一次，并利用边界条件定常数，则(6-130)(6-131)(6-132)可见塑性区内的应力只与厚壁筒内表面的边界条件有关，而与弹性区的应力场无关。从而确定c与p的关系:（3）弹塑性边界界的确定)应满足的连续条件，即根据弹塑性区交界处((6-133)(6-133)将（6-134）式式代回（6-133）式得出出当c=b时，塑性区区扩展到整整个圆筒，，对应的外外载p为厚壁筒的塑性极限压压力:塑性极限压力却是无限的，即时在塑性极限状态下，周向应力的最大值发生在筒外壁，它恰等于(6-135)可见，弹性极限压力是有限的，即时（4）塑性极限状状态(5)塑性区内的位移和应力厚壁筒塑性性区应力所所在的屈服服面是即这说明，在全部筒壁内即必是弹性的，且为常数。在塑性区内求和是静定问题，但是要求和，就必须用到本构关系。于是，相关关连的流动动法则给出出范围内于是在下面用与Tresca屈服条件相关连的流动法则来解和现在端面条条件（6-122））可以写成成将（6-130）和（6-137）给出的和代入得到开口圆筒ii.封封闭圆筒，，iii.无无穷长圆圆筒，即平平面应变情情形，此式与弹性性解完全相相同。这说明在完完全卸去外外载P和p时，轴向残余应应变必为零。于是于是于是之一。例如：，根据圆筒的端面条件，总可确定其中和（6-138）式中有三个参量：不难验证，当确是中间主应力。故有积分得出其中常数C1可由r=c处的位移连续条件定出为求位移时利用体体积变化的弹性性公式计算比较较方便，即可见刚达到PS时，筒的变形相相对筒本身的几几何尺寸还是小小的其中设厚壁筒内压力增加到后实行完全卸载，卸载应力可按弹性解计算，即四、卸载和残余余应力(6-141)例如，取则在筒内壁(6-142)残余应力分布在上式中p*与c间的关系由（6-134）式式确定，即上面计算残余应力的公式，只有在完全卸去载荷后，筒内处处都不在相反方向发生塑性变形时才有效。下面来计算保证完全卸载后不出现反号塑料性变形条件下的最大内压为了不发生反向屈服服，要求(6-144)其最大值在内壁处，等于于是，从（6-143）式得到(6-143)可见，对一个反复受内压作用的圆筒来说，当则完全卸载后不会在相反方向引起新的塑性变形。解出但卸载时会发生生反向屈服，在在反复加载（如如炮筒反复承受受发射炮弹时的的高压）的条件件下筒就会发生生塑性循环（低低周疲劳）破坏坏。因此，采用用大于2.22的b/a值实际意义不大大。这时可以把工作内压p提高到之上而筒仍处于约束塑性状态，另一方面，内压压值又不能大于塑料料性极限压力ps。令：——安定状态假设材料不可压，即变形前后体积不变的条件可写成从而得出这说明，当计及及几何尺寸改变变时，由理想塑塑性材料制成的的厚壁筒承受内内压的塑性极限限状态是不稳定定的。五、几何变形对对承载能力的影影响当筒壁很厚时，，径向位移可能能很大，以致不不能忽略几何尺尺寸的影响。设变形后的内、外半径分别为，相应的塑性极限压力为可见在内压作用下，单调增长时，是减小的。(6-146)§6.7旋旋转圆盘——等厚度的薄薄圆盘考虑转盘从弹性状态开始由于转速增加而开始屈服的过程。转盘的单位，其中为转盘材料的质量密度，为角速度，体积力（离心力）为r为微元的径向坐标；则平衡方程为我们在这里只讨讨论理想弹塑料料性材料的旋转转圆的解。一、研究对象二、弹性解由于圆盘很薄，在整个厚度上可取，因此可作为平面应力问题。或设其半径为b，厚度为h，并以均匀角速度绕中心轴旋转。引入应力函数则应力分量满足从柱坐标下的几何关系中消去得变形协调方程程在弹性范围内，，以Hooke定律和（6-160）式代入入（6-161）式得到其解为(6-160)(6-161)