有限元及其分析第1章绪论

有限元及其分析第1章绪论1.1有限元法国内外发展概况

1.2有限元法的基本理论1.3有限元法的特点1.4有限元法的应用1.1有限元法国内外发展概况有限元法的定义（FEM）有限元法是一种基于变分法（或变分里兹法）而发展起来的求解微分方程的数值计算方法，该方法以计算机为手段，采用分片近似，进而整体逼近的研究思想求解物理问题。有限元法的基本思想1）离散化——将物体或解域离散为有限个互不重叠仅通过节点相互连接的子域（即单元），原始边界条件也被转化为节点上的边界条件。2）分片近似——在单元内，选择简单近似函数来分片逼近未知的求解函数。3）求解方程。基于与原问题数学模型（基本方程和边界条件）等效的变分原理或加权残值法，建立有限元方程（即刚度方程），从而将微分方程转化为一组以变量或其导数的节点为未知量的代数方程组，进而借助矩阵和计算机求解代数方程组得到原问题的近似解。有限元法的历史20世纪40年代，1943年R.Courant求解扭转问题1956年波音公司的TurnerClough等人分析飞机结构1960年Clough题为“平面应力分析的有限元法”中使用有限元法（theFiniteElementMethod）1963年，，Melosh和Jones等人证明了有限元是基于变分原理的里兹法的另一种形式，它可以处理很复杂的连续介质问题，是一种普遍方法。60年代后期，等学者进一步研究了加权残值法与有限元法之间的关系，建立有限元法的计算格式，并指出有限元法所利用的主要是Galerkin加权残值法，它可以用于即使泛函无法构造或泛函根本不存在的问题，从而进一步扩大了有限元法的应用领域。1972年，出版了第一本处理非线性连续介质问题的专著《非线性连续体的有限元法》。在此期间，、卞学璜、董平等人进一步推动有限元的发展，分别提出了等参单元、杂交单元的概念。1967年，和Y.K.Cheung(张佑启)出版了第一本有关有限元分析的专著《连续体和结构的有限元法》，此书是有限元法的名著，后更名为《有限单元法》。近几十年来，有限元法得到了迅速发展，已出现多种新型单元（先后有等参元、高次元、不协调元、拟协调元、杂交元、样条元、边界元、罚单元，还有半解析的有限条等不同单元）和求解方法（如半带宽与变带宽消去法、超矩阵法、波前法、子结构法、子空间迭代法等）。自动网格划分和自适应分析技术的采用也大大加强了有限元法的解题能力。有限元法的通用性及其在科学研究和工程分析中的作用和重要地位，众多著名公司更是投入巨资有限元分析软件，推导了有限元分析软件的巨大发展。目前在市场上得到认可的国际知名的有限元分析通用软件有ANSYS、MSC/NATRAN、MSC/MARC、ADINA、ABAQUS、ALGOR、COSMOS等，还有一些适用特殊行业的专用软件，如DEFORM、AUTOFORM、LS-DYNA、VPG、ROMAX等。1.2有限元法的基本理论有限元法起源于弹性力学问题的求解，本节将通过弹性力学问题来介绍有限元法的基本理论。弹性力学是研究弹性体在约束和外载荷（或温度）作用下应力和变形分布规律的一门学科。其具体描述就是从静力学、几何学和物理学三方面进行分析，建立描述弹性体变形状态、应力状态的弹性力学的基本方程。基本方程主要由平衡微分方程、几何方程和物理方程。1.2.1变分法范函：函数的函数变分：函数的求导设其邻近的函数y(x)+δy(x)也满足端点条件,因此端点变分满足泛函的变分为引入简写符号可得根据微量计算规则泛函的变分为：导数的变分等于函数y(x)的变分的导数，亦即导数和变分两种运算可以互换运算顺序：对等式右边的第二部分进行分部积分有根据端点约束条件上式第二部分等于0，由此得进一步简化得展开得弹簧—质量系统对于一个弹簧振动系统，总能量（或称为拉格朗日算子）L为动能V和势能U之和，写成：将拉格朗日算子L代入可以看出，变分法可将能量的积分方程式转换成系统的控制方程式,以微分方程的形式表示。弹性梁在一个弹性梁静力分析的系统中，拉格朗日算子L的动能为零，而势能U为应变能S减去外力所做的功W，即：将势能U替代L得这是弹性梁的微分方程式1.2.2Rayleigh-Ritz方法在Rayleigh-Ritz方法中，首先假设一组符合于边界条件的试探函数（TrialSolutionFunction）,并将其函数代入能量方程式，再试将探函数的各系数作微分并令为零，找出能量方程式的最小值，最后解出试探函数的各系数。影响因素:1)边界条件2)参考坐标系的建立以三角函数为试探函数

将其代入弹性梁的能量方程，最后再对势能U取最小值，即可求得待定系数。

例.受均布外载荷简支梁的Rayleigh-Ritz法求解解：用瑞利—里茨法。位移试函数满足梁的位移边界条件在x=0，l处，w=0总势能根据则所以

故回代1、仅仅取1项试函数时，由此方法得到的结果与精确解的相对误差为0.3861%。2、仅仅取2项试函数时，由由此方法得到的结果与精确解得相对误差为-0.027%。以幂级数（PowerSeries）为试探函数

将其代入弹性梁的能量方程，最后再对势能U取最小值，即可求得待定系数。

例.受均布外载荷简支梁的Rayleigh-Ritz法求解解：用幂级数法求解,位移试函数满足梁的位移边界条件在x=0，l处，w=0总势能以形函数（ShapeFunction）为试探函数

形函数f1代表左侧节点的位移函数，f2代表右侧节点的位移函数，f3代表左侧节点的斜率函数，f4代表右侧节点的斜率函数。1.2.3加权余量法通常加权余量法是采用控制微分方程式L(x)=0在其解的附近，可假设L(x)=R(x),此余量函数R（x）是一个非零的函数，若将余量函数乘以一个符合边界条件的加权函数w(x),再对整个系统积分并令为零：Galerkin方法在Galerkin方法中，选择的加权函数wi为试函数（如取为形函数N，wi=Ni）以三角函数为试探函数求ci以幂级数为试探函数求ci以形函数为试探函数求ci例.受均布外载荷简支梁的Galerkin加权残值法求解代入控制方程得残差由Galerkin加权残值方程分析可得，求解上式可得例.受均布外载荷简支梁的Galerkin加权残值法求解解：用幂级数法求解,位移试函数代入控制方程得残差由Galerkin加权残值方程分析可得，最小二乘法

在最下二乘法中，选择的加权函数wi为余量函数R对试探函数的各项系数ci的偏微分，下式所示：因此也是对余量函数的平方取最小值。最小二乘法的名称由此得来。以三角函数为试探函数求ci以幂级数为试探函数求ci以形函数为试探函数求ci受均布外载荷简支梁的残值最小二乘法求解将其代入到控制方程，则一定存在残差，取权函数为1，则残差平方的积分为由最小二乘法有由上式可以解出与用伽辽金加权残值法相同的结果。配点法

在配点法（CollocationMethod）中，选择的加权函数wi为脉冲函数，其意义为当坐标x落在指定的位置上时，加权函数值为1，在其他位置加权函数值为0。1.2.4函数降阶与试探函数在Galerkin方法的应用在Galerkin方法应用时，若试探函数为形函数，虽然程序是正确的，却解不出答案。这是因为试探函数为三次方的函数，微分四次方之后当然无法解出答案。在本节中将介绍如何以变分法的方法将控制方程降阶，再结合形函数解出答案。从这个范例可以清楚知道，在使用Rayleigh-Ritz或Galerkin方法导证刚度矩阵时,尽量将方程降阶,以便使用简单的试探函数。与Rayleigh-Ritz方法的比较Rayleigh-Ritz方法中，使用能量方程式，而现在则使用降阶的Galerkin方法，从比较可知，Rayleigh-Ritz方法使用能量方程式，而Galerkin方法则使用控制微分方程式，降阶之后两者实际是相同的。1.3有限元的特点有限元法经过几十年的发展，已成为一种通用的数值计算方法。它具有鲜明的特点，具体表现在以下方面：基本思想简单朴素，概念清晰易理解有限元法的基本思想就是集合离散和分片插值，思想朴素简单，概念清晰容易理解。用离散单元的组合体来逼近原始结构，体现了几何上的近似；而用近似函数逼近未知变量在单元内的真实解，体现了数学上的近似；利用与原问题的等效的变分原理（如最小势能原理）建立有限元基本方程（刚度方程）又体现了其明确的物理背景。厚实的理论基础，数值计算稳定、高效有限元法计算格式的建立既可基于物理概念推得，如刚度法、虚功原理，也可基于纯数学原理推得，如泛函变分原理、加权残值法。通常直接刚度法、虚功原理用于杆系结构或结构问题的方程建立；而变分原理设计泛函极值，既适用于简单的结构问题，也适应于更复杂的工程问题（如温度场问题）。当给定的问题存在经典变分叙述时，则利用变分原理很容易建立这类问题的有限元方程，如加权残值法。加权残值法由问题的基本微分方程出发而不依赖于泛函，可用于处理一般问题的有限元方程建立，如流固耦合问题。所以，有限元法不仅具有明确的物理背景，更具有坚实的数学基础，且数值计算的收敛性、稳定性均可从理论上得到证明，有关这方面的内容可参考相关资料。边界适用性强，精度可控和早期的其他数值计算方法（如差分法）相比，有限元法具有更好的边界适用性。由于有限元法的单元不限于均匀规则单元，单元形状有一定的任意性，单元大小可以不同，且单元边界可以是曲线或曲面，不同形状单元可以进行组合，所以，有限元法可以处理任意复杂边界的结构。同时，由于有限元法的单元可以通过增加插值函数的阶次来提高有限元解得精度，避免了里兹法在整个计算区域构造逼近函数，难以满足局部区域的计算精度的问题。因此，理论上讲，有限元法可通过选择单元插值函数的阶次和单元数目来控制计算精度。计算格式规范，易于程序化有限元法计算格式规范，用矩阵表达，易于计算机程序化。计算方法通用，应用范围广有限元法是一种通用的数值计算方法，应用范围广，不仅能分析具有复杂边界条件、线性和非线性、非均质材料、动力学等结构问题，还可以推广到解答数学中的其他边值问题，如热传导、电磁场、流体力学等问题。理论上讲，只要是用微分方程表示的物理问题，都可用有限元法进行求解。1.4有限元法的应用1.4.1有限元法的应用范围桁架：鸟巢，长333米，宽298米，用掉约11万吨的钢材，能提供9.1万个座位，总投资约35亿元。鸟巢是一个大跨度的曲线结构，有大量的曲线箱形结构，内部结构相当复杂，其三维扭曲像麻花一样的加工，在建造后的沉降、变形、吊装等问题逐步解决，相关施工技术难题还被列为科技部重点攻关项目。

在桁架柱内柱受力最大的部位，为了有效控制构件的最大壁厚，减小焊接工作量，使连接构造比较合理，在设计中采用了高强度的Q460钢材。这是国内在建筑结构上首次使用Q460规格的钢材；而这次使用的钢板厚度达到110毫米，是以前绝无仅有的，在国家标准中，Q460的最大厚度也只是100毫米。国家大剧院，主体钢结构上部是空间网壳结构!世界最大穹顶。国家大剧院整个壳体钢结构重达6475吨，东西向长轴跨度212.2米，是目前世界上最大的穹顶。北京最深建筑国家大剧院地下最深处为-32.5米，相当于往地下挖了10层楼的深度，成为北京最深的建筑。每月电费就需要100万元人民币，可建16所希望小学。国家大剧院这一项建设投入比“希望工程”15年的募资还多。国家大剧院总投资3.24亿美元,可以建5473×2＝10496所希望小学。塔科马海峡桥(TheTacomaNarrowsBridge)1940年11月7日，美国华盛顿州；主跨853m，全长1524m，位居世界第三；刚建成四个月；在微风（风速19m/s，据说可抗60m/s）作用下；经过剧烈扭曲震荡后，吊索崩断，桥面结构解体损毁，半跨坠落水中······塔科马海峡桥在重力作用下的变形图（mm）塔科马海峡桥在重力作用下的应力（Mpa）板壳-手机有限元分析

板壳-手机有限元分析

板壳轻卡车架有限元分析正常扭转制动

正常工况下轻卡车架等效应力图（Mpa）正常工况下轻卡车架变形图（mm）车架前轮悬空的VonMises应力图（Mpa）车架后轮抬高时的Mises应力图（Mpa）车架制动时的Mises应力图（Mpa）自卸车有限元分析正常动载时钢板弹簧等效应力图正常动载时钢板弹簧变形图（mm）紧急制动时钢板弹簧等效应力图急转弯时钢板弹簧等效应力图组合工况时钢板弹簧等效应力图实体单元——轮毂疲劳寿命有限元分析实体单元——

世贸大楼分析实体单元——华晨金杯底盘强度分析实体单元——电饭煲的热分析实体单元——发动机内的热固耦合分析实体单元——轮间差速器有限元分析轮边减速器有限元分析单倍载荷下驱动桥的变形图（mm）单倍载荷下驱动桥的应力图（Mpa）装载机有限元分析铲斗的等效应力图（Mpa）前车架的等效应力图（Mpa）大摇臂的等效应力图（Mpa）连杆的等效应力图（Mpa）聚升臂的等效应力图（Mpa）后车架的等效应力图（Mpa）副车架的等效应力图（Mpa）装载机的第一阶振型装载机的第二阶振型装载机的第三阶振型驾驶室侧推侧撞撞假人飞机着陆火车碰撞两火车相撞两火车相撞轿车侧碰轿车撞人碰撞时安全气囊打开C-NCAP试验评分项目（满分48分，每项16分）

附加评分项目（满分3分）前排安全带提醒装置（1.5分）侧气囊和气帘（1分）ISOFIX装置（0.5分）总分星级≥50分5+（★★★★★☆）≥45且＜50分5（★★★★★）≥40且＜45分4（★★★★）≥30且＜40分3（★★★）≥15且＜30分2（★★）＜15分1（★）迈腾--正面100%重叠刚性壁障碰撞试验迈腾--正面40%重叠可变形壁障碰撞试验迈腾--可变形移动壁障侧面碰撞试验雅阁--正面100%重叠刚性壁障碰撞试验雅阁--正面40%重叠可变形壁障碰撞试验雅阁--可变形移动壁障侧面碰撞试验研究领域