二次根式导学案(人教版全章)

二次根式导学案(人教版全章)

二次根式导学案二次根式(1)

一、学习目标

1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。2、掌握二次根式有意义

的条件。

3、掌握二次根式的基木性质：a0(a0)和(a)2a(a0)二、学习重点、难点

重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质.难点：综合运用性质a0(a0)和

(a)2a(a0)„三、学习过程

(-)复习回顾：

(1)已知xa,那么a是x的__；x是a的，记为一，a一定是

—数。(2)4的算术平方根为2

Ja—3

J3—a

,4x+5

,用式子表示为；正数a的算术平方根为,0的算术4平方根为；式子

a0(a0)的意义是。(二)自主学习

(1)的平方根是；

(2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t(单位：秒)与开始下落时的高度

h(单位：米)满足关系式h5t。如果用含h的式子表示t,则t=；(3)圆的面积为S,

则圆的半径是；(4)正方形的面积为b3,则边长为。思考：，

22

4、由公式(a)2a(a0),我们可以得到公式a=(a)2,利用此公式可以把任意一个非负

数写成一个数的平方的形式。

如()=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=().练习：(1)把下列非负

数写成一个数的平方的形式：

60.35(2)在实数范围内因式分解

2

2

x274a2-ll

(三)合作探究

例：当x是怎样的实数时，

解：由x20,得

x2

当x2时，x2在实数范围内有意义。

练习：1、x取何值时，下列各二次根式有意义？

①3x4x2在实数范围内有意义？

1③2x

2、(1有意义，则a的值为.(2)若在实数范围内有意义，则x为

()O

A.正数B.负数C.非负数D.非正数

3、(1)在式子

⑵已知x4+

2

sh,,b3等式子的实际意义.说一说他们的共同特征.

5

定义：一般地我们把形如a(a0)叫做二次根式，a叫做1、试一试:

判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？

2x

1x

中，x的取值范围是.

2xy=0,贝ijxy.x32,贝ljyx=。

3,,4a(a0),x21

3

(3)已知y3x(四)达标测试(一)填空题：

2

2、当a为正数时a指a的，而0的算术平方根是，负数，只有非负数

a才有算术平方根。所以，在二次根式a中，字母a必须满足a才有意义。

3、根据算术平方根意义计算：

3

1、5

2、若2x1y0,那么x=,y=o

3、当x=。4、在实数范围内因式分解：

1

12

(1)(4)(2)((3)(0.5)(4)()3)

3

2

2

2

根据计算结果，你能得出结论：()2，其中a0,(l)x9x()=

(x+)(y-)(2)x3x()=(x+)(y-)22

2

22

2

3、计算：

02a0时,a2(二)选择题：

1、一个数的算术平方根是a,比这个数大3的数为()A、a3B、a3C、a3

D、a2

32、二次根式a1中，字母a的取值范围是()A、a<lB、aWlC、a>lD、

a>l2、已知x30则x的值为

A、x>-3B、x<-3C、x=-3D、x的值不能确定3、下列计算中，不正确的是()。

A、3=()2B、0.5=(.5)2C、0.62

0.6D、(57)235二次根式(2)一、学习目标

1、掌握二次根式的基本性质：a2

a2、能利用上述性质对二次根式进行化简.二、学习重点、难点

重点：二次根式的性质a2

a.

难点：综合运用性质a2

a进行化简和计算。三、学习过程

(-)复习引入:

(1)什么是二次根式，它有哪些性质？(2)二次根式

2

x5

有意义，则x。(3)在实数范围内因式分解：x2

6x2

()2

=(x+)(y-)(二)自主学习1、计算：

—VaF

42

202观察其结果与根号内幕底数的关系，归纳得到：当a0时,a22、计算:

，(-0.2-

(4)2

观察其结果与根号内累底数的关系，归纳得到：当a0时,a2

(三)合作交流1、归纳总结

将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又•条非常重要的性质:

aa2a

aO00

aa02、化简下列各式：

(1)0.322)(0.5)2(3)(6)2

(4)2a2

a0)3、请大家思考、讨论二次根式的性质(a)2a(a0)与a2

a有什么区别与联系。(四)巩固练习1、化简下列各式

(1)4x2(x0)(2)x4

2、化简下列各式(1)(a3)

2

(a3)(2)

2x32

(x<-2)

注：利用a2a可将二次根式被开方数中的完全平方式“开方”出来，达到化简的目

的，进行化简的关键是准确确定“a”的取值。(五)达标测试：

A组

1、填空：(1)、(2x1)2

-(2x3)2(x2)=.

⑵、(4)2

(3)a、b、c为三角形的三条边，则(abc)2

bac________.

2、已知2Vx<3,化简：(x2)2

x3

B组

3已知OVxVl,化简：(x1)2

4—(x

12

x)42

4边长为a的正方形桌面，正中间有一个边长为

a

的正方形方孔.若沿图中虚线锯开，可以拼成一个新3

1、学生交流活动总结规律.

2、一般地，对二次根式的乘法规定为

C・斑=.(a2O,b2o|

反过来:

Jab=y/a•\/b(a2O,bNO)

的正方形桌面.你会拼吗？试求出新的正方形边K.

x/6

M

\/5a

例1、计算

(1

(

V9xl6

2例2、化简

(1

(2

(3(4(5(3)

181x100

(4

M・丁

后

716x81

1

的根号外的2x适当变形后移入根号内，得（）x2

巩固练习

（1）计算：①

720

（2）化简：

A、2xB、

x2C>2xD、x2

②

>/24

5X2

x/54

③

x/12crb2

a3•

12ay3

7(-4)x(-9)

Q

6、

\/—2.v+6

x-4|-|7-x|o

二次根式的乘除法二次根式的乘法

•、学习目标

8

/

x[ab

a20,b20）

yjab

n

a'O,b20）,并利用它们进行计算和化简

二、学习重点、难点

重点：掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。

难点：正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。

三、学习过程

（一）复习引入1.填空：（1

74x9

二___».

(2

716

725

06x25

x/16

(3

VToo

底

JlOOx36

x/ioo

(二)、探索新知

3

在

（三）、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展

判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正:

725

（2（四）展示反馈

展示学习成果后，请大家讨论：对于9X27的运算中不必把它变成243后再进行计算,

你有什么好办法？

注：1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之

积作为积的系数，

被开方数之积为被开方数。2、化简二次根式达到的要求:

/,

/

/

/

/

/

/

/

/

1）被开方数进行因数或因式分解。(2)分解后把能开尽方的开出来。(五)达标测

试：

A组

1、选择题

（1）等式X1X1

百

x/479

V25

716x25

>/36

7100x36

x21成立的条件是（）

A.x21B.x》TC.TWxWlD.xel或xWT(2)下列各等式成立的是().

A.45X25=8B.5X42=205C.43X32=75D.53X42=206

(3)二次根式(2)2

6的计算结果是()

A.2B.-26C.6D.122、化简：

(1)；(2)32x4

>

3、计算：

(1)；(2)3275

B组

1、选择题

⑴若a2b2

4b4c2

c

1

4

0,贝ijb2a=()A.4B.2C.-2D.1

(2)下列各式的计算中，不正确的是()A.(4)(6)

46=(-2)X(-4)=8

B.4a4

4a422(a2)22a2

C.32

42

916

255

D.2122

(1312)(1312)1212251

2、计算：(1)6X(-26)；(2

J&ib

Q&ib'

3、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。(1)-3

23(2)2al2a

二次根式的除法

一、学习目标

1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。2、能熟练进行二次根式的除

法运算及化简。二、学习重点、难点

重点：掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。

难点：正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式的化简。

三、学习过程(一)复习回顾

1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质

2、计算：(1)3X(-46)(2)ab6ab3

3、填空：(1

V16

规律:

叵

而

(3

V16

4

V16

(4

一般地，对】次根式的除法规定:

F面我们利用这个规定来计算和化简一些题目.

（二）、巩固练习1、计算：（1

(2

(3

164b?

5

(4

I9.r

y64y2

2、化简:

（1（2（3（4

注：1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商

作为商的系数，4

被开方数之商为被开方数。2、化简二次根式达到的要求：（1）被开方数不含分母;

（2）分母中不含有二次根式。（三）拓展延伸阅读下列运算过程：

耳

昌6

忑

2百

召x6

2/

数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。

利用上述方法化简：（1）

京

372

3

二（（四）达标测试：A组

1、选择题

（1

)

.A.

2

小

7.27C

0

x/2

(2

的结果是（）A.

x/2

了

x/6

2、计算：(1)2x

3

48

(2)

2x

(3)

14

116

B组

用两种方法计算：（1

764

前

（2）6

4

Vio

2/

(4

叵

V64V2

最简二次根式

一、学习目标

1、理解最简二次根式的概念。2、把二次根式化成最简二次根式.3、熟练进行二次

根式的乘除混合运算。二、学习重点、难点

重点：最简二次根式的运用。

难点：会判断二次根式是否是最简二次根式和二次根式的乘除混合运算。三、学习过

程（一）复习回顾

1、化简（1）96x4=（2

V27

(3

=(4

V2

旧

=(5

2、结合上题的计算结果，回顾前两节中利用积、商的算术平方根的性质化简二次根式

达到的要求是什

么？

(―)自主学习

观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：

1.被开方数不含分母；

2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.2、化简：

如丁

20

(三)合作交流1、计算：23212

35

2、比较下列数的大小⑴2.8与2

3

4

(2)76与675

注：1、化简二次根式的方法有多种，比较常见的是运用积、商的算术平方根的性质和

分母有理化。

2、判断是否为最简二次根式的两条标准：(1)被开方数不含分母；

(2)被开方数中所有因数或因式的事的指数都小于2.(四)拓展延伸

观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：

11(21)

21(21)(21)21

2121,

1(2)2

1(32)(32)

2

32

32,

同理可得：

123

二23,9M9

从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算(

1121

12

,,,,十

20092008

)(20091)的值.

(五)达标测试：1、选择题

(1

(y>0)是二次根式，化为最简二次根式是().

A

齐

(y>0)B

y>0)C

y>0)D.以上都不对

(2)化简二次根式a

a2

a

2

的结果是A、a2B、-a2C、a2D、-a22、填空:

(1

yjx4+x2y2

.(x20)

(2)己知x152

,贝1

的值等于.3、计算：(1)371

42(2)3312(1844

7)14

5

1

2

1、计算：2bab5(32a3b)3

b

(a>0,b>0)

2、若x、y为实数，且

\jx~—4+,4-『+1

xyXy的值。

二次根式的加减学案(1)

学习内容：

同类二次根式二次根式的加减学习目标：

1、理解同类二次根式，并能判定哪些是同类二次根式2、理解和掌握二次根式加减的

方法.

3、先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理

解.再总结经验，

用它来指导根式的计算和化简.学习重点、难点

1、重点：二次根式化简为最简根式.2、难点：会判定是否是最简二次根式.学习过

程

一、自主学习(…)、复习引入计算.(1)2x3x；(2)2x2

3x2

5x2

；(3)x2x3y；(4)3a2

2a2

a

26

(二)、探索新知

学生活动：计算下列各式.

(1)

戊

石

(2)

(3

百

耳

7977

(4)

由此可见，二次根式的被开方数相同也是可以合并的，如

x/2

囱

但它们可以合并吗？也可以.（与整数中同类项的意义相类似我们把与23,3a、2a

与4a这四、课堂检测

（一）、选择题

1

后

A

).

V27

A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④

2.下列各式：①

1

不

7

72

x/6

>/24

样的几个二次根式，称为同类二次根式）

瓜

①

2y/2-

0

>/27

3>/3

/

所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将同类二次根式进

行合并.例1.计算（1

瓜

晒

(2

116x

J64x

例2.计算(1)

5/48

-9

V12

(2)

5/48

x/20

+

V12

亚

归纳：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式;

第二步，将相同的最简二次根式进行合并.

二、巩固练习

(1)(

131

27

)(2)(4820)(5)

⑶x

lx4yxl2y

y

(4)23xx(x2

lx6xx4)

三、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展例3.已知4x2+y2-4x-6y+10=0

，求(2

+y

3-(x

)的值.

的有().

A.3个B.2个C.1个D.0个3.在下列各组根式中，是同类二次根式的是()

(A)和

(B)和

13

(C)a2b和ab2(D)a1和a1

4.下列各式的计算中，成立的是()(A)225(B)4351(0x2y2

xy

(D)45205

5.若a

121

,b

121

则ab(

abba

)的值为()(A)2(B)-2

(02

(D)22

二、填空题1

VT25

Vo7

i

y/3a

有________.

2.计算二次根式

n

3.若最简二次根式32x1与3x1是同类二次根式，则x=__.4.若最简二次

根式ab与a2b是同类二次根式，则a=_,b=_

5.计算：(1)

127a33aall3a2a3a34a(2)32823

750.57

三、综合提高题先化简，再求值.(6xyx3yxy3)(4xx

y

xy),其中x=32,y=27.

二次根式的混合运算

一、学习目标

熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算。二、学习

重点、难点

重点：熟练进行二次根式的混合运算。

难点：混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。三、学习过程

(一)复习回顾：1、填空

(1)整式混合运算的顺序是：

。(2)二次根式的乘除法法则是：

o(3)二次根式的加减法法则是：

。(4)写出已经学过的乘法公式：

①②2、计算：⑴6•a•1

1113b(2)4

16

(3)2215

(二)合作交流1、探究计算：

(1)(3)X(2)(423)22

2、探究计算：

(1)(2325)(2)(232)2

(三)展示反馈计算：(1)(

13272432

3

)(2)(2323)

(3)(322)2(4)

而

(

VTo

耳

注：整式的运算法则和乘法公式中的字母意义非常广泛，可以是单项式、多项式，也可

以代表二次根式，

所以整式的运算法则和乘法公式适用于二次根式的运算。(四)拓展延伸

同学们，我们以前学过完全平方公式(ab)2a22abb2,你一定熟练掌握了吧!现

在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数(包括0)都可以看作是一个数的平方，如

3=(3)2

,5=

(5)2

,下面我们观察：

>/"2

72

点

V2

)\22223

/12

V2

虎

点

反之，3211)2

叵

31)2322=2-1仿上例，求：(1)；423

(2)你会算4吗？

8

(3)若a2bmn,则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由.

(六)达标测试：

A组

1、计算：

(1)(8090)5(2)243623

(3)(a3b3abab3)(ab)(a>0,b>0)(4

瓜

叵

76

)-

2、已知a

1221

1b

121

，求ab2

10的值。

B组

1、计算：（1）（2121）（2

M：

Vio：

）（32009（32009

《二次根式》复习

一、学习目标

1、了解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件和性质。2、熟练进行二次根式

的乘除法运算。

3、理解同类二次根式的定义，熟练进行二次根式的加减法运算。4、了解最简二次根

式的定义，能运用相关性质进行化简二次根式。二、学习重点、难点

重点：二次根式的计算和化简。

难点：二次根式的混合运算，正确依据相关性质化简二次根式。三、复习过程

（一）自主复习

1.若a>0,a的平方根可表示为一

a的算术平方根可表示2.当a

有意义，

当a

「3。+5

没有意义。

3

4.485.2720

（二）合作交流，展示反馈

1、式子x4

x4x5

x5

成立的条件是什么？

2、计算：（1）2

52

3.

V2

4

x/75

V2

(2

(三)精讲点拨

在二次根式的