《数学分析选讲》教学大纲（本科）

“数学分析选讲”课程教学大纲课程编号：08031110课程名称：数学分析选讲/SelectedTopicsOnMathematicalAnalysis学时：32学时学分：2学分适用专业：数学与应用数学,信息与计算科学开课学期：第6学期开课部门：数学与计算机科学学院先修课程：数学分析考核要求：考查使用教材及主要参考书：刘三阳、于力、李广民主编，《数学分析选讲》，科学出版社，2016年周家云、刘一鸣、解际太主编，《数学分析的方法》，山东教育出版社，1991年裴礼文主编，《数学分析中的典型问题与方法》，高等教育出版社，2006年宋国柱主编，《分析中的基本定理和典型方法》，科学出版社，2004年历年各高校考研试题一、课程的性质和任务《数学分析选讲》是数学与应用数学专业学生的一门专业选修课程，主要是为学生参加硕士研究生入学考试和作为科研工作基本功的训练而开设的。此课程着重于分析解题的思路与方法，培养学生的分析问题与独立解决问题的能力，进一步掌握《数学分析》的基本内容与方法并熟练地运用其基本技巧。二、教学目的与要求《数学分析方法》是《数学分析》课程中基本思路与方法的综合性概括与总结。通过本课程的学习，使学生对已学过的《数学分析》的知识进行巩固、加深、提高，并扩大所学的知识，更好地掌握分析的基本思想、基三、学时分配章节课程内容学时1实数系基本定理162闭区间上连续函数性质的证明83函数项级数的一致收敛性8四、教学中应注意的问题五、教学内容第1讲：实数系基本定理1．基本内容关于实数集完备性的基本定理及其证明与应用。2．教学基本要求进一步加深对实数集上、下确界、数列的子列以及函数在一区间上一致连续等重要概念的理解，为掌握本章有关内容做好准备；掌握区间套、聚点、开覆盖等重要概念；熟练掌握有关实数完备性的六个基本定理（确界原理、单调有界定理、区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理、Cauchy收敛准则）；明确定理的条件与结论，准确地加以表述，并深刻理解其实质意义；理解基本定理的相互等价性。3．教学重点难点实数系基本定理的证明。4．教学建议教会学生在什么样情况下应用区间套定理和致密性定理以及如何应用区间套定理和致密性定理，对较好学生可布置这方面的习题。第二讲：闭区间上连续函数性质的证明1．基本内容关于闭区间上连续函数性质的证明及其应用。2．教学基本要求掌握应用实数系基本定理证明闭区间上连续函数的最大、最小值性，介值性以及一致连续性三个定理的基本思路和方法，并在各种具体问题中正确地加以运用。3．教学重点难点应用实数系基本定理证明闭区间上连续函数的一致连续性。4．教学建议掌握用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数的一致连续性，对较好学生可布置这方面的习题。第3讲：函数项级数的一致收敛性1．基本内容函数项级数一致收敛性的定义、判别及其应用。2．教学基本要求理解并掌握函数列与函数项级数的概念及一致收敛的概念和性质；掌握函数项级数的几个重要判别法，并能利用它们去进行判别；掌握一致收敛函数列与函数项级数的极限与和函数的连续性，可积性，可微性，并能应用它们去解决问题。3．教学重点难点重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛性的概念、判别及应用。4.教学建议要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法，对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法