第7讲命题充分与必要条件

第一章常用逻辑用语知识点网络第1讲命题、充分条件与必需条件考点1：命题定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，能够判断真假的语句叫做命题.（1）命题由题设和结论两部分组成.命题往常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n等.2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题.数学中的定义、公义、定理等都是真命题3）命题“”的真假判断方式：①若要判断命题“”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“必定”能帮助判断。如：必定推出.②若要判断命题“”是一个假命题，只要要找到一个反例即可.注意：“不必定等于3”不可以判断真假，它不是命题.例1已知命题p:xR,2x3x;命题q:xR,x31x2,则以下命题中为真命题的是:（）A．pqB．pqC．pqD．pq例2.以下命题中的假命题是．．．A.xR,lgx0B.xR,tanx1C.xR,x30D.xR,2x0【分析】对于C选项x＝1时，x12=0，应选C变式1.以下命题是真命题的为A．若11xyB21,x1则则xy．若C．若xy,则xyD．若xy,则x2y2分析由11得xy,而由x21得x1,由xy,x,y不必定存心义,而xyxy得不到x2y2应选A.例3.以下4个命题p1:x(0,),(1)x(1)x23p2:x(0,1),㏒1/2x>㏒1/3xp3:x(0,),(1)x㏒1/2x2p4:x(0,1),(1)x㏒1/3x此中的真命题是（）32A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4分析取x＝1,则㏒1/2x＝1,㏒1/3x＝log32＜1,p2正确2当x∈(0,1)时,(1)x＜1,而㏒1/3x＞1.p4正确32答案D考点2：四种命题四种命题的形式：用

p和q分别表示原命题的条件和结论，用原命题：若p则q；抗命题：若q则否命题：若p则q；逆否命题：若

p；

p和q则

q分别表示p.

p和

q的否认，则四种命题的形式为：四种命题的关系①原命题逆否命题.它们拥有同样的真假性，是命题转变的依照和门路之一.②抗命题否命题，它们之间互为逆否关系，拥有同样的真假性，是命题转变的另一依照和门路除①、②以外，四种命题中其余两个命题的真伪无必定联系.例4.分别写出以下命题的抗命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假:

.若q<1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；若ab＝0，则a＝0或b＝0；若x2＋y2＝0，则x、y全为零.解：(1)抗命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q＜1，为假命题．否命题：若≥1，则方程x2＋2＋＝0无实根，为假命题．qxq逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，为真命题．抗命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，为真命题．否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，为真命题．逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，为真命题．抗命题：若x、y全为零，则x2＋y2＝0，为真命题．否命题：若x2＋y2≠0，则x、y不全为零，为真命题．逆否命题：若x、y不全为零，则x2＋y2≠0，为真命题．例5.“△ABC中,若∠C=90°,则∠A.∠B都是锐角”的否命题为:_______________，否认形式是_____________-解：否认形式：△ABC中,若∠C=90°,则∠A.∠B不都是锐角”否命题：△ABC中,若∠C90°,则∠A.∠B不都是锐角”例3.以下四个命题中属于真命题的是________，①“若x+y=0，则x、y互为相反数”的抗命题；②“两个全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2+x+q=0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题。解：①明显正确；②不正确；③不正确，因△=1-4q未必大于0；④不对。变式2.命题“垂直于同一条直线的两条直线相互平行”的抗命题是_________.解：假如两条直线平行，那么它们同时与另一条直线垂直。例6.已知p：x2mx10有两个不等的负根，q：4x24(m2)x10无实根．若p或q为真，p且q为假，求的取值范围．m剖析：由p或q为真，知p、q必有其一为真，由p且q为假，知p、q必有一个为假，所以，“p假且q真”或“p真且q假”.可先求出命题p及命题q为真的条件，再分类议论．解：p：x2mx10有两个不等的负根．1m240m2m0q：4x24(m2)x10无实根．216(m2)21601m3因为p或q为真，p且q为假，所以p与q的真值相反．(ⅰ)当p真且q假时，有m2m3；m或m31(ⅱ)当p假且q真时，有m21m2．1m3综合，得m的取值范围是{m1m2或m3}例7.命题“存在xR，使得x22x50”的否认是变式3命题“存在x0R，2x00”的否认是A.不存在x0R,2x0>0B.存在x0R,2x00C.对随意的xR,2x0D.对随意的xR,2x>0分析：由题否认即“不存在xR，使2x00”，应选择D。0变式4.命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的抗命题是（）A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案B分析因为一个命题的抗命题是将原命题的条件与结论进行互换，所以抗命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”。考点3：充分条件与必需条件1.

定义：对于“若①若p

p则q”形式的命题：q，则p是q的充分条件，

q是

p的必需条件；②若

p

q，但

q

p，则

p是

q的充分不用要条件，

q是

p的必需不充分条件；③若既有pq，又有qp，记作pq，则p是q的充分必需条件（充要条件）

.理解认知：1）在判断充分条件与必需条件时，第一要分清哪是条件，哪是结论；而后用条件推结论，再用结论推条件，最后进行判断.2）充要条件即等价条件，也是达成命题转变的理论依照.“当且仅当”.“有且仅有”.“一定且只须”.“等价于”“反过来也建立”等均为充要条件的同义词语.判断命题充要条件的三种方法（1）定义法：（2）等价法：因为原命题与它的逆否命题等价，否命题与抗命题等价，所以，假如原命题与抗命题真假不好判断时，还能够转变为逆否命题与否命题来判断．即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是不等关系（或否认式）的命题，一般运用等价法.(3)利用会合间的包括关系判断，比方

AB可判断为

A

B；A=B可判断为

A

B，且BA，即

A

B.如图：“

”

“

，且

”是

的充分不用要条件

.“

”

“

”

是的充分必需条件

.例8．在以下各题中，判断A是B的什么条件，并说明原因．(1)．A：p2,pR，B：方程x2pxp30有实根；(2)．A：2x31；B：10；2x6x解：(1)当p2，取p4，则方程x24x70无实根；若方程x2pxp30有实根，则由0推出p24(p3)0p2或p6，由此可推出p2．所以A是B的必需非充分条件．(2)由2x31x1或x2，由10解得x3或x2，所以A推不出B，但B能够推出A，故A是2xx6的必需非充分条件．变式5：指出以下命题中，p是q的什么条件（在“充分不用要条件”、“必需不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不用要条件”中选出一种作答）.1）对于实数x、y，p：x+y≠8,q:x≠2或y≠6;2）非空会合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B解：(1)易知:p:x+y=8,q:x=2且y=6,明显qp.但pq,即q是p的充分不用要条件,依据原命题和逆否命题的等价性知,p是q的充分不用要条件.明显x∈A∪B不必定有x∈B,但x∈B必定有x∈A∪B,所以p是q的必需不充分条件.例9.已知p：－2＜m＜0，0＜n＜1；q：对于x的方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1的正根，试剖析p是q的什么条件.2解：若方程x＋mx＋n＝0有两个小于1的正根，设为x1、x2．则0＜x1＜1、0＜x2＜1，∵x1＋x2＝－m，x1x2＝n∴0＜－m＜2，0＜n＜1∴－2＜m＜0，0＜n＜1∴p是q的必需条件．又若－2＜m＜0，0＜n＜1，不如设m＝－1，n＝1．2则方程为x2－x＋1＝0，∵△＝(－1)2－4×1＝－1＜0．∴方程无实根∴p是q的非充分条件．22综上所述，p是q的必需非充分条件．例10.“x2kkZ”是“tanx1”建立的（）4（A）充分不用要条件.（B）必需不充分条件.（C）充分条件.（D）既不充分也不用要条件.分析：tan(2k)tan1，所以充分；但反之不建立，如tan51444例11.“a＞0”是“a＞0”的[A](A)充分不用要条件（B）必需不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不用要条件分析：此题观察充要条件的判断a0a0,a0a0，a＞0”是“a＞0”的充分不用要条件变式6.已知a>0，则x0知足对于x的方程ax=6的充要条件是(A)xR,1ax2bx1ax02bx0(B)xR,1ax2bx1ax02bx02222(C)xR,1ax2bx1ax02bx0(D)xR,1ax2bx1ax02bx02222【分析】因为a>0,令函数y1ax2bx1a(xb)2b2，此时函数对应的张口向上，当x=b时，获得最22a2aa小值b2，而x0知足对于x的方程ax=b,那么2ab,y12bx0b2，那么对于随意的x∈R,都有y12bxb212bx0min022a22a2a变式7设0＜x＜π，则“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的2（A）充分而不用要条件（B）必需而不充分条件（C）充分必需条件（D）既不充分也不用要条件分析：因为0＜x＜π，所以sinx＜1，故xsin2x＜xsinx，联合xsin2x与xsinx的取值范围同样，可知答案选2B，此题主要观察了必需条件、充分条件与充要条件的意义，以及转变思想和办理不等关系的能力，属中档题例11.“m1”是“一元二次方程x2xm0”有实数解的4A．充分非必需条件B.充分必需条件C．必需非充分条件D.非充分必需条件【分析】由x2xm0知，(x1)214m0m1．244例12.已知a,b是实数，则“a0且b0”是“ab0且ab0”的()A．充分而不用要条件B．必需而不充分条件C．充分必需条件D．既不充分也不用要条件分析对于“a0且b0”能够推出“ab0且ab0”，反之也是建立的变式8.“”是“且”的A.必需不充分条件B.充分不用要条件C.充分必需条件D.既不充分也不用要条件分析易得ab且cd时必有acbd.若acbd时，则可能有ad且cb，选A。变式9.设xR则“x”是“x3x”的,1A充分不用要条件B必需不充分条件C充要条件D既不充分也不用要条件分析因为x3x,解得x0,1,1，明显条件的会合小，结论表示的会合大，由会合的包括关系，我们不难获得结论。例13.已知a，b，c，d为实数，且c＞d.则“a＞b”是“a－c＞b－d”的A.充分而不用要条件B.必需而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不用要条件分析明显，充分性不建立.又，若a－c＞b－d和c＞d都建立，则同向不等式相加得a＞b,即由“a－c＞b－d”“a＞b”1x12m2)0．例14.已知p：3，q：x22x(1若“p”是“q”的必需而不充分条件，务实数m的取值范围．1x1p：2【解法一】由3，解得2x10，∴“p”：A(,2)(10,)．3分由q：x22x1m20解得：1mx1m∴“q”：B(,1m)(1m,)6分由“p”是“q”的必需而不充分条件可知：BA．8分1m21m10解得m9．∴知足条件的m的取值范围为,99,．12分1x12Px2x10【解法二】由p：3，解得由q：x22x1m20,解得：Qx1mx1m由“p”是“q”的必需而不充分条件可知：qppq，即：PQ1m2101m（等号不一样时建立），解得：m9∴知足条件的m的取值范围为,99,．讲堂过关检测一、选择题1．对命题p：A∩＝，命题q：A∪＝A，以下说法正确的选项是（）A．p且q为假B．p或q为假C．非p为真D．非p为假2．已知以下三个命题①方程x2-x+2=0的鉴别式小于或等于零；②矩形的对角线相互垂直且均分；③2是质数，此中真命题是（）（A）①和②（B）①和③（C）②和③（D）只有①3．以下结论中正确的选项是（）（A）命题p是真命题时，命题“P且q”必定是真命题。（B）命题“P且q”是真命题时，命题P必定是真命题（C）命题“P且q”是假命题时，命题P必定是假命题（D）命题P是假命题时，命题“P且q”不必定是假命题4．使四边形为菱形的充分条件是（）（A）对角线相等（B）对角线相互垂直（C）对角线相互均分（D）对角线垂直均分5．假如命题“非P为真”，命题“P且q”为假，那么则有（）（A）q为真（B）q为假（C）p或q为真（D）p或q不必定为真6．假如命题“p或q”和命题“p且q”都为真，那么则有（）（A）p真q假（B）p假q真（C）p真q真（D）p假q假7．给出4个命题：①若x23x20，则x=1或x=2；②若2x3，则(x2)(x3)0；③若x=y=0，则x2y20；④若x,yN，x＋y是奇数，则x，y中一个是奇数，一个是偶数．那么：（）A．①的抗命题为真B．②的否命题为真C．③的逆否命题为假D．④的抗命题为假8．一个整数的末位数字是2，是这个数能被2整除的（）（A）充分不用要条件（B）必需不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不用要条件9．“△ABC中，若∠C=90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为（）．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不是锐角．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不必定是锐角．以上都不对10．“a2b20”的含义是（）A．a,b不全为0B．a,b全不为0C．a,b起码有一个为0D．a不为0且b为0，或b不为0且a为011．以下说法正确的选项是（）（A）x≥3是x>5的充分不用要条件（B）x≠±1是x≠1的充要条件C）若﹁p﹁q，则p是q的充分条件D）一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形12．假如命题“P或Q”是真命题，命题“P且Q”是假命题，那么（）(A)命题P和命题Q都是假命题(B)命题P和命题Q都是真命题（C）命题P和命题“非Q”真值不一样(D)命题Q和命题“非P”真值同样13.以下相关命题的说法正确的选项是()A．命题“若x21，则x1”的否命题为：“若x21，则x1”．B．“x1”是“x25x60”的必需不充分条件．C．命题“xR，使得x2x10”的否认是：“xR，均有x2x10”．D．命题“若xy，则sinxsiny”的逆否命题为真命题．14若p,q是两个简单命题，且“p或q”的否认是真命题，则必有（）A．p真q真B．p假q假C．p真q假D．p假q真15已知A与B是两个命题，假如A是B的充分不用要条件，那么A是B的（）A．充分不用要条件B．必需不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件16已知全集U0,1,2且CUA2，则会合A的真子集共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个17二次函数yax2bxc中，若ac0，则其图象与x轴交点个数是（）A．1个B．2个C．没有交点D．没法确立18设会合Axx13，a23，那么以下关系正确的选项是（）A．aAB．aAC．aAD．aA假如命题“p或q”与命题“非A）命题p不必定是假命题C）命题q必定是真命题

p”都是真命题，那么（）B）不必定是真命题D）命题p与命题q真值同样20.x2+2x-8=0”是“x-2=2x”的（）(A)充分不用要条件(B)必需不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不用要条件21.命题“P或Q”是真命题，命题“P且Q”是假命题，那么（）(A)命题P和命题Q都是假命题(B)命题P和命题Q都是真命题（C）命题P和命题“非Q”真值不一样(D)命题Q和命题“非P”真值同样22设an是首项大于零的等比数列，则“a1a2”是“数列an是递加数列”的（A）充分而不用要条件(B)必需而不充分条件(C)充分必需条件(D)既不充分也不用要条件在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根不存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根对随意的实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根至多有一个实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根24.若函数f(x)logax(a0,a1)在其定义域内是减函数，则loga20”的逆否命题是A.若loga20，则函数f(x)logax(a0,a1)在其定义域内不是减函数B.若loga20，则函数f(x)logax(a0,a1)在其定义域内不是减函数C.若loga20，则函数f(x)logax(a0,a1)在其定义域内是减函数D.若loga20，则函数f(x)logax(a0,a1)在其定义域内是减函数假如命题“(p或q)”为假命题，则A.p，q均为真命题B.p，q均为假命题C.p，q中起码有一个为真命题D.p，q中至多有一个为真命题已知命题p:全部有理数都是实数，命题q:正数的对数都是负数，则以下命题中为真命题的是A.(p)qB.pqC.(p)(q)D.(p)(q)27.“x0”是“x0”的（）A．充分而不用要条件B．必需而不充分条件C．充分必需条件D．既不充分也不用要条件28.“x12建立”是“x(x3)0建立”的()A．充分不用要条件B.必需不充分条件C．充分必需条件D.既不充分也不用要条件29．“x>1”是“x2x”建立的（）A．充要条件B．必需不充分条件C．充分不用要条件D．既不充分又不用要条件30.命题：“若x21，则1x1”的逆否命题是（）A.若x21，则x1，或x1B.若1x1，则x21C.若x1，或x1，则x21D.若x1，或x1，则x2131.若会合A1,m2，B2,4，则“m2”是“AB4”的（）A充分不用要条件B必需不充分条件C.充要条件D既不充分也不用要条件32.会合M{x|x12}，N{x|x(x3)0}，那么“aM”是“aN”的()A．必需而不充分条件B．充分而不用