2022年高考数学尖子生强基校考讲义专题8：数列的通项与递推【原卷版】

2022年高考数学尖子生强基计划专题8数列的通项与递推真题特点分析：1.【2021年北大18】已知数列满足，．数列满足，．若正整数满足，则的最小值为________．2.【2020中科大4】若，，，则_______________．二、知识要点拓展等差数列：1.通项公式：；2.前项和公式：.等比数列：1.通项公式：；2.前项和公式：或.数列的通项公式与前项的和的关系：(为数列的前项的和为).常见数列的前项和公式：【知识拓展】一．对于数列，若存在正整数及一个将与前面项联系起来的方程，则称数列是阶递推数列，此方程为递推方程。由（*）得出，称为数列的递推关系。一般说来，确定一个阶递推数列需要知道阶初始值：。求通项问题的主要类型：1．转化法：某些数列虽然不是等差等比数列，但可以通过对递推公式变形，重新构造新的数列，而这些数列为等差数列或等比数列，进一步通过对新数列的通项公式求出原数列的通项。2.累加法：►方法：利用叠加法，。3.累积法：►方法：利用迭代法，。4.待定系数法：（为常数且，）►方法：用待定系数法，构造一个公比为的等比数列，令，，从而是一个公比为的等比数列。5.（为非零常数且）方法：上式两边同时除以，，令，有，转化为第一种类型，用叠加法解决。6.特征根法：（）（为常数）►方法：可用下面的定理求解。令为相应的二次方程的两根（此方程又称为特征方程）；当时，其通项公式为：；时，其通项公式为：，其中分别由初始条件所得的方程组和唯一确定。更一般地，对于常系数线性递推数列，其特征方程的根（互不相同）有个，分别为，且是重根，，则，其中是关于的次多项式，其系数由初始值决定。不动点法：形如（，且），的递推数列的通项问题常用不动点法解决.类型I：（，且），令.若有两个不相等的实数根，则（其中），即数列成等比数列，公比为，则可求.若有两个相等的实数根，则（其中），即数列成等差数列，公差为，则可求.（拓展）类型II：，令.若有两个不相等的实数根，即、，从而有、，所以.同理可得.所以，两式相除，得，令，则，两边取对数，不难得到的通项公式，从而可得.若有两个相等的实数根，则可得，.由，令，化简可得，因此是等比数列.三．周期数列：对于数列，如果存在一个常数（），使得对任意的正整数，恒有成立，则称数列是从第项起的周期为的周期数列。若，则称数列为纯周期数列，若，则称数列为混周期数列，的最小值称为最小正周期，简称周期。周期数列主要有以下性质：①周期数列是无穷数列，其值域是有限集；②周期数列必有最小正周期（这一点与周期函数不同）；③如果是数列的周期，则对于任意的，也是数列的周期；④如果是数列的最小正周期，是数列的任一周期，则必有，即，；⑤已知数列满足（，为常数），分别为的前项的和与积，若，，，则，；⑥设数列是整数数列，是某个取定大于1的自然数，若是除以后的余数，即，且，则称数列是关于的模数列，记作。若模数列是周期的，则称是关于模的周期数列。⑦任意阶齐次线性递归数列都是模的周期数列。四．阶差数列：对于一个给定的数列，把它的连续两项与的差记为，得到一个新数列，把数列称为原数列的一阶差数列；如果，则称数列是数列的一阶差数列，是的二阶差数列；依此类推，可以得到数列的阶差数列，其中。如果某一数列的阶差数列是一非零常数列，则称该数列为阶等差数列。其实一阶等差数列就是我们通常说的等差数列；高阶等差数列是二阶或二阶以上等差数列的统称。高阶等差数列具有以下性质：①如果数列是阶等差数列，则它的一阶差数列是阶等差数列；②数列是阶等差数列的充要条件是：数列的通项是关于的次多项式；③如果数列是阶等差数列，则其前项之和是关于的次多项式。三、典例精讲例1．（复旦）设，，，那么（）数列是单调增的（B）数列是单调减的（C）数列或是单调增的，或是单调减的（D）数列既非单调增的，也非单调减的。例2．（复旦）设，，则数列的极限为（）（B）（C）（D）例3．（武大）在数列中，。求证：数列是等比数列；求数列的前项和。例4．已知数列满足，求数列的通项公式。例5．（上海交大）数列满足：，求和。►分析与解答：例6．已知数列满足性质：对于且求的通项公式.练习1：已知数列满足：对于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？且≥2}上取值时，无穷数列都不存在.例7．（复旦）设数列满足。设，证明：若，则是等比数列；若，求的值。例8．（联考）设函数，且存在函数（），满足。证明：存在函数，满足；设证明：。四、真题训练1．（复旦）是正数列，其前项和为，满足：对一切，和2的等差中项等于和2的等比中项，则（）。（A）0（B）4（C）12（D）1002．（复旦）设是正数数列，其前项和为，满足：对所有正整数，与2的等差中项等于与2的等比中项，则（）（A）0（B）1（C）（D）3．（复旦）设数列、满足，如果，，且是公比为2的等比数列，又设，则（）（A）0（B）（C）1（D）24．（复旦）已知数列满足（），且，其前项之和为，则满足不等式的最小整数是（）。（A）6（B）7（C）8（D）9（上海交大）数列中，，则。（上海交大）已知数列满足且，则。7．（上海交大）已知为公差为6的等差数列，。用表示数列的通项公式；若，求的最小值及取最小值时的值。8．（上海交大）在中，。求证：；求。9．（浙大）如图，下有一系列正三角形，求第个正三角形的边长。OyxOyx10.（复旦）已知数列满足，且，又。求：；（2）。五、重点总结熟练运用各种方法求数列的通项公式六、强化训练A组1.(武大)在数列中，（1）求证：数列是等比数列（2）求数列的前n项和2.(交大)数列满足：，求和3.(复旦)是正数列，其前项和为，满足：对所有的正整数，和2的等差中项等于和2的等比中项，则（）A.0B.1C.D.4.(复旦)设数列，满足，如果，且是公比为2的等比数列，又设，则（）A.0B.C.1D.25.(交大)数列1,3,2,…中，，则_____________6.(交大)已知数列满足，则___________7.(模拟题)已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，求的通项公式8.(交大)已知月利率为r，采用等额