三次周期B样条曲线的算法

三次周期B样条曲线的算法另一种方法:0u<1和四个控制点p0,p1,p2和p3.

设P(u)是一个三次周期B样条,满足条件: P(0)=(p0+4p1+p2)/6, P(1)=(p1+4p2+p3)/6, P(0)=(p2–p0)/2,

P(1)=(p3–p1)/2.14100141-30300-303p0p1p2p3P(0)P(1)P(0)P(1)=1/6p0p1p4p3p2(p0+p2)/22/3p1+1/3(p0+p2)/2=(p0+4p1+p2)/6=P(0)上述假设条件的意义是：是P(0),是P(1)，p2p0平行于P(0)，p3p1平行于P(1)。假设P(u)=(u3u2u1)MB(p0p1p2p3)T，MB是变换矩阵。那么，P(u)=(3u22u10)MB(p0p1p2p3)T把u=0，1分别代入上式，并利用前面的条件，得到p0p1p2p314100141-30300-303=0001111100103210MBp0p1p2p3MB=1/614100141-30300-3030001111100103210-1-13-313-630-30301410=1/61/6-13-313-630-30301410p0p1p2p3P(u)=1/6(u3u2u1)P(u)=p0(1-u)3/6+p1(3u3-6u2+4)/6+p2(-3u3+3u2+3u+1)/6+p3u3/6 =p0B0,3(u)+p1B1,3(u)+p2B2,3(u)+p3B3,3(u)P(u)=1/6(3u22u1)-13-313-630-3030p0p1p2p3=½(u2u1)-13-312-420-1010p0p1p2p3P(u)=(u1)-13-311-210p0p1p2p3三次B样条的性质C2连续性记Pk(u)为对应于控制点pk,pk+1,pk+2

和pk+3.Pk(1)=(pk+4pk+1+pk+2)/6=Pk+1(0) ，这是连续性Pk(1)=½(pk+3–pk+1)=Pk+1(0)，这是C1连续性Pk(1)=pk+1-2pk+2+pk+3=Pk+1(0)，这是C2连续性局部性：改变一个控制点最多改变四个曲线段.扩展性：增加一个控制点,只增加一个曲线段.当B样条的节点是p0,p1,…,pn时，增加节点p-1和pn+1,使得

p-1p0=p0p1和pn-1pn=pnpn+1

即p-1+p1=2p0

和pn-1+pn+1=2pn。那么B样条以p0

为起点且切于p0p1，以pn

为终点且切于pn-1pn

事实上，增加了P-1(u)和Pn-2(u). P0(0)=P-1(1)=(p-1+4p0+p1)/6=p0, P0(0)=P-1(1)=½(p1–p-1)//(p1–p0)从B样条的插值点反求控制点 以三次周期B样条P(u)为例，每段三次B样条需要四个控制点，该样条的首尾两点均不是控制点。设有N个插值点{Qj:j=1,2,…,N}和N+2个控制点{pj:j=0,1,…,N+1}。三次B样条一般不经过控制点。第j段的三次周期B样条Pj(u)满足：

Pj(0)=(pj-1+4pj+pj+1)/6=Qj, j=1,2,…,N.

对于点的每个坐标来说，共有N个方程，但是有N+2个未知数。需要补充两个边界条件。 （1）末两点经过Q1和QN的非周期三次B样条曲线。

p0=Q1,pN+1=QN.

（2）封闭的周期三次B样条曲线。P0=PN，P1=PN+1。 （3）端点有二重控制点P0=P1和PN+1=PN的三次B样条曲线=（1）的矩阵的形式：60141141141 … 141 06p0p1p2...pN-1pNpN+1Q1Q1Q2...QN-1QNQN=6系数矩阵是主对角占优的。可以用追赶法来解。为了使B样条经过首尾两点，需要附加顶点p-1和pN+2，使得p-1=2p0-p1和pN+2=2pN+1-pN。（2）的矩阵的形式：p0=pN,pN+1=p1.41 1141141141 … 1411 14p1p2...pN-1pNQ1Q2...QN-1QN=6（3）的矩阵的形式：p0=