桥梁结构的有限元法

桥梁结构理论长安大学贺拴海桥梁结构及计算培训讲义

第1篇桥梁结构整体分析

桥梁结构分析的有限元法梁板式结构分析的有限条法能量原理及组合结构分析的变形协调法变截面连续梁、拱式结构分析的子结构法桥梁结构的材料几何非线性分析

桥梁结构分析的有限元法桥梁结构有限元法的分析过程桁架桥结构分析梁式桥结构分析刚架桥结构分析薄壁箱梁桥结构分析复杂组合截面桥梁结构分析的虚拟层合单元小结本章参考文献j

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1850年矩阵符号问世，1956年Turner等人将刚架位移法推广应用到弹性力学的平面问题，并在分析飞机结构获得成功现代有限元法在各个领域都得到广泛应用:1.由弹性力学平面问题扩展到空间问题和板壳问题：拱坝、涡轮叶片、飞机、船体及大型桥梁2.由平衡问题扩展到稳定问题与动力问题：结构地震、抗风与波浪力、动力反应3.由弹性问题扩展到弹塑性与粘弹性问题、土力学与岩石力学问题，疲劳与脆性断裂问题4.由结构计算问题扩展到结构优化设计问题5.由固体力学扩展到流体力学、渗流与固结理论、热传导与热应力问题（焊接残余应力、原子反应堆结构的热应力）、磁场问题（感应电动机的磁场分析）以及建筑声学与噪音问题6.由工程力学扩展到力学的其它领域（冰川与地质力学、血管与眼球力学等）传统的杆单元、板单元、块单元、壳单元不断完善，索单元、虚拟层合单元等使得复杂结构分析得以简化.本章--简述有限元法的基本思路汇总出桥梁结构分析中的常用单元刚度矩阵介绍一种通用三维单元构造方法虚拟层合单元在桥梁结构分析中的应用桥梁结构有限元法的分析过程

结构有限元法的分析过程六个步骤：（1）结构的离散化

将要分析的桥梁结构物分割成有限个单元体，并在单元体的指定点设置结点，使相邻单元的有关参数具有一定的连续性，并构成一个单元的集合体，以它代替原来的结构。（2）选择位移模式

假定位移是坐标的某种函数，称为位移模式或插值函数。根据所选定的位移模式，就可以导出用结点位移表示单元内任一点位移的关系式：贺:例如分析对象是桁架桥时，可以取每根杆件作为一个单元，因为桁架桥本来就是由杆件组成的。但如果分析的对象是连续体，如板桥，那末为了有效地逼近实际的连续体，就需要考虑选择单元的形状和分割方案以及确定单元和结点的数目等问题。贺:选择适当的位移函数是有限单元法分析中的关键。通常选择多项式作为位移模式。其原因是因为多项式的数学运算（微分和积分）比较方便，并且由于所有光滑函数的局部，都可以用多项式逼近。至于多项式的项数和阶次的选择，则要考虑到单元的自由度和解的收敛性要求。一般来说，多项式的项数应等于单元的自由度数，它的阶次应包含常数项和线性项等。这里所谓单元的自由度是指单元结点独立位移的个数。（3）分析单元的力学特性

①利用几何方程，由位移表达式导出用结点位移表示单元应变②利用本构方程，由应变的表达式导出用结点位移表示单元应力

③利用变分原理，建立单元的平衡方程单元坐标系与结构坐标系不一致时，需用坐标转换

单元刚度矩阵是单元特性分析的核心内容（4）建立整个结构的平衡方程

两个方面：一是将各个单元的刚度矩阵，集合成整个物体的整体刚度矩阵；二是将作用于各单元的等效结点力列阵，集合成总的荷载列阵。常用方法---直接刚度法集合所依据的理由是要求所有的相邻的单元在公共结点处的位移相等。整个结构的平衡方程（5）求解未知结点位移

考虑几何边界条件将方程作适当修改之后，根据方程组的特点，选择合适的计算方法，可解出未知位移。（6）计算单元应力及所需要的结果利用已求出的结点位移，计算各单元应力，加以整理得出所要求的结果。

桁架桥结构一般均为空间结构，可按空间杆单元进行分析，每个桁架杆即为一个单元。取结构坐标系（），单元坐标系（）桁架桥结构分析单元坐标系下单元刚度矩阵经运算，在结构坐标系单元刚度矩阵为桁架桥及其单元在初步设计计时，可将将空间问题题简化为为平面问问题，用平面桁架架来计算，如如图所示示。结点点位移列列阵结点力列列阵单元坐标标系下单单元刚度度矩阵表表达式同同前，但但结构坐标标系下单单元刚度度矩阵表表达式同同前，但但平面桁架架及其单单元多梁式简支、连连续及悬悬臂梁桥桥，可取取板梁组合合单元，也可取取抗扭梁单单元。如图所所示，此此种梁单单元的结结点位移移列阵为为结点力列列阵为梁式桥及及其单元元梁式桥结结构分析析单元刚度度矩阵梁及其单单元单梁式梁梁桥，单元坐坐标系和和结构坐坐标系一一致（下下图），，去掉扭扭转位移移，单元元结点位位移向量量可写为为结点力列列阵虑剪切变变形影响响时，梁梁单元刚刚度矩阵阵剪切影响响系数杆截面沿沿轴轴方方向的有有效抗剪剪面积材料抗剪模模量分析悬臂梁桥时，会遇到到一端铰接另另一端刚接接的梁单元元，单元结点点位移列阵阵铰接悬臂梁梁铰接悬臂梁梁单元单元刚度矩矩阵结点力列阵阵刚架桥结构构分析空间梁单元元是分析刚刚架桥的常常用单元，，如图所示示，单元两两端各有6个自由度度结点位移列列阵空间梁单元元结点力列阵阵单元刚度矩矩阵对称考虑剪切变变形影响的的单元刚弯弯矩阵对称对、、轴轴方向的剪剪切影响系系数、杆截截面沿、、轴轴方向的的有效抗剪剪面积单梁式刚架架桥可按平面刚架进行分析，，如图所示示刚架桥及其其单元在结构坐标标系中，单单元刚度矩矩阵采用同样方方法，亦可可考虑剪切切变形的影影响。薄壁箱梁桥桥结构分析析在初等梁理理论中，计计入翘曲变变形、剪力力滞及畸变变影响后，，发展起来来的薄壁梁梁解析理论论能合理地地反映薄壁壁箱梁结构构的固有变变形特性。。本节以单单箱室对称称截面箱形形梁为对象象，建立结结构空间分分析的刚度度矩阵及其其求解方程程。薄壁箱梁断断面及分析析采用的坐坐标系（1）位移移模型及平平衡方程节点位移列列阵——截面形形心位置；；——截面剪剪切中心位位置；——截面畸畸变中心位位置；——形心位位置沿沿方方向向（梁轴方方向）位移移；——剪切中中心位置在在方方向向（横向））位移；——剪切中中心位置在在方方向（竖向向）位移；；——分别为为断面绕三三坐标轴的的角位移；；——扭转翘翘曲位移；；——畸度角角；——，，畸畸变翘曲位位移；——上翼板板最大相对对剪切转角角位移差。。翘曲和剪滞滞位移只在在轴向产生生，薄壁箱箱梁的断面面位移模型型单元平衡方方程由弯曲变形形分析给出出由扭转变形形分析给出出由畸变分析析给出直线梁的弯弯、扭变形形互不耦联联，可分别别讨论（2）弯曲变形刚刚度弯曲变形刚刚度方程单元刚度系系数——翼板局局部坐标，，其原点除除悬臂板取取在悬臂端端外，其余均取板板中点，且且方向与轴轴一一致—翼板板修正系数数，可根据据试验或解解析取得除平面内内的的力素外，，在平面各力素如下下（3）扭扭转变形刚刚度扭转变形刚刚度方程刚度系数为为（4）畸变变刚度复杂组合截截面桥梁结结构分析的的虚拟层合合单元上世纪90年代初，，浙江大学学徐兴教授授从8-20节点三三维实体等等参元出发发，直接引引进基本假假定，构造造了一系列列退化的单单元，形成成了退化单单元系列：：中厚板单元元Kirchhoff板单元膜单元空间梁单元元平面梁单元元等它们均是协调单元，单元自由由度数与已已有相应的的单元相同同。其其突出的优优点是：单单元列列式简单划划一，各各类退化单单元间及实实体单元连连结十分方方便后来发展了了虚拟层合单单元对于层合结构（（钢与concrete）复杂的箱形形、T形结结构的总体分析析十分简单单有效，计计算精度能能够满足工工程需要。。大大提高高了复杂组组合结构的的静、动力力和非线性性分析的计计算效率。。1）一般的实际际问题都是是空间问题，解决问题题的方法就就是建立用三维坐标标描述的空空间模型进行求解。。描述空间间问题最简简单的单元元是四面体体，但是一一个空间区区域分割一一些四面体体小区域非非常困难，，甚至有些些使人难以以想象，如如果用六面体来来分割空间间区域就能清楚地地区分各个个六面体之之间的相互互关系，因因此用六面面体来进行行有限元分分割是最方方便的。空空间三维等等参元常用用的是八节节点～二十十节点的六六面体，其其中八节点点六面体的的形状完全全由其八节节点的位置置或坐标所所决定，其其棱边是直直线，其侧侧面是由两两族直线所所构成的直直纹面，所所以其计算算精度和逼逼近物体的的弯曲边界界有时显得得不够理想想，二十节点六六面体空间间等参元能很好地满满足计算精精度和逼近近物体的弯弯曲边界的的要求，对对空间问题题通常是最最有效的单单元，而十十二节点、、十六节点点六面体空空间等参元元是空间八八节点等参参元在一个个或两个方方向提高了了精度8-20结点点等参元母单单元8-20结点点等参数单元元实际单元坐标标与母单元坐坐标之间的关关系可表示为为形函数记三维等参元元的节点位移移矢量为那么单元内任任一点的位移移可表示为按几何关系可可得应变计算算式有下列关系Jacobi矩阵本构关系弹性矩阵三维等参元的的刚度矩阵可可分成个个子矩阵，典典型的子矩阵阵单元体积力等等效到节点上上的等效节点点力为将单元的表面面力Jacobi行列式的值值等效到节点上上的等效节点点力为（2）退化的的实体单元经典的板壳单单元都是根据据板壳理论构造出来的，，而经典板壳壳理论则是一一般的三维弹弹性理论根据据板壳结构特特殊的几何形形状引入一定定的简化假定定后得到的，，因此可以认认为板壳理论论是一种特定定条件下简化化的三维弹性理论论。从三维弹性性理论直接导导出的是三维维实体等参元元。由此不难难看出，板壳壳单元其实是是一种特定条条件下的简化化的三维实体体等参元，只只要在三维实体等等参元中引入入必要的简化化的假定即可可发展成由三三维实体等参参元退化的板板壳单元，如图所示，，称之为退化的实体单单元。三维弹性理论三维弹性理论薄板壳理论厚板假定薄板单元三维实体等参元中厚板壳单元薄板假定单元构造单元构造单元构造

板壳理论与板壳单元厚板假定薄板假定（a）相对位位移的引入如图所示的16节点板壳壳单元，每个个节点有、、、、三三个自由度度，共48个个自由度。单单元坐标和位位移插值形函函数和三维实实体单元相同同。考虑到扁扁平单元会使使刚度矩阵病病态，采用R.D.Wood的建议议，用相对位位移的办法克克服。记16节点三维等等参元的节点点位移矢量为为16节点板壳壳单元引入相对位移移后，单元节节点位移矢量量改为…………………………………..（b）Reissner厚板单元板的弹性理论论是三维弹性性理论的退化化形式，我们们在写出Reissner板的弹性性本构关系时时仍保留三维维弹性理论的的形式，为方方便起见，取取坐标方方向为板法线线方向，根据据Reissner板理理论的假定，，，，因此可以以忽略不不计，有有即为为不独立的应应变分量，对对上式沿厚度度方向积分，，得相对挠度度假定约束后后16节点的的单元自由度度数从48降降至40，与与8节点40自由度厚壳壳单元相同，，但在所有自由度中中没有转角自自由度而只有有位移自由度度，这样产生的的单元，可以以方便地与其其它单元连接接，而且有限限元列式更加加简单统一。。如果引入中面面不伸长的假假定又将约束自自由度，单单元变成16节点24自自由度厚板单单元，与8节节点24自由由度厚板元相相同。为了与与三维单元的的形式一致，，和和的约束也可用用罚系数的方方法来实现。。在三维弹性应应力应变关系系中引入一个个罚系数，，当计算算刚度矩阵时时，取一大大数，一般可可取1000，使得，，当计算算应力时，取取=1或=0，使这样在三维弹弹性理论中，，引入了Reissner板的假定定，将三维弹弹性理论退化化成Reissner板板理论，具体体的Reissner板板的应力应变变关系为（c）Kirchhoff板单元元根据Kirchhoff板理论假假定，，，即薄板横向的剪剪切刚度无限大，，为此对相应的刚刚度系数进行修正正，即乘以一个大大数=1000。此时时应力应变关系修修正为其它约束处理同Reissner板（d）薄膜单元根据类似分析如果果引入约束可得到16节点24自由度膜单元元（e）单元刚度矩矩阵上述分析表明，通通过修正应力-应应变关系和约束一一部分相对位移可可引入Reissner板、Kirchhoff板和膜的理论的的基本假定。简单单比较可见Reissner板、、Kirchhoff板和膜结构构的应力-应变关关系扩阶后与三维维弹性问题相似，，因此板、膜单元元的元素矩阵和三三维块体等参元元元素矩阵的具有完完全相同的形式。。（f）相对位移引引入后刚度矩阵的的修改考虑如下形式的单单元平衡方程作变换则单元平衡方程变变为整理得对于一般的壳问题题，上述推导在以以法向方向的的局部坐标系内仍仍然成立。适当的的坐标变换可把上上述推导推广到一一般壳单元，也可可以得到一系列的的正交曲线坐标系系下的壳单元。采采用类似的方法，，可以从平面单元元退化得到平面梁梁单元。（3）三维梁单元在12-20节点点三维等参单元中中，引入梁的基本本假设，便可得到到三维梁单元。它它可以用以分析各各种截面形状（包包括变截面的）的的空间梁的弯曲、、扭转，也能很方方便地与三维块体体单元、三维板壳壳单元连接，以解解决复杂桥梁结构构分析问题。根据梁的几何特点点引入以下假定：：①横向正应力相对对于其他应力是小小量，可以忽略。。即②由假设①可知，，不独独立，，也也不独立，，且为小量，也应应约束掉。③如果不考虑剪切切变形，则还有为梁的轴线方向。。考虑横向剪切变变形的梁的应力——应变关系可以表表示为不考虑横向剪切变变形的梁的应力—应变关系与一维梁单元比较较，不考虑扭转翘翘曲的梁单元每个个节点有6个自由由度，。。矩形截截面三维梁单元，，每个截面4个节节点，每个节点3个自由度，，共12个自由度。根根据假定令平截面假定有共有6个约束方程程，故每个截面也也只有6个自由。。与一维单元相同同。除应力——应应变关系略有不同同外，单元的元素素矩阵相同，同样样可以构造虚拟的的层合的梁单元。。可以方便地分析杆杆件的约束扭转问问题（4）虚拟层合单元由不同材料组成的的桥梁结构（如结合梁、钢筋混凝凝土结构、钢管混混凝土、钢箱混凝凝土等）的总体分析是是一个比较烦琐的的力学问题，目前前对这类结构的有有限元分析常采用用两种方法（a）用三维实体体单元对桥梁结构构进行细致的离散散。这一方法的优优点是能够准确地地描述桥梁的几何何形状，它的缺点点是庞大的计算量量对总体分析而言言是一种浪费（b）另一种方法法则是把结构简化化为杆、梁、板、、壳或它们的组合合结构。这种方法法的优点是计算量量少，但很难描述述复杂桥梁结构的的实际几何特性，，特别是变截面主主梁和有中空的区区域箱梁，因此其其结果往往不能反反映桥梁的整体特特性。如何建立一个能描描述结构几何形状状、受力特征的简简洁有效的有限元元模型是整体分析析的关键。（1）层合板壳单单元在上节三维等参元元的单元刚度和单单元外力计算公式式中，我们可以看看出这些计算都是是在单元内的积分分，如果将区域积积分用一些小区域域（m个）的积分之和来来替代，或者说将将区域积分分解成成一些小区域的积积分，如用上可对八节点～～二十节点空间三三维等参实体单元元进行改进。由于于同一单元中可能能包含m个不同的材料区域域，单元元素矩阵阵的积分按m个不同的材料区域域分区进行，为不失一般性，假定定每种材料区域可可以由8-20个个单元内节点描述述。每个单元内节节点可由该节点在在母单元中的坐标标表示。记第个个材料区域第第个节点的的母单元坐标为，，则材料区域中任任意点的母单元坐坐标为则单元的元素矩阵阵可改为——材料分区数——区域内坐标变变换矩阵的Jacobi行列式的的值在每个材料区域采采用高斯积分，有有——分别为一个材材料区域内的各个个方向的高斯积分点数目目；——高斯积分点的的权系数。（2）虚拟层合单元元对图所示的一矩形形箱梁，如用传统统有限元分析，为为了反映箱梁有中中空的区域的结构构特征，划分单元元的必须采用相当多的实体单元元来离散箱梁结构如如图a），如果将将该箱梁划分成三三个经典的二十节节点空间三维等参参元如图b），那那么箱梁的中空结结构特征就描述不不出来了。ab悬臂矩形箱梁用上述的分区积分分的办法，将单元元积分区域分成两两个区域（a）有真实材料料的区域（顶板、、底板和腹板）（b）没有材料的的区域（中空区域域）在这个中空区域中中由于没有材料，，它的积分值将是是零，因此单元的的积分只要在有材材料的区域内积分分就可以了，这样样就可以将箱梁有有中空区域的复杂杂结构整体特征反反映出来了。再进一步分析如果果有材料的区域（（顶板、底板和腹腹板）有不同的材材料特性（弹性模模量、质量密度）），还可以分为不不同材料特性参数数的区域（如顶板板、底板与腹板的的材料特性参数不不同）的积分没有材料的区域（（中空区域）可以以认为是材料特性性（弹性模量、质质量密度）为“零零”的材料。将单元的积分区域域人为地分为几个个小的积分区域，，在每个小的积分分区域内有不同的的材料特性参数，，包括“零”材料料特性参数，此概概念亦可在虚拟段上，无论虚拟层，还是是虚拟段，或者二二者兼有，均称为为虚似层合单元。这就改进了原来来的空间实体单元元，达到用较少段段单元来描述复杂杂空间结构整体特特征的要求，大大大的提高有限元的的效率。有虚拟区域单元示示意●——真实节点○——虚拟节点（3）虚拟三维层合板板壳单元图为一典型的虚拟拟层合板壳单元，，在该单元中，母母单元的边界定义义为、、、。。的的表面为层合板板壳底面，的的表表面为层合板壳顶顶面，和和之之间分为层层，底面、每每层界面和顶面的的坐坐标由底到顶依次次为；；同理，在每一层层中，对坐标也也类类似的边界及界面面定义。为保证在在计算单元刚度矩矩阵、单元质量矩矩阵和应力时，分分层或分层段高斯斯积分简单易行，，必需注意使各层层或各段的界面坐坐标值及为为常数数，该单元与母单单元间的变换关系系为单元位移插值模式式为单元刚度矩阵元素素为层数，为为段数为在每层及层中的的每一段采用高斯斯积分，将上式进进行线性变换（5）桥梁结构的的虚拟层合单元建建模（a）肋梁式桥常见的肋梁式桥梁梁结构截面形式不不外乎T型、带马马蹄T形和I字形形，由于所采用的的材料不同（如组组合结构）或配筋筋不同（混凝土结结构）而使得结构构的承载能力特性性在各个方向上并并不相同，表现出出各向异性的特性性。初步分析时，，可按上、下翼板板（马蹄）、腹板板划层、根据纵向向钢筋的疏密程度度划段；精细分析析时，需将不同性性质的材料单独划划层或段。（b）箱梁桥空心板或箱梁桥是是典型的带有中空空截面结构，除考考虑横、纵截面上上材料的不同性质质分层外，对空腔腔部分按虚拟层（（段）进行处理（c）力筋的等效效连续化力筋（钢筋或预应应力钢筋）在混凝凝土中的铺设一般般在某一个或几个个确定的方向上，，对结构整体分析析而言，纵向主筋筋的影响最大，横横向主筋对横向变变形及内力的贡献献较大，分析时，，可按正交异性材材料处理。而将离离散分布的钢筋按按下图等效为连续续钢筋层钢筋等效层层小结（1）有限元元分析已经经渗透到桥桥梁结构分分析的各个个领域，其其分析精度度亦因所采采用的单元元形式，单单元数量和和单元划分分情况等不不同而有所所差异。在在大型通用用分析软件件普级及广广泛应用情情况下，桥桥梁结构建建模在有限限元分析中中非常重要要，科学合合理的建模模，不仅可可以得到更更为精确和和期望结果果，而且可可节约计算算时间，提提高计算效效率。（2）桥梁梁结构的恒恒载内力与与施工方法法关系密切切，变形、、内力等有有累计、重重分布等特特点，同一一座桥如采采用不同的的施工方法法，其恒载载内力差异异很大，大大多情况下下需跟踪分分析，活载载内力计算算时的动态态加载非常常重要，除除桥梁专用用分析软件件外，通用用软件一般般不具备此此功能，其其基本方法法可参见文文献。（3）退化化单元及虚虚拟层合单单元为桥梁梁结构分析析提供了全全新建模思思路，具有有划时代意意义，它不不但打通了了单元之间间连接通道道，而且可可精确地描描述各