高考排列组合及二项式定理知识总结与例题讲解(5分)

—Word—Word行业资料分享一可编辑版本一双击可删一—Word—Word行业资料分享一可编辑版本一双击可删一高考二项式定理知识总结与例题讲解（5分）一、高考二项式定理知识点总结i.二项式定理：（4+b）n=cy+ +…+q屋-少+…+C»〃（〃£N*）,.基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做m+by的二项展开式。②二项式系数:展开式中各项的系数c；；（r=0,1,2,...,n）.③项数：共。-1）项，是关于〃与〃的齐次多项式④通项：展开式中的第一+1项G；。"-2，叫做二项式展开式的通项。用心】=C：n〃r"表示。.注意关键点：①项数：展开式中做共有（〃+1）项。②顺序：注意正确选择。力,其顺序不能更改。（。+〃）"与3+。）〃是不同的。③指数：。的指数从〃逐助减到0,是降帚排列。〃的指数从0逐项减到〃，是升帚排列。各项的次数和等于〃.④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是…,G；,…,C：•项的系数是。与b的系数（包括二项式系数）。.常用的结论：令4=Lb=X,（1+x）n=C：+C*+C>2+…+C：x，+…+C；；xH（/?wN*）令。=1,Z?=—x,（1-x）"=C：—C；x+C~x~—•••+C；"+•••+（—l）nC"txn（/?gN）.性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即C：=£：,“•《=②二项式系数和：令。=〃=I,则二项式系数的和为C：+C；+C；+…+C+…+C；=2”,变形式C：+C；~i 卜c：T FC"=2H—1o③奇数助的二项式系数和H国数项的二项式系数和：在二项式定理中，令4=1力=-理则在:-c+c'c：+…+（」）”禺=（1_1）”=0,从而得到：C；+G+C：…y+-=C：+C：+ …=白2"=2〃-1④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

m+x)n=C/〃x°+C\crlx+ + …+c^xn=aQ+生/+a2x2+…+anxnQ+a)n=Cyxn+C；ax”T+C；a2xn-2+…+C：a"x。=anxn+…+a2x2+a.x1+a。令x=l,贝必o+q+生+生…+a“=(a+l)〃 ①令x=-1,则/_q+%_/+…+%=(4_1)〃 ②①+②得M。+生+%…+。”=("+D"；"一(奇数项的系数和)①-②得出+为+%…+/=(偶数项的系数和)⑤二项式系数的最大项：如果二项式的帚指数〃是偶数时，则中间一项的二项式系数c?取得最大值。n-ln+l如果二项式的需指数〃是奇数时，则中间两项的二师式系数。5,。尸同时取得最大值。⑥系数的最大项：求9+以）”展开式中最大的助，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别设第r设第r+i项系数最大，应有从而解出r来。专题一题型一：二项式定理的逆用；例：U6+Q6+…+C：・6"t=解：Q+6)"=C,；+C；♦6+C；•G+C：•S+…+C：•6〃与已知的有一些差距,.•.C：+C>6+C：.6+...+C：・6"T=bc：.6+C>6+...+C：.6〃)6=j(C>C<6+C；.62+...+C；；.6//-l)=I[(l+6/,-l]=1(7M-l)o o o练：Q+3C；+9C：+…+3〃-g=.解：设S〃=C+3C：+9C；+…+3"-七；，则3s〃=C：3+C；32+C：33+…+C：3r=C；+C：3+C；32+C：33+・・・+C；3〃—l=(l+3)，—l•=S•=Sr=(1+3/-14n-l题型二：利用通项公式求广的系数；例：在二项式（行+浮）”的展开式中倒数第3助的系数为45,求含有F的项的系数？解：由条件知C：t=45,即C：=45,/./72-77-90=0,解得〃=—9（舍去）或〃=10,由= = L由题意一年+r=3,解得r=6,TOC\o"1-5"\h\z4 3则含有.一的项是第7项七］==210r,系数为210。练：求（丁-占）9展开式中/的系数？2x\o"CurrentDocument"解：Tr+l=G（xf」（一二）「=C；产7,（_与婷=c;（_与,令18-3r=9,则，=32x 2 21 21故/的系数为c；（—5『=—7。乙 乙题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式（/+±/的展开式中的常数项？45-256解：&LCM产（击丫=品$”吟,令20-］=0,“8,45-256练：求二项式（2x-If的展开式中的常数项？2x解:施=。；（2幻一（-1），（4），=（-1）（；26-咱丫产,令6—2「=0,得1=3,所以2x 27；=（-1）C=-20练：若（父+3〃的二项展开式中第5项为常数项，贝!）〃=.X解：7；=C；（x2r4（-）4=C>2M-12,令2〃-12=0,得〃=6.X题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式（4-也）9展开式中的有理财？1 1 27r 77—r解：&i=C；（x2广（一［）『=（_=c；x6,令£Z,（0<，Y9）得，・=3或，，=9,627-r所以当〃=3时，^—=4,1=（-1）3。；/=—84/,6当r=9时，乌二=3,几=（-1）审=生6题型五：奇数项的二项式系数和T禺数项的二项式系数和；例：若（严一士）”展开式中偶数项系数和为-256,求〃.解：设（、/产-3）〃展开式中各项系数依次设为4。M,…q，可尸令x=-1，则有&+%+…q=0,①，令工=1,则有.。一％+/-6+…+（-1）"4=2",②将①-②^:2（.+―+%+•.）=一2",q+/+生+…=-2"7,有题意得，一2〃t=—256=—2、/./?=9O练：若Kg+G）”的展开式中，所有的奇数项的系数和为1°24,求它的中间项。解：・.・C+C：+C：…+O'+i=C+C：+…+C：川+…=2“\/.2"T=1024,解得〃=11所以中间两个项分别为〃=6,”=7,%】=亡（秒6（后）5=462/7,Ql462f喂所以中间两个项分别为〃=6,”=7,题型六：最大系数，最大项；例：已知（：+2x）",若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？解：••・C：+C；=2G；,「.1—25+98=0.解出〃=7或〃=14,当〃=7时，展开式中二项式系数最大的1 35 1项是7；和小口的系数=仁（/）423=万,，7；的系数=C；q）324=70,当〃=14时，展开式中二项式系数最大的项是4,%的系数=G式1/2'=3432。乙练：在（。+b产的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的帚指数是偶数2〃，则中间一项的二项式系数最大，即，〃也就是第〃+1项。+1练：在靠）”的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？解：只有第5双的二助式最大，则g+l=5,即〃=8,所以展开式中常数项为第七项等于C；（》2=7练：写出在（4-〃）7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的塞指数7是奇数，所以中间两项（第4,5项）的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有?；=-《//的系数最小，7；=仁。方系数最大。练：若展开式前三项的二项式系数和等于79,求（；+2x）”的展开式中系数最大的项？解：由C；+C+C；=79,解出〃=12,假设项最大，•.•（；+2；1产=（；尸（1+442

fA>Afcr4r>C'-Z't•MJ11；=17"二石，化简得到9.4少K10.4,又・.,0<"12,.j=10,展开式14乜之4+2 C；4r>中系数最大的项为几，有。=（孑优4］。产=16896.产练：在Q+2x）1°的展开式中系数最大的项是多少？4M之AA「+l—4+2厂厂［厂>x^r-1 1104M之AA「+l—4+2厂厂［厂>x^r-1 110"：口解得C10Z-C10Z，2(11-r)>r , ,Al,2(10-r)>化简得到6—3,又•/0<r<10,:.r=7f展开式中系数最大的项为4=/Z'N=15360/题型七：含有三项变两项；例：求当（M+3X+2）5的展开式中X的一次项的系数？解法①：（V+3x+2）5=［（/+2）+3x］5,7；乜=。；（/+2广，（3x）］当且仅当厂=1时，的展开式中才有X的一次项，此时Tt=7；=C；（/+2）43r,所以X得一次项为c；c：243x它的系数为CU243=240°解法②：(/+3x+2)5=(x+If(x+2)5=(Cfx5+C\x4+.・・+C；)(C；x5+C\x42+・・・+C：2,)故展开式中含x的项为C>C?+C；x24=240xf故展开式中x的系数为240.练：求式子（国+3-2）3的常数项？

因解：（国+百解：（国+百-2）3=（洞一去>，设第〃+1项为常数项，则“C；（一1丫门厂（帝=（一I）。C；闵“［得6—2r=0"=3,"（一I），C；=-20.题型八：两个二项式相乘；例：求（1+2x）3（l-x>展开式中/的系数.解：・•・（1+2x）3的展开式的通项是C；.（2工户=c；・2'"・£”，（1一.好的展开式的通项是C1（T）"=C：一1"•/,其中团=0,1,2,3,〃=0,l,2,3,4,令〃?+〃=2,贝।帆=0且〃=2,m=1且〃=\,m=2且〃=0,因此(1+2x>。»的展开式中式的系数等于等.2°・C：•(->+C；.21.C；.(-+C；.2?・C：.(-1)。=-6.练：求(1+为6(1+白)1。展开式中的常数项.[ m / 4〃l3〃解：(1+必7)6(1+7)1。展开式的通项为=C；•或•X—蛆其中加=0,1,2,…,6,〃=0,1,2,…,10,当且仅当4〃7=3〃,即=°,或(相='或1=，时得展开式中的常数项为C：•或+C；♦ +C：♦C；o=4246.练：已知(1+x+x2)(x+3)”的展开式中没有常数项,〃gN*且2<n<8,则〃=.X解：(x+二)"展开式的通项为C：y"-，=C；Mi，通项分别与前面的三项相乘可得C：fied-fcd一4-2,・・・展开式中不含常数项,2工〃48nw4r且〃w4r+l且〃工4r+2,即〃牛4,8且〃w3,7且〃工2,6./.〃=5.题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例：在(X-VI尸皎的二项展开式中，含X的奇次辱的项之和为s,当x=&时,S=.TOC\o"1-5"\h\z解：设(x—V2)-006=ci0+qp+ci-,x~+ciyX^+…+i7-,006x-006 ①(一工一点尸006=4 +生V-6父+…+/006vo06 ②①一导2(qx++…+/85Vo°5)=(x-0)?006-(x+>/2)2006.-.(X-◎产展开式的奇次幕项之和为S(x)=![(%—&)”°6—(x+。力3—006\o"CurrentDocument"2 ，当x=应付,s(。=_[(&—应产-(>/2+应尸°力= =-23008题型十：赋值法；例：设二项式(3加+-)•'的展开式的各项系数的和为p,所有二项式系数的和为s,若Xp+s=272,则〃等于多少？解：若(3存3"=aQ+alx+a2x2h fanx〃，有尸=&+4+-+%,S=C；+・tC：=2Lx令X=1得P=4〃，又p+s=272,即4"+2"=272n(2"+17)(2”—16)=0解得2〃=16或2"=—17(舍去),.-./?=4.

1VTOC\o"1-5"\h\z练：若-〒的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为多少？k YX)解：令x=l,则36-卡|的展开式中各项系数之和为2"=64,解：令x=l,则36-C(3«)y—3/=一540.练：若(1-2x)2009=aQ+aYxl+a2x2+生炉+…+a2009fo09(xeR),贝吟+果+…+枭翳的值为乙乙 乙解：令X=：可得4。+?+黑+...+,=0,.4+黑+...+需=-%2 22- 2 22- 2在令x=0可得%=1,因而A导…+筹=-1.乙乙 乙练：若(工一2)5=a5x5+a4x4+ +a2x2+ +%,则4+a2+a^+a4+a5=.解：令x=0得&=-32,令==1得%+可+〃2+%+。。+%=-1,a.+a.+a.+a,+a,=31.上 . J ■ J题型十一：整除性；例：证明：3”2—8〃一9(“£M)能被64整除证：32n+2—8〃-9=9"*—8〃-9=(8+1)/,+1-Sn-9=*8用+C38〃+...+/；8?+C；；+18】+q：；—8〃一9=*8叫+C38"+…+C：；；82+8(〃+1)+1—8h-9=C*8用+C,38“+…+C：；；G由于各项均能被64整除••・3”M—8〃-9(〃gN")能被64整除1、(x-l)”展开式中x的偶次项系数之和是 1、ISf(x)=(x-l)",偶次项系数之和是‘⑴；(一"=(一2)“/2=-10242、C>3C>32C>-+3nC^=2、2、4n(V5+(V5++尸°的展开式中的有理财是展开式的第项・3、3,9,15,214、(2X・1)5展开式中各项系数绝对值之和是4、(2x・l)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+l)5展开式系数之和，故令x=l,则所求和为3s.5、求(l+x+x2)(l・x)i。展开式中X，的系数.5.(l+x+x2)(l-x)10=(1-x3)(l-x)9,要得到含X』的项，必须第一个因式中的1与⑴以展开式中的项c；(—x)4作积，第一个因式中的f3与(1闵9展开式中的项C；(-x)作积，故婷的系数是C；+C；=135.6、求(1+X)+(1+X)2+…+(l+x)l。展开式中X3的系数.6、(1+X)+(1+X)-+…(1+X)—^― -= ——原式中如实为这分子中的TOC\o"1-5"\h\z1一(1+X) XX4,则所求系数为C[.7、若£(*)=(1+*广+(1+乂)寅11>11£1^)展开式中，X的系数为21,向m、n为何值时，x?的系数最小？21 3997、由条件得m+n=21,x?的项为C；x?+C；x,则C；+C；=(n—?尸+—1.因n6N,故当n=10或2 4U时上式有最小值，也就是m=U和n=10,或m=10和n=ll时，X?的系数最〃I8、自然数n为偶数时，求证：+2C；+C：+2C：+C：+…+2C『+C：=3.2n-18、原式=(C：+C：+C；+…+C：t+c：)+(C〈+C〈+C：+…+C：t)=2、2,=3.2"9、求80口被9除的余数.9.8011=(81-1)11=C；W-C；]8产+…+C；；81-1=8M—l(kgZ),VkgZ,A9k-lGZ,.♦.81"被9除余8.10、在(x?+3x+2)5的展开式中，求x的系数.10、(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5在(x+l)s展开式中，常数项为1，含x的项为C；=5x,在(2+x)5展开式中，常数项为2732,含x的项为C；24x=80x展开式中含x的项为1-(80x)+5x(32)=240x,此展开式中x的系数为240.11、求(2x+l严展开式中系数最大的项.11、设T用的系数最大，则Tm的系数不小于T,与T「+2的系数，即有

C；,>2cl2C；z>C^CC；,>2cl2C；z>C^C；"gNC；；12H-r'展开式中系数最大项为第5项,T5=16C^x4=7920x高考二项式定理总结1,二项式定理:(4+b)n=cy+C/-%+…+ +…+c»〃(〃£N*),.基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做m十与”的二项展开式。②二项式系数:展开式中各项的系数c；；(r=0,2,….③项数：共。-1)项，是关于〃与〃的齐次多项式④通项：展开式中的第，，+1项G；。"-2'叫做二项式展开式的通项。用7；+1=]〃〃-%「表示。.注意关键点：①项数：展开式中总共有(〃+1)项。②顺序：注意正确选择。力,其顺序不能更改。(。+与"与3+。)”是不同的。③指数：。的指数从〃逐项减到0,是降帚排列。〃的指数从0逐项减到〃，是升塞排列。各项的次数和等于〃.④系数：注意正确区分二助式系数与助的系数，二项式系数依次是C：，C，C：,…,C；,…,C：•项的系数是。与b的系数(包括二项式系数)。.常用的结论：令4=1/=X,(1+x)"=C：+c>+C；tx2+…+C；F+…+q%〃(〃£N*)令a=l,b=-x,(1-x)n=C；-c>+C>2-…+C；X+…+(-1)“C：x"(nwN").性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即c：=C：LC：=C：-'②二项式系数和：令4=b=1,则二项式系数的和为C：+C+C：+…+C：+…+C；；=2〃,变形式屐+C+…+C：+…+C；=2"—1。③奇数项的二项式系数和二偶数项的二项式系数和:WordWord行业资料分享一可编辑版本-双击可制一WordWord行业资料分享一可编辑版本-双击可制一—Word—Word行业资料分享一可编辑版本一双击可删一5=5=(1+3/-1=£-1" 3 3在二项式定理中，令4=1乃=-1,则CY+CY+・・・+(F”c：=(i_i)”=o,从而得到：c：+c；+c：…+C广+-=C+C+-+C；f+-=[x2〃=2i乙④奇数项的系数和与偶数项的系数和：(〃+x)n=C：a”x°+C\an-lx+C：/*+…+C>°xH=a0+可』+a2x2+…+4M”(x+a)n=C>°xn+C^ax"-l+C^a2x"-2+…+C：a”x。=为x"+…+a2x2+a.x1+a。令x=l,贝必o+q+^+G…+a“=(a+l)〃 ①令X=-l,贝必0_/%+…+%=(Q_1)〃 ②①+②得M。+生+%…+%=m+1)；mT)”(奇数项的系数和)①-②得吗+%+%…+%=(…广川(偶数项的系数和)n⑤二项式系数的最大项：如果二项式的羯指数〃是偶数时，则中间一项的二项式系数C?取得最大值。n-1n+l如果二项式的帚指数〃是奇数时，则中间两项的二项式系数同时取得最大值。⑥系数的最大项：求9+以)”展开式中最大的顶，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为4,4,…设第〃+1项系数最大，应有,从而解出厂来。>A-?专题一题型一：二项式定理的逆用；例：C+C>6+C；6+…+。：6一、解：(1+6)”=。；+06+。・62+。；63+3+。6与已知的有一些差距,.•・C+C>6+C；・62+…+C；6T=t(C.6+C；.62+…+C：・6〃)O=：(C：+C>6+C：6+...+a-6〃—1)=：[(1+6)"-1]=；(7"-1)O O O练：C；+3C；+9C：+…+3'1。：=.解：设S.=C；+3C：+9优+…+3〃-七；，则3S„=C/^+C/；32+C^33+...+C；；3/,=C；+C；3+C/；32+C^33+...+C；；3H-l=(l+3)n-l题型二：利用通项公式求父的系数;例：在二项式浮）”的展开式中倒数第3班的系数为45,求含有T的项的系数？解：由条件知C：t=45,即C：=45,.“产-〃-90=0,解得〃=-9（舍去）或〃=10,由』 £ 一°一" io_r7r^=c^^）^^y=c;Qx—^,由题意一—+：〃=3,解得〃=6,4 3则含有/的项是第7项4+1=£«3=210犬,系数为210。练：求（/-工）9展开式中/的系数？2x解：Tr+l=C；，）x（-二）「= 与婷=g（-与/一"，令18—3r=9,则r=3TOC\o"1-5"\h\z2x 2 21 91故V的系数为c；（-5）=-万。乙 乙题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式（V+今）1°的展开式中的常数项？解：&]=%（£）岭（泰），=%（》，｛吟,令20—*0,得T,所以4=*）8噎练：求二项式（2x--L）6的展开式中的常数项？2x解：&i=G（2x）J（—l）P；26-，（3'产，令6—2〃=0,得r=3,所以lx 2『（-i）y=-20练：若（父+!）〃的二项展开式中第5项为常数项，贝以2=.X解：（=C：，）"T（%=C：/-1令2〃—12=0,得〃=6.X题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式（6-扳户展开式中的有理助？-L — 27-r解：&】=C；(V)”(—炉)「=(—1)'C>6,令失」wZ,(。工厂49)得，・=3或，・=9,627—r所以当〃=3时，^^=4,4=(—l/C；x4=-84x4.6—Word—Word行业资料分享一可编辑版本一双击可删一—Word—Word行业资料分享一可编辑版本一双击可删一当r=9时，?二=3,几=（-1）审=-/。6题型五：奇数项的二项式系数和4禺数项的二项式系数和；例：若（口-3）”展开式中偶数项系数和为-256,求〃.解：设（疗-上）〃展开式中各师系数依次设为a”<Jx-令人=一1厕有4+《+…凡=0,①,令x=l,则有/一%+生一%+…+（-1）'。〃=2、②将①•②得：2(4+/+%+,.)=-2"%%…=-2'1,有题意得，—2〃t=—256=-2、.-,/?=90练：若（出+栏）”的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024,求它的中间项。解：•.•C：+C；+C：…+C：'+-C+C：+…+C；f+--2”,」.21=1024,解得〃=11所以中间两个项分别为〃=6,〃=7,7i+1所以中间两个项分别为〃=6,〃=7,7i+1=C,：（3/i）6（5/J_）5=462・k，心=462题型六：最大系数，最大项；例：已知（；+2乃“，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？解：•.•C：+C：=2C；,「.〃2—25+98=0.解出〃=7或77=14,当〃=7时，展开式中二项式系数最大的项是乙和小心的系数=*）423咛,，（的系数=C；（夕2=70,当〃=14时，展开式中二项式系数最大的项是Ts,7；的系数=C；式;J2,=3432。乙练：在（。+b）21'的展开式中，二项式系数最大的助是多少？解：二项式的帚指数是偶数2〃，则中间一项的二项式系数最大，即，〃=。+"也就是第〃+1项。+12练：在弓-靠）”的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？解：只有第5项的二项式最大，则g+l=5,即〃=8,所以展开式中常数项为第七项等于C：（；f=7练：写出在（4-〃）7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的帚指数7是奇数，所以中间两项（第4,5项）的二项式系数相等，且同时取得最大值，从

而有7；=-的系数最小，系数最大。练：若展开式前三项的二项式系数和等于79,求(；+2x)”的展开式中系数最大的项？解：由G；+C：+C；=79,解出〃=12,假设项最大，•.•(；+2。2=(；产(1+以尸乙 乙fA>Afcr4r>Cr-14r-1・•・{J：；=\"r"二e，化简得到9.4少410.4,又♦.・0<"12,.j=10,展开式14+T4+2c.4r>Cf?4r+1中系数最大的项为几，有。=(夕]c；；4，。=16896.产练：在(1+2x)1°的展开式中系数最大的项是多少？4H之AA>Af+l—3+2「/• 4H之AA>Af+l—3+2「/• 、厂厂―1 110"：口解得C10Z-C10Z，2(11-r)>r… ,3之2(1。-少化简得到6-3,又v0<r<10,?.r=7,展开式中系数最大的项为(=累27炉=15360/.题型七：含有三项变两项；例：求当(r+3x+2>的展开式中x的一次项的系数？解法①：(V+3x+2)5=[(/+2)+3x]5,7:h=C；(V+2)5-，(3x)，，当且仅当厂=1时，的展开式中才有x的一次项，此时7^=q=C；(/+2)』3x,所以工得一次项为。<：243]它的系数为CG243=240。解法②：(/+3x+2f=(x+If(x+2f=(Cfx5+C\x4+…+C；)(C；x5+C\x42+・・・+C：2,)故展开式中含X的项为C>C；25+C；x24=240x,故展开式中x的系数为240.练：求式子(国+3-2)3的常数项？凶练：求式子(国+3-2)3的常数项？凶设第r+1项为常数项，则"c；(—1)，(您=(_»W得6-2r=0/=3,”(—1)32=-20.题型八：两个二项式相乘；例：求(1+2x)3(17尸展开式中r的系数.—Word—Word行业资料分享一可编辑版本一双击可删一—Word—Word行业资料分享-可编辑版本-双击可删一解：•・•(1+2x)3的展开式的通项是C；•(21广=《.2m.廿，(1一.好的展开式的通项是©卜(—丈)”=q一1"工,其中团=0,1,2,3,〃=0,1,2,3,4,令〃?+〃=2,贝加〃=0且〃=2,m=1且〃=1,m=2且〃=0,因此Q+2x)3(l-x)4的展开式中/的系数等于C；•2。・C：•(―1尸+C；•C；•(―1)、C；•2?•C：•(―1)。=—6.练：求(1+与6(1+杼展开式中的常数项[ tn / 4/7r-3/?解：(1+笈)6(1+严展开式的通项为=C；./-X―其中m=0,1,其中m=0,1,2,・・・,6,n=0,1,2,…,10,当且仅当4〃?=3〃,即m=3,—或n=4,m=6,n=8,时得展开式中的常数项为C：•C+C；♦C；+C：♦/=4246.练：已知(1+x+x2)(x+3)”的展开式中没有常数项/gN*且2<n<8,则〃=.X解：(x十二)"展开式的通项为C：•=C；-〃-4,通项分别与前面的三项相乘可得C^Z-4r,C；；.x,,-4,+1,C；-x,'-4r+2,v展开式中不含常数项,2工〃48/.n*4r且〃w4r+l且〃工4r+2,即〃*4,8且〃*3,7且〃*2,6,「.〃=5.题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例：在0尸皎的二项展开式中，含x的奇次辱的项之和为S,当x=JT时,S=解：设(X—V^)-006—6f0+qp+Cl2x~+ClyX^+…+672006X~006 ①(-X-走产二4-qN+/X?-府+・-+/006产 ②①一 导2(qx++。5金+…+生85Vo°5)=(x-V2)2006-(x+>/2)2006.-.(X-无产展开式的奇次幕项之和为S(x)=1[(x-V2)2006-(x+&产]3—006当x=VI时，S(V1)=l[(>/2-◎产-(V2+V2)2OO6]=- =-23008题型十：赋值法；例：设二项式(3加+!)”的展开式的各项系数的和为p,所有二项式系数的和为s,若Xp+s=272，则〃等于多少？解：若(3加+)=g+4/+4、必h 1-anxn,有P=〃o+q+—+4〃，S=C：+••+£；=2",TOC\o"1-5"\h\zX "令X=1得P=4〃，又p+s=272,即4'+2”=272n(2〃+17)(2“—16)=0解得2"=16或2〃=—17(舍去)，.-.77=4.1V练：若34-〒的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为多少？k JX，r 1解：令X=l,则34-〒的展开式中各项系数之和为2"=64,所以〃=6,则展开式的常数项为k T入）Ca3>/7)3.(—L)3=-540.练：若(1一2]产=a0+qx】+a2x2+生炉+…+/oo/"09(X£H),则B+墨+…+ ■的值为TOC\o"1-5"\h\z乙乙 乙解・令X=L可得4+%+&■+・・・+%009=0.5+&+.・・+4亡09=_序Jq2'"寸°22? 22009 22? 22009 °在令x=0可得%=1,因而%+当+…0 22- 22009练：若(1一2f=a5x5+a4x4+火炉+生/+qd+&,则。1+a2+a5+a4+a5=.解：令2=0得%=一32，令不=1得=0+《+。2+%+/+。5=-1，a[++a.+a,+a,=31.上 . J ■ J题型十一：整除性；例：证明：3”2—8〃—9(〃eN*)能被64整除证：32,,+2—8〃一9=9""-8〃-9=(8+1)/,+1-8/7-9=CM+C0+…+以⑻+C：N+牖-8〃—9=*8川+C38"+…+C：；；价+8(〃+1)+1-8/7-9=8用+C38“+…+C：；；8?由于各项均能被64整除「.32/2—8〃-9(〃gN")能被64整除1、（x-1）”展开式中x的偶次项系数之和是

1、设f(x)=(x・l)u,偶次项系数之和是f⑴；(一"=(一2产/2=-10242、C：+3C：+3V+…+3«=2、2、4n3.(方+的展开式中的有理项是展开式的第，项3.(方+的展开式中的有理项是展开式的第，项♦3.3,9,15,214.(2x・l)5展开式中各项系数绝对值之和是 4、(2x・l)s展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+l)§展开式系数之和，故令x=l,则所求和为3s.5、求(l+x+x2)(lM。展开式中X4的系数.5、(l+x+x2)(l-x)10=(1—x3)(l—x)9,要得到含X」的项，必须第一个因式中的1与(Lx)9展开式中的项C；(-x)4作积，第一个因式中的一与⑴x)9展开式中的项C；(-x)作积，故X」的系数是C；+C；=135.6.求(l+x)+(l+x)2+…+(l+x严展开式中X3的系数•6、(6、(l+x)+Q+x)2+…(i+x)ja+x)[i-(i+x)z(Ai尸一(工+1),原式中实为这分子中的X。则所求系数为c1.7、若寅乂)=(1+*/1+(1+乂)11(1~11£?<)展开式中，x的系数为21,向m、n为何值时，x?的系数最小？21 3997、由条件得m+n=21,x?的项为C；x?+C；x)则C=+C：=(n—彳产+才.因。£耳故当】】=10或11时上式有最小值，也就是m=n和n=10,或m=10和n=ll时，x?的系数最4K8、自然数n为偶数时，求证：1+2C；+C：+2C：+C：+…+2C『+C：=3・211T8、原式=©+C；+C；+…+C：-1+c：)+(C；+C：+C；+…+C>)=2a+2,=3.2,9、求80口被9除的余数.9、8011=(81-1)11=C：81"-C；]8#。+…+C；：81-1=8U(kgZ),Vk€Z,A9k-ieZ,1.8严被9除余8.10、在(x?+3x+2)5的展开式中，求x的系数.10、(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5在仪+1户展开式中，常数项为1,含x的项为C；=5x,在(2+x)5展开式中，常数项为2』32,含x的项为C；24x=80x展开式中含X的项为1-(80x)+5x(32)=240x,此展开式中x的系数为240.11、求(2x+l产展开式中系数最大的项.H、设T用的系数最大，则T用的系数不小于T「与T-2的系数，即有G，>2c7

2G>C^...展开式中系数最大项为第5项，T5=16C；2x4=7920x4二、典型例题例1在二项式［4+药；)的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项.分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决.解：二项式的展开式的通项公式为：”£：而［表［=<4广前三项的r=0,1,2.得系数为：乙="=C：|=>74=C：J=L/(77-1),ZZ 4o由已知：2%='+13/7=1+-n(n-1),8/•n=8通项公式为［ 16-3/Tr+l=C；口-=0,1,2…8,&］为有理项，故16—3r是4的倍数，2Z.r=0,4,8.依次得到有理项为z=x\T5=C； =—xJ9=C；~^x-2=—x2.2 8 2 256—Word—Word行业资料分享-可编辑版本-双击可删一—Word—Word行业资料分享-可编辑版本-双击可删一一一Word行业资料分享一可编辑版本-双击可删一说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r的取值，得到了有理项.类似地，（、反+“）⑼的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中「的取值，得到共有17页系数和为3”.典型例题二例4（1）求（1—1）11+40展开式中V的系数；（2）求（X+」+2）6展开式中的常数项.X分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式.解：（1）（1—刈3（1+1）】°展开式中的炉可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：用（1-刈3展开式中的常数项乘以（1+X）】。展开式中的炉项，可以得到C：0x5；用（1—#3展开式中的一次项乘以（1+灯°展开式中的x4项可得到（—3x）（C：。/）=-3C；ox5；用（17）3中的x2乘以（1+对。展开式中的/可得到3/• =3c.用（1—刈3中的炉项乘以（］+打。展开式中的项可得到-3^-C;ox2=-Cfox5,合并同类项得了项为：C3cm5=—63/.（2）工+白+2=C3cm5=—63/.（2）工+白+2=（4+9）（X++2） ）♦由（«+%）展开式的通项公式7；+1=/r（十）墨=924.说明：问题（2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决.项式展开的问题来解决.典型例题三例5求（1+X—丁）6展开式中/的系数.分析：（1+X—/）6不是二项式，我们可以通过1+X——=（1二可得展开式的常数项为这时我们还可以通过合并项转化为二+X）-/或1+。一丁）把它看成二项式展开.解：方法~-：(1+x—厂)。=[(1+x)—%〜]6=(1+x6)-6(1+x)5x2+15(1+x)4x4 其中含炉的项为c*5一6C>5+15C%5=6x5.含炉项的系数为6.方法二：Q+x—x~)6=l+(x—厂)『=l+6(x-x2)+15(x-x2)2+20(x-x2)3+15(x-x2)4+6(x-x2)5+(x-x2)6其中含炉的项为20(-3)x5+15(-4)x5+6x5=6x5.:./项的系数为6.方法3：本题还可通过把(1+1-/)6看成6个1+X-/相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项，/项可由下列几种可能得到.5个因式中取X,一个取1得到C"'.3个因式中取x,一个取—两个取1得到C〉C*3.(_^).1个因式中取X,两个取—三个取1得到CbC〉・(—£)2.合并同类项为©-C：C；+C；C；)J=6x5,x5项的系数为6.典型例题四例6求证：(1)C：+2C；+…+〃C：=〃-2"T；(2)C：+；C：+；C：+…+々(2：=工(2血一1).2 3 77+1 〃+1分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值.解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质C：+C：+C：+…+C；；=2".解：(1)-/kCkH=k^；?? =~~~~~~=〃Gf=心；k\(n-k)\(k-l)\(n-k)\ (k—l)!(〃+k)!••・左边=〃C：T+〃C：T+…+〃C：二；=〃（C：T+C：T+…+c=；）=〃・2〃T=右边.—Word—Word行业资料分享一可编辑版本一双击可删一—Word—Word行业资料分享一可编辑版本一双击可删一(2)1c*=1川_川(2)ITT”-ITT.k!(〃_Q!_出_1)!(〃_k)!1(H+l)!ZT6+1)!(〃_k)!一・♦・左边得4・♦・左边得4+ 71+1, 1 Ic2 —CJ〃十1十 十1J〃+177+1=占(C3+C；+1+…+c；；：；)=白(2用一1)=右边•说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质求解.此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式定理才能完成，所以需仔细观察,我们可以看下面的例子：求29C；：+28C：o+27C：0+-+2C；o+10的结果.仔细观察可以发现该组合数的式与(1+2)1°的展开式接近，但要注意：(l+2)10=C?04-Ci0.24-Cf0.22+-+C：0.29+Ci；.210=1+2x10+22C；0+---+29Cf0+210C；：=1+2(10+26。+--28玛。+2七；：)从而可以得到：10+2C；。+…+28C：o+29C；：=i(310-1).典型例题五例7利用二项式定理证明：32"+2-8〃—9是64的倍数.分析：64是8的平方，问题相当于证明T”+2-8〃-9是8?的倍数，为了使问题向二项式定理贴近,变形3*+2=9向=(8+1)田，将其展开后各项含有葭，与8?的倍数联系起来.解：V32,,+2-8n-9=9"M—8〃-9=(8+l)n+l-8n-9=8,,+1+C；,+1-8"+…+C：；182+Ct1•8+1—8〃一9=8n+1+C：+]•8"+…+C；；；；•82+8(〃+1)+1-8〃-9=8鹏+4/8»-+£：*82=(8*|+C"•8"-2+…+C：；；)•64是64的倍数.说明：利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些更杂的指数式除

以一个数的余数.典型例题六以一个数的余数.典型例题六例8展开2x——-.I2厂；分析L用二项式定理展开式.解法hI 2厂J=。；（2炉3273+2x2+G(2x)-+C(2x)22x=。；（2炉3273+2x2+G(2x)-+C(2x)22x22x2=32x-204度一空+坐2438x732fo分析2：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开.解法2：解法2：2x-2x2函-3)

32x10仁C+G(4x)(-3)+或(4丁)1-3)2+C14/)2(_3)3+C；(4x)(-3)4+C1—3)5]—!-?(1024v15-3840.v12+5760a9-4320a6+1620x3-2437)32x=32x5-120x=32x5-120x2+180135405243 1 48x732fo说明:的二项式,有时先化简再展开会更简便.说明:的二项式,有时先化简再展开会更简便.记准、记熟二项式m+b）〃的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件.对较复:杂典型例题七例9若将（x+y+z）］。展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（ ）.A.11B.33C.55D.66分析：（X+），+ 看作二项式［（X+），）+［-展开.解：我们把x+y+z看成*+y）+z，按二项式展开，共有11“项”，即10a+y+zyo=［（%+y）+zr=£/（］+ypi•/.A=0WordWord行业资料分享-可编辑版本-双击可JWWordWord行业资料分享-可编辑版本-双击可JW这时，由于“和”中各项Z的指数各不相同，因此再将各个二项式展开,不同的乘枳。工（工+），）也忆2人（&=0,1,・・・，10）展开后，都不会出现同类项.下面，再分别考虑每一个乘积小。+了产人"（攵=0,1,…，10）.其中每一个乘积展开后的项数由（x+y）l^k决定，而且各项中x和y的指数都不相同，也不会出现同类项.故原式展开后的总项数为11+10+9+…+1=66，工应选D.典型例题八（1Y例10若X+—2的展开式的常数项为一20,求〃.\x）当xvO分析：题中XW0,当x>0时，把三项式（丫+[-2）转化为（工+：一当xvO时,1同理x+——2

x=(一时,1同理x+——2

x=(一1)〃然后写出通项，令含X的幕指数为零，进而解出〃.解：当x>0时x+—丁小=6.（4广」（—七）「=（一1）/士（五产丁小=6.（4广」（—七）「=（一1）/士（五产7「，令2/7-2r=0,得〃=r,.••展开式的常数项为（-1）"C£；(1)当x〈0时，x+——2\x)同理可得，展开式的常数项为（-1厂c2.无论哪一种情况，常数项均为（-令（一1）〃。1=-20，以〃=1,2,3,・・・，逐个代入，得〃二3・典型例题九—Word—Word行业资料分享一可编辑版本一双击可删一—Word—Word行业资料分享一可编辑版本一双击可删一例11的展开式的第例11的展开式的第3项小于第4项，则X的取值范围是分析：首先运用通项公式写出展开式的第3项和第4项，再根据题设列出不等式即可.解：使y[x10有意义，必须解：使y[x10有意义，必须x>0；依题意，有7；<7；,即。鼠6)810x9厂10x9x8 1 … 八、 Jx< X—=(•x>0).2x1 3x2x1Vx解得0<x<§浜品.

9•••x的取值范围是V6•••x的取值范围是V648Q••・应填：0cx〈一浜品.9典型例题十例12已知(小彩'+1)”的展开式中有连续三项的系数之比为1：2：3,这三项是第几项？若展开式的倒数第二项为112,求x的值.解：设连续三项是第八攵+1、Z+2项且女>1),则有C：t：C；：£”=1：2：3,Hn〃! n\.n!即 ■ ■ =(k一1)(〃一女+1)!k\(n-k)\(k+1乂〃一左一1)!, ! : ] : ] =]：2：3・・(〃一女)(〃一&+1)*k也-k)k(k+i)*k(n-k) _1 {k_1.(n-k)(n-k+l)~2n-k+l~21(〃+1)_2 (1+1)_2k(n-k) 3 (n-k) 3=>77=14,k=5所求连续三项为第5、6、7三项.又由已知，C；：/2=112.即金限'=8.两边取以2为底的对数，(log2X)2=3,log2x=±V3,说明：当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项，根据已知条件列出某些等式或不等式进行求解.典型例题十一例13(1+2])〃的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.分析：根据已知条件可求出〃，再根据〃的奇偶性；确定二项式系数最大的项.解：7；=C：(2M=7；=C：(2x)6,依题意有C：25=c：26n〃=8.•••(l+2x)s的展开式中，二项式系数最大的项为7；=C；(2x>=H20x4.设第厂+1项系数最大，则有=>5<r<6.C；-2r>a+1-2r+1•”=5或r=6（：r£{0,1,2,…，8}）.工系娄最大的项为：7；=1792x5,71=1792说明：(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，〃为奇数时中间两项的二项式系数最大，〃为偶数时，中间一项的二项式系数最大.(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得.典型例题十二例14设/(x)=(l+x)〃'+(l+x)”(m,〃£M),若其展开式中关于X的一次项的系数和为11,问〃为何值时，含V项的系数取最小值？并求这个最小值.分析：根据已知条件得到/的系数关于〃的二次表达式，然后利用二次函数性质探讨最小值问题.解：C；+C：=〃+m=U・—）=〃/+'-11—）=〃/+'-11110-2/777?, =ir2，〃二5或6,〃?=6或5时，/项系数最小，最小值为25.11 99 11说明：二次函数)，="——『+一的对称轴方程为工=—,即x=5.5,由于5、6距5.5等距离,11 99且对〃wN+，5、6距5.5最近，所以(〃一万尸十7~的最小值在〃=5或〃=6处取得.典型例题十三例15若(3x-l)7=a7x7+a6x6+---+671x+f/0,求(1)4+生+一+%；(2)。1+生+。5+。7；(3)a^+a2+a4+a6.解:(1)令X=0,则。0=-1,TOC\o"1-5"\h\z令x=l,则e+。6+…+/+《)=27=128. ①/.兄+・・・十亿=129.(2)令X=—1»则_ +4_/+44_+生_Q]+=(—4)，由“一必得:4+生+。5+。7=！[128—(-4)7]=82562 2⑶由亨得:乙aQ+a2+a4+a6lrz 、=—[(。7+/+。5+%+。3+生+4+。0)2+(一。7+。6—。5+44一。3+生一+。0)]=1[128+(-4)7]=-8128.说明：(1)本解法根据问题恒等式特点来用“特殊值”法.这是一种重要的方法，它适用于恒等式.(2)一般地,对于多项式g(x)=(px+夕)”=aQ+aYx+a2x2+-+anxn,g(x)的各项的系数和为g(l)：g(x)的奇数项的系数和为，g(l)+g(—1)].g(x)的偶数项的系数和为;[g(l)-g(-l)].典型例题十四WordWord行业资料分享-可编辑版本-双击可JW—Word—Word行业资料分享-可编辑版本-双击可删一例16填空：(1)2"—3除以7的余数；(2)55"+15除以8的余数是分析(1)：将2"分解成含7的因数，然后用二项式定理展开，不含7的项就是余数.解：2"-3=(23)]。-3=(8)10-3=(7+1)10-3+…+或7+C；：-3=7、079+铲+…+/]—2又•・•余数不能为负数，需转化为正数・•・28—3除以7的余数为5・•・应填：5分析(2)：将55”写成(56-1)”，然后利用二项式定理展开.解：5555+15=(56-1产+15=C；55655Y5654+…+456-点+15容易看出该式只有—C；；+15=14不能被8整除，因此5555+15除以8的余数，即14除以8的余数,故余数为6.，应填：6.典型例题十五(1Y< 1丫*例17求证：对于〃£%+，1+-<1+——Vn)\n+l)证明：1+-展开式的通项【〃)TL1Pn1r^=Cn-=—rynr!n1/?(/?-1)(〃-2)…(〃-r+1)

1丫*1+—— 展开式的通项/7+1；A；

r!(w+l)r小一)(1-)-(1—小一)(1-)-(1—胃.

〃+1/r+177+1由二项式展开式的通项明显看出5+1<(+…/r+177+11所以1+—V〃)说明：本题的两个二项式中的两项为正项，且有一项相同，证明时，根据题设特点，采用比较通项大小的方法完成本题证明.典型例题十六例18在Cd+3x+2y的展开式中x的系数为( ).A.160B.240C.360D.800分析：本题考查二项式定理的通项公式的运用.应想办法将三项式转化为二项式求解.解法1：由(x2+3x+2)5=[(.k2+3x)+2『，得/+l=C+3x产•2,=C：•2k•(x2+3x)5-k.再一次使用通项公式得,"以・2/(鼠3产口一，这里0KZK5,0<r<5-k.令10-2%一r=1,即2&+厂=9.所以厂=1,k=4,由此得到x的系数为C；"-3=240.解法2：由(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5,知(x+4的展开式中x的系数为《，常数项为1,。+2)5的展开式中x的系数为C02)常数项为25.因此原式中x的系数为C/-25+C/-24=240.解法3：将，+3x+2)5看作5个三项式相乘，展开式中x的系数就是从其中一个三项式中取3x的系数3,从另外4个三项式中取常数项相乘所得的枳，即C；-3-C>2』=240.典型例题十七TOC\o"1-5"\h\z(a 9例19已知——』一的展开式中/的系数为乙，常数。的值为xV2 4\/分析：利用二项式的通项公式.解:的展开式中,解:的展开式中,通项公式为=c；(—)•炉t.2 o根据题设，一r―9=3,所以〃=8,代入通项公式，得7；=—4犬.2 169 9根据题意，—a=—，所以。=4.16 4・•・应填：4.典型例题十八例20⑴求证：1—3C；+32,C：—33c+…+(—1)〃3〃=(—2)〃(2)若(2x+y/3)4=+ClyX+ChX~+//+Cl4X^，求(。0+。2+“4)~—(。1+。3)一的值.分析：(1)注意观察(l+x)”=l+C%+C；V+…+C；x”的系数、指数特征，即可通过赋值法得到证明.(2)注意至|J(&+冬+%/一(4]+%):=(。0+%+%+%+%)•(40一生+生一。3+%)，再用赋值法求之.解：(1)在公式(l+x)”=l+C%+C：/+…+C3'中令工二-3,即有(1-3)〃=1+C；(―3)1十一(-3)2+…+C：(―3)”=l-3-C>32-C;---+(-l)n-3n・•・等式得证.(2)在展开式(2工+6)4=%+。/+生工2+。3工3 中，令X=l，得&+《+生+。3+。4=(2X+6)4；令x=-1,得/—q+用-%+4=(-2+ -—Word—Word行业资料分享-可编辑版本-双击可删一—Word—Word行业资料分享一可编轼版本-双足可制一/.原式=（册+q+生+%+%）・（g—%+生_%+a4）=（2+石2+VJ）4=l.说明：注意“赋值法”在证明或求值中的应用.赋值法的模式是，在某二项展开式，如（67+bx）"=a0+atx+a2x2+••■+anx,1^（a+b）n=C^an+C\an~lb+C~an~2b2+…+C,»”中，对任意的xeA（4,Z?£A）该式恒成立，那么对4中的特殊值，该工也一定成立.特殊值x如何选取，没有一成不变的规律，需视具体情况而定，其灵活性较强.一般取工=0,1,-1较多.一般地，多项式/a）的各项系数和为了⑴，奇数项系数和为g[/⑴,偶次项系数和为+/（-1）] •二项式系数的性质C：+C+C；+…+C：=2〃及C：+C：+C：+…=C：+C；+第+…=2"t的证明就是赋值法应用的范例.典型例题十九例21若〃£川,求证明：3?”+3-24〃+37能被64整除.分析：考虑先将32"3拆成与8的倍数有关的和式，再用二项式定理展开.解：32,,+3-24/?+37=3-32h+2-24/?+37=3・9"i-24〃+37=348+1严—24〃+37=3-[C：+1.8f+%8"+C；+1.8"t+…+C；；+1・8+C：：11]-24,/+37=3.[8,,+1+C：+1•8"+C;+1•8”t+…+（〃+1）.8+1]—24〃+37=3.[8,,+1+Cl•8"+C;+1-8"-】+…+C；；；；-82+（8〃+9）]-24〃+37=3-82[8”t+.8"7+C；+1.8”t+••■+C；；；]+3•（8〃+9）—24〃+37=3.64[8”t+c,\.8"-+C；+1-8"t+■•]+64,C3-8't,C；+「8”7,…均为自然数，・•・上式各项均为64的整数倍.・••原式能被64整除.说明：用二项式定理证明整除问题，大体上就是这一模式，先将某项凑成与除数有关的和式，再展开证之.该类题也可用数学归纳法证明，但不如用二项式定理证明简捷.典型例题二十例22已知(炉+3/)〃的展开式各项系数和比它的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项.分析：先由条件列方程求出〃.(1)需考虑二项式系数的性质；(2)需列不等式确定r.解：令x=l得展开式的各项系数之和为(1+3)〃=22",而展开式的二项式系数的和为C+C+U+…+。；=2”，・•・有22n-2"=992./•77=5.(1);〃=5,故展开式共有6,其中二项式系数最大的项为第三、第四两项.A7；=C;(x7)3-(3x2)2=90x6,2 227；=C"户尸小了=270户.(2)设展开式中第r+1项的系数最大.2 10+4r“C・2广・(3/U・/故有3'>Cf1-3一故有Q-3,>Cf1-3r+1r6-r1〉3.5—rr+17 9解得一«,.«—.•••/,eN,Ar=4,即展开式中第5项的系数最大.2 26"=C；.(X，•(3/)4=405说明：展开式中二项式系数最大的项与系数最大的项是两个不同的概念，因此其求法亦不同.前者用二项式系数的性质直接得出，后者要列不等式组：解不等式组时可能会求出几个r,这时还必须算出相应项的系数后再比较大小.典型例题二1例23求证：(1)。：£：；+。：。俨+…+G：C：=G"；(2)。,；+3?。；+34。：+…+3"C：：=2・4"t+2"T(〃=2K,〃eN*)分析：(1)注意到两列二项式两乘后系数的特征，可构造一个函数：也可用构造一个组合问题的两种不同解法找到思路.(2)同上构造函数，赋值.证明：(1)(法1)•・•(1+x)m+,'=(l+x),n-(1+x)",・•・(1+ =(1+C>+C>2+…+C^xm)(1+Qx+C;x2+…+C：x”).・•・此式左右两边展开式中N的系数必相等.左边d的系数是右边Y的系数是：・C：•q+C・。俨+C；y2+…+M•C：=C].等式成立.(法2)设想有下面一个问题：要从〃个不同元素中取出P个元素，共有多少种取法？该问题可有两种解法.一种解法是明显的，即直接由组合数公式可得出结论：有/+“种不同取法.第二种解法，可将〃7+”个元素分成两组，第一组有加个元素，第二组有〃个元素，则从帆+〃个元素中取出P个元素，可看成由这两组元素中分别取出的元素组成，取法可分成p+1类：从第一组取p个，第二组不取，有种取法；从第一组取P—1个，从第二组取1个，有种取法，…，第一组不取，从第二组取尸个.因此取法总数是*C+crc+cr2C+-TC〉c〉而该问题的这两种解法答案应是一致的，故有C：•1+C：•c7+0•G尸+…+c：•叱=G篙♦(2)・・・〃为偶数,・•・(1+3)"=C；+3a+32C,；+---+3”C：；(1—3)〃=C：-3C；+32C；-…+3”C；.两式相加得4"+2"=2(C：+32C;+3，C：+…+3y),・•・C：+32C+3"C：+…+3"C：=2-4"T+2"T.说明：构造函数赋值法，构造问题双解法，拆项法、倒序相加法都是证明一些组合数恒等式(或求和)的常用方法.排列与组合—Word—Word行业资料分享-可编辑版本-双击可删一—Word—Word行业资料分享-可编辑版本-双击可删一学习目标掌握排列、组合问题的解题策略重点（1）,特殊元素优先安排的策略：（2）,合理分类与准确分步的策略；（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；（4）正难则反、等价转化的策略；（5）相邻问题捆绑处理的策略；（6）不相邻问题插空处理的策略。难点综合运用解题策略解决问题。学习过程：（1）知识梳理.分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有几类办法，在第一类中有机1种有不同的方法，在第2类中有叫种不同的方法……在第n类型有种不同的方法，那么完成这件事共有N=矶+，叫+……+m„种不同的方法。.分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有皿种不同的方法，做第2步有m?种不同的方法……，做第n步有1、种不同的方法；那么完成这件事共有N=叫xx…xmn种不同的方法。「将京嚏施「芬灵讦薮原速写工一芬奥:有芙,…妻正，邕…二奚;写二溪:乏血而深有面额豆荏加反疥电「芬加讦;数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地:分类、分步，做到不重复、不遗漏。I々「耶琬…乐，不示商南克蛋吊标记加辰万不完藁…建三还房看戢二麻…而蔽垢;;不示同完素吊成山m个元素的一个排列..排列数：从〃个不同元素中取出现加9）个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出〃，个元素的一个排列.从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号A；：表示..排列数公式：A'"=n(n-l)••(??-/??+1)=—————(〃?<n,meN)(n-/?/)!特别提醒：（l）规定0!=1（2）爸看口J童完赛的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素七，a,......a.其中限重复:数为m、n：......nu,且n=ni+n：+......nk,则S的排列个数等于〃= - .勺!〃2!...〃/例如：己知数字3、2、2,求其排列个数〃=3=3又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!2!.组合：从n个不同的元素中任取。（加9）个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合..组合数公式：>有：…（〃-〃?+>c"-〃！"A： m\ ".两个公式：①_C：=CT；②c"L,；+c'；；=c痔朝盘随:…有的写谢磨而联系写成面 联系：都是从A个不同元素中取出R个元素.区别：前者是''排成一排〃，后者是''并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.（2）典型例题考点一:排列问题例1,六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端.考点二:组合问题例2,男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.考点三:综合问题例3,4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？当堂测试1,从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 （）A,70种B,80种 C,100种D,140种2,2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导