平面向量在三角形中的应用

关于平面向量在三角形中的应用第一页，共二十页，编辑于2023年，星期一【考纲要求】1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.2、掌握向量的加法和减法.3、掌握实数与向量的积，理解两个平面向量共线的充要条件.4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标概念，掌握平面向量的坐标运算.平面向量在三角形中的应用第二页，共二十页，编辑于2023年，星期一【教材重点、难点】重点：向量的加（减）法与共线向量的充要条件难点：平面向量基本定理的灵活应用课本基础知识的延伸：线段中点的向量表达式：若P为线段AB的中点，则2.若点P，A，B共线，则4.若不共线，，则3.若G为△ABC的重心，则反之亦然.第三页，共二十页，编辑于2023年，星期一例1.（09宁夏、海南）已知O，N，P在所在平面内，且，则点O，N，P依次是的（）A．重心外心垂心B．重心外心内心C．外心重心垂心D．外心重心内心C解：由知，O为的外心；同理∴Ｐ为的内心．知，N为的重心；由典型例题第四页，共二十页，编辑于2023年，星期一1.1在同一平面上，有△ABC及一点满足关系式，则A．内心 B．垂心 C．外心 D．重心是△ABC的（）变式训练：1.2已知O是△ABC所在平面内的一定点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．内心 B．垂心 C．外心 D．重心1.3已知O是△ABC所在平面内的一定点，动点P满足，A．内心 B．垂心 C．外心 D．重心，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）第五页，共二十页，编辑于2023年，星期一1.1在同一平面上，有△ABC及一点满足关系式，则A．内心 B．垂心 C．外心 D．重心是△ABC的（）解：由即：化简有：同理有：为的垂心.B变式训练：第六页，共二十页，编辑于2023年，星期一1.2已知O是△ABC所在平面内的一定点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）A．内心 B．垂心 C．外心 D．重心解：由已知所以动点P的轨迹一定通过△ABC的内心.A变式训练：ABCDEFP第七页，共二十页，编辑于2023年，星期一1.3已知O是△ABC所在平面内的一定点，动点P满足，A．内心 B．垂心 C．外心 D．重心，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）解：由正弦定理知：又所以故点P轨迹通过△ABC的重心．D变式训练：ABCDP第八页，共二十页，编辑于2023年，星期一的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数

．解法一：特例法．为一个直角三角形，则O点斜边的中点，设顶点，这时有H点为直角，

高考真题再现解法二：连BO延长交⊙O于D，连AD、CD.CH∥DA同理，AH∥DC，又OHABDC∴四边形AHCD为平行四边形．CAHBO第九页，共二十页，编辑于2023年，星期一ABCOGH三角形的欧拉线：外心O、重心G、垂心H三点共线且OG=GH第十页，共二十页，编辑于2023年，星期一ACBDPENM解法一：利用平面向量基本定理例2.设P为△ABC内一点，且满足，则

．典型例题第十一页，共二十页，编辑于2023年，星期一法二：构造三角形的重心．

取点D使得则点P为△ABD的重心，连接BD,·P·DABC例2.设P为△ABC内一点，且满足，则

．第十二页，共二十页，编辑于2023年，星期一变式训练：2.1已知P为△ABC内一点，且满足，则面积之比为

．2.2设O为△ABC内一点，记，则

．第十三页，共二十页，编辑于2023年，星期一变式训练：2.1已知P为△ABC内一点，且满足，则面积之比为

．解法一：利用平面向量基本定理得

由第十四页，共二十页，编辑于2023年，星期一2.1已知P为△ABC内一点，且满足，则面积之比为

．法二：构造三角形及重心．则P为的重心.令第十五页，共二十页，编辑于2023年，星期一解法一：特例法．取O为△ABC的重心，则

2.2设O为△ABC内一点，记，则

．变式训练：第十六页，共二十页，编辑于2023年，星期一

ＣBＡODE2.2设O为△ABC内一点，记，则

．由题知法二：过O分别作ＡＣ、ＡＢ的平行线OD、OE，交ＡＢ于D，交ＡＣ于E，则第十七页，共二十页，编辑于2023年，星期一引申：设O为△ABC内一点，记=m,则分别为

．第十八页，共二十页，编辑于2023年，星期一2、已知A、B、C是平面上不共线的三点，O为平面ABC内A．内心 B．垂心 C．外心 D．重心任一点，动点P满足等式则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）3、已知G为△ABC的重心，令点G分别交AB，AC于P，Q两点，且，则，若PQ过

．4、△ABC外接圆的圆心为O，且，则角

．1、