无穷小量和无穷大量

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．§1-3无穷小量无穷大牛顿-莱布尼茨的微积分中说的无穷小数们在说无穷小量是不同的当时说“穷小数设想为像虚数那神秘的理想元素于论基础上的缺,以当时就陷入了没有结果的争论之中是当时像罗

这的一些数学家们不接受微积分的原因之一。近代微积分的奠基人柯西从严处理了微积分的基本概念并“无穷小量”说成是极限0的量，即称变量

为无穷小量，若它在无限变化过程中总那么一个时刻这时刻以后够使绝对值如，

小于预先给出的任何正数数列

,(nm

和当

x0时函数xn

n

xsinxtan

等都是无穷小量穷小量在微积分中起的作用相当于常量数学中它是常量[

(x

是一个特]，所以又不同于“个极限过程n或

）中的无穷小量就简记成

[读作“小欧能读作]。欧“o”牛顿当用过的记定特别，

f()f(x))(x(分必要条)

.函

f(x)

在

连

(f(c)x)

（）证若

limf(x)，lim[)]

，即x

xf(x)或f(x)(1)(反之，若

f()Cx

，则特别，当函数f(x)在连时，因为

limf)f()

，所以有结论※例如，当c

时，

xcxn(1)

，

sin(1)

，

cosxcos(1)1.无小的运规利用极限的运算规则，容易证明无穷小量的下述运算规则：若(1)

是某一个极限过(

或

)中的无穷小量，根据极限的运算规则，则有⑴

oo)

[其中

是有界变特别它可以是常；⑵o(1)(1)

，o1)

.它们与常量的运算规则是不同2.无小的比在某一个极限过程中，把某一个不0值无穷小

看作“基本无穷小量把另一个无穷小则在这个极限过程中，

与基本无穷小量

相比较.若有极限⑴当

l0

时，称

与

为同阶无穷小.特别，当l

时，称

与

为等价无穷小量，

记号

读作“大欧不能读作“零

333333并记成

或

.例如

x(x0)

，

tanxx

，因为⑵当l时与比较称高阶无穷小量记.例如当时，

x

32

x),

2

(x)

.例8

limx

tansin3x

x1

33xx2sin注意，其中当1时

tan3

3

3

2

3

.定设

和

在某一个极限过程中是等价无穷小量，则在这个极限过程中，(

)lim(

)

（等无小替换[和或差的极限l

)不用等价无穷小量替换]证

lim

lim

.例如，当x0时因为

x2,x2

，所以再如，当时，因为tan

x

x，sin

3

x

2

3

x

2

，以例8就以简单地做成定1-3若某一个极限过程中是基本无穷小量，则在这个限过程中，有高阶无穷小量的运算规⑴

(

（

为有界变量，特别可以是常数⑵

o1)

，其中

o1)

是无穷小量;⑶

o

；

)

.证明是简单的，譬如证.根据限的运算规则，因为所以

((

；而因为所以

(

)

.定4若都同一个极限过程中的无穷小量，则在这个极限过程中

[两等无小相一高无小证

(

因为

据定理1-1，(1)以

.)

因为

lim

所以例如，因为

x0)

，所以可把它等价地写成

x(x)(0)

；同理，xx()(0)

.

1．．．．．sinx1．．．．．sinx3.无大量无极)称个量

为无穷大量，若变量

在无限变化过程中，总有那么一个时刻，在这个时刻以后，能够使绝对值

大于预先给出的任何正数，简记成“

”特别，若能够使

大于预先给出的任何正数，则称变量

为正无穷大量，简记成“

能够使

小于预先给出的任何负数，则称变量

为负无穷大量，简记成“

”“无穷大量”与“无穷小量”是两个对偶的概念，因此有下面对偶的结设量y某一个极限过程中不取数0.

在若量

是穷量则倒数就是穷量反之若变y

是穷量则倒

1就无大.具体到函数

yf()

，当自变量某个极限过程，若函数

f(x

是无穷大量或正无穷大量或负无穷大量，就依次记成请读者注这些都是记号时口语上也极是无穷大们没有前面说的那种有穷极限的含义和运算规则！例9求

limx

axxn1nbxxm

(ab0)m

.解当

n

时，分子分母同除以

xn

m

，则有当时分子分母同除以xm，则当

n

时，因为

limx

bxxm1axx1n

，所以倒的极限)根提做题1.求下面的极限（或用例9的结直接写出答案，或者像例9那重新计算⑴

lim

xx2x

⑵

lim

3x2

⑶

lim

xxx2

答：⑴

45

；⑵

0

；⑶

2x22