高中数学排列组合

高中数学排列组合第一页，共107页。

1.2

排列与组合第二页，共107页。一、排列与排列数第三页，共107页。什么是分类计数原理？什么是分步计数原理？应用这两个原理时应注意什么问题？第四页，共107页。排列第五页，共107页。第六页，共107页。第七页，共107页。第八页，共107页。第九页，共107页。第十页，共107页。第十一页，共107页。排列的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”．“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志．

根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同．1、排列定义如果两个排列所含的元素不完全一样，那么就可以肯定是不同的排列；如果两个排列所含的元素完全一样，但摆的顺序不同，那么也是不同的排列．

一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.第十二页，共107页。对“n取m的一个排列”的认识：1、元素不能重复。n个中不能重复，m个中也不能重复。2、“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。4、m＜n时的排列叫选排列，m＝n时的排列叫全排列。5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用“树形图”。第十三页，共107页。2、排列数第十四页，共107页。第十五页，共107页。第十六页，共107页。第十七页，共107页。第十八页，共107页。第十九页，共107页。第二十页，共107页。第二十一页，共107页。1.排列数公式的特点：第一个因数是n,后面每一个因数比它前面一个因数少1,最后一个因数是n－m＋1,共有m个因数．3、排列数公式第二十二页，共107页。例1.下列问题中哪些是排列问题？（1）10名学生中抽2名学生开会（2）10名学生中选2名做正、副组长（3）从2,3,5,7,11中任取两个数相乘（4）从2,3,5,7,11中任取两个数相除例题选讲第二十三页，共107页。（5）20位同学互通一次电话（6）20位同学互通一封信（7）以圆上的10个点为端点作弦（8）以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线（9）有10个车站，共需要多少种车票？（10）有10个车站，共需要多少种不同的票价？第二十四页，共107页。第二十五页，共107页。第二十六页，共107页。()().算步乘法计数原理进行计只能用分,条件符合使用排列数公式的因此不,可能相同由于不同的人得到的书,中2而;属于求排列数问题,到的书的书各人得,名同学3本送3不同的书同的书本5是从1:中两两个问题的区别在3例第二十七页，共107页。第二十八页，共107页。第二十九页，共107页。第三十页，共107页。第三十一页，共107页。例5.计算：（1）（2）（3）例6.解方程：例7.求证：例8.求的个位数字例9.求的值第三十二页，共107页。排列及排列数公式的应用1、排列定义一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，简称“n取m的一个排列”。知识回顾第三十三页，共107页。2、排列数公式乘积式阶乘式第三十四页，共107页。能力要求1、能分清楚排列和非排列问题2、能灵活应用排列数公式3、能用排列知识解决简单的排列问题第三十五页，共107页。例题讲解1、排列的判断例1.下列问题中哪些是排列问题？若是，请用排列数公式写出答案。（1）从高二(9)班50名同学中选出3人去参加劳动，有多少种选法？（2）从高二(9)班50名同学中选出3人去参加3项不同的劳动，有多少种选法？第三十六页，共107页。（3）从0,1,2,3，…，9共10个数字中选出两个作为元素组成集合，有多少个不同的集合？（4）从0,1,2,3，…，9共10个数字中选出两个分别作为横纵坐标(x,y),有多少个不同的坐标？第三十七页，共107页。（5）5名同学争夺3个项目的冠军，有多少种不同的情况？（6）5名同学坐3个座位，有多少种不同的情况？（7）5名同学坐8个座位，有多少种不同的情况？第三十八页，共107页。（8）中国足球甲级联赛实双循环赛制，每两只球队都要分别在主场、客场打一场，若有16支球队，一共要打多少场比赛？（9）中国足协杯比赛实行淘汰制，两支球队打一场，胜者晋级，最后决出冠军。若有16支球队，一共要打多少场比赛？（10）中国象棋甲级联赛实行单循环制，每两个队员比赛一场，最后按积分定出名次。若有16个队员，一共要进行多少场比赛？第三十九页，共107页。2、排列数公式例2.求的值例3.解下列方程：（1）（2）第四十页，共107页。2、排列的应用例4.用0,1,2,3,4,5共6个数字选4个组成五重复数字的四位数。(1)共有多少个不同的四位数；(2)共有多少个不同的四位偶数；(3)共有多少个比2041大的四位数。第四十一页，共107页。例5.在7名运动员中选出4名组成接力队参加4×100米比赛，那么甲、乙都不跑中间两棒的安排方法有多少种？第四十二页，共107页。例6.5人站成一排，（1）其中甲、乙两人必须相邻，有多少种不同的排法？（2）其中甲、乙两人不能相邻，有多少种不同的排法？（3）其中甲不站排头，有多少种不同的排法？（4）其中甲不站排头、乙不站排尾，有多少种不同的排法？第四十三页，共107页。1.若从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派的方案有多少种？2.从若干个元素中选出2个进行排列，可得210种不同的排列，那么这些元素共有多少个？3.5个班，有5名语文老师、5名数学老师、5名英语老师，每班配一名语文老师、一名数学老师、一名英语老师，问有多少种不同的搭配方法？跟踪练习第四十四页，共107页。4.计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，那么不同的陈列方式有多少种？5.（1）将18个人排成一排，不同的排法有多少种？（2）将18个人排成两排，每排9人，不同的排法有多少种？（3）将18个人排成三排，每排6人，不同的排法有多少种？第四十五页，共107页。6.5名学生和1名老师照相，老师不能站排头，也不能站排尾，共有多少种不同的站法？7.4名学生和3名老师排成一排照相，老师不能排两端，且老师必须要排在一起的不同排法有多少种？8.停车场有7个停车位，现在有4辆车要停放，若要使3个空位连在一起，则停放的方法有多少种？第四十六页，共107页。9.一条铁路原有n个车站，为适应客运需要增加例m(m>1)个车站,车票增加了62种，问原有多少个车站？10.某天要排语文，数学，英语，物理，化学，体育6节课，其中上午4节，下午2节。（1）若第1节不排体育，最后一节不排数学，有多少排法？（2）若第1节不排体育，下午不排数学，有多少排法？（3）若语文、数学排相邻，有多少排法？第四十七页，共107页。二、组合与组合数第四十八页，共107页。问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？甲、乙；甲、丙；乙、丙3组合第四十九页，共107页。从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,并成一组问题二从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,按照一定的顺序排成一列.问题一排列组合有顺序无顺序第五十页，共107页。一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.排列与组合的概念有什么共同点与不同点？

1、组合定义第五十一页，共107页。组合定义:一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．排列定义:一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素”不同点:

排列与元素的顺序有关—改变顺序不相同，组合与元素的顺序无关—无顺序，或唯一顺序。对“排列、组合”的认识：第五十二页，共107页。思考一:aB与Ba是相同的排列，还是相同的组合?为什么?思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?１）元素相同；２）元素排列顺序相同.元素相同构造排列分成两步完成，先取后排；构造组合就是其中一个步骤.思考三:组合与排列有联系吗?第五十三页，共107页。例1.判断下列问题是组合问题还是排列问题?(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个?(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?有多少种不同的火车票价？组合(3)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次?组合组合组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果.排列第五十四页，共107页。例2.从a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是:ab,ac,bc

例3.已知4个元素a,b,c,d,写出每次取出两个元素的所有组合.abcd

bcd

cd

ab,ac,ad,bc,bd,cd(3个)(6个)第五十五页，共107页。从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.如:从a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是:如:已知4个元素a、b、c、d,写出每次取出两个元素的所有组合个数是：注意：

是一个数，应该把它与“组合”区别开来．2、组合数第五十六页，共107页。写出从a,b,c,d四个元素中任取三个元素的所有组合和排列，并探究二者的关系。abc，abd，acd，bcd.bcddcbacd探究第五十七页，共107页。组合排列abcabdacdbcdabcbaccabacbbcacbaabdbaddabadbbdadbaacdcaddacadccdadcabcdcbddbcbdccdbdcb（三个元素的）1个组合，对应着6个排列你发现了什么?第五十八页，共107页。对于，我们可以按照以下步骤进行第五十九页，共107页。排列与组合是有区别的，但它们又有联系．一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分为以下2步：第1步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数．第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数．根据分步计数原理，得到：因此：

这里m,n是自然数，且mn，这个公式叫做组合数公式．3、组合数公式第六十页，共107页。组合数公式:从n个不同元中取出m个元素的排列数第六十一页，共107页。组合数公式:排列数公式：规定：第六十二页，共107页。例1.计算：⑴

⑵

例2.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛，（1）列出所有各场比赛的双方；（2）列出所有冠亚军的可能情况.（2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁

乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙（1）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁解：（3）已知：，求n的值。第六十三页，共107页。例3.第六十四页，共107页。3.10名学生，7人扫地，3人洒水，那么不同的分工方法有

种；1.用m、n表示2.从8名乒乓球选手中选出3名打团体赛，共有

种不同的选法；如果这三个选手又按照不同顺序安排，有

种方法.练习第六十五页，共107页。例1.在产品检验中，常从产品中抽出一部分进行检查.现有100件产品，其中3件次品，97件正品.要抽出5件进行检查，根据下列各种要求，各有多少种不同的抽法？(1)无任何限制条件；(2)全是正品；(3)只有2件正品；(4)至少有1件次品；(5)至多有2件次品；(6)次品最多.解答：（1）（2）（3）（4），或（5）（6）第六十六页，共107页。1.有10道试题，从中选答8道，共有

种选法、又若其中6道必答，共有

不同的种选法.2.某班有54位同学，正、副班长各1名，现选派6名同学参加某科课外小组，在下列各种情况中，各有多少种不同的选法？（1）无任何限制条件；（2）正、副班长必须入选；（3）正、副班长只有一人入选；（4）正、副班长都不入选；（5）正、副班长至少有一人入选；（6）正、副班长至多有一人入选；练习第六十七页，共107页。例2.从数字1,2,5,7中任选两个有不同的英文书5本,不同的中文书7本,从中选出两本书.(1)若其中一本为中文书,一本为英文书.问共有多少种选法?(1)可以得到多少个不同的和?(2)可以得到多少个不同的差?(2)若不限条件,问共有多少种选法?6个12个35种66种练习第六十八页，共107页。例3.有12名划船运动员,其中3人只会划左舷,4人只会划右舷,其它5人既会划左舷,又会划右舷,现要从这12名运动员中选出6人平均分在左右舷参加划船比赛,有多少种不同的选法?有10名同学，5名会唱歌，7名会跳舞，现选唱歌和跳舞的各一名，有多少种选法？练习第六十九页，共107页。例4.在∠MON的边ON上有5个异于O点的点,OM上有4个异于O点的点,以这十个点(含O)为顶点,可以得到多少个三角形?NOMABCDEFGHI·········第七十页，共107页。1、如图,在以AB为直径的半圆周上有异于A,B的六个点C1,C2,C3,

C4,C5,C6,

AB上有异于A,B的四个点D1,D2,D3,D4,问(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形?(2)以图中12个点(包括A,B)中的四个为顶点,可作多少个四边形?ABD1D2D3D4﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒C1C2C3C4C5C6练习第七十一页，共107页。2、如图两组平行直线有12个交点，平行线间距离相等(1)以这些平行线为边能组成多少个平行四边形?(2)以这些交点为顶点能组成多少个三角形?第七十二页，共107页。3、平面M//N,M内有5个点，N内有4个点，任3点不共线，无其他四点共面.（1）能组成多少条直线?（2）三棱锥？（3）四棱锥？MN第七十三页，共107页。例题（1）求的值

（2）求满足的x值（3）求证：①②（4）求的值1617005或2511两个组合数性质：第七十四页，共107页。701,或3（5）求的值。（1）（2）（3）（4）练习第七十五页，共107页。三、排列与组合综合应用第七十六页，共107页。求证：证明：因为左边=注意阶乘的变形形式：=左边，评注：所以等式成立例1、一、公式的应用第七十七页，共107页。（1）（2）练习第七十八页，共107页。例1、7个高矮不同的人站成一排，分别求下列的不同站法数。（1）甲必须站中间；（2）甲站左端，乙站右端；（3）甲站乙的左边；（4）甲不站左端，乙不站右端；（5）甲、乙中间至少隔二人；（6）最高的同学站中间，两边依次降低；二、捆绑法、插空法、组合法、比例法第七十九页，共107页。（7）甲、乙要相邻；（8）甲、乙不相邻；（9）甲、乙、丙都不邻；（10）甲、乙要相邻，而与丙都不邻；（11）甲、乙要相邻，甲与丙都不邻；（12)甲、乙、丙顺序只能从左到右；（13）甲乙丙顺序从左到右，丁在戊的左边。第八十页，共107页。例2、如图，每个小矩形全等，只能沿着矩形的边沿行走，则从A到B的最短路径有多少条？ABEFGH若菱形EFGH为一个水池，只能沿着其边缘沿行走，则从A到B的最短路径有多少条？第八十一页，共107页。例1、将如图的5个区域染色，要求相邻区域不同色，一个区域染一色，现有5种不同的颜色，有多少种方法？二、染色问题ABCDE第八十二页，共107页。例2、（重庆卷16)某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（16）图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有

种（用数字作答）.

216第八十三页，共107页。例1、求由0,1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数中（1）偶数个数；（2）个位大于十位的个数；（3）个位大于十位，十位大于百位的个数；（4）比3021大的个数。例2、某天排语、数、外、史、生、体6节课，上午4节，下午2节，求下列条件下的排法数。（1）第一节不排体育，最后一节不排数学；（2）第一节不排体育，下午不排数学；（3）语文、数学排相邻。三、分类法、特殊优先法第八十四页，共107页。1、（辽宁卷9）一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（）A．24种 B．36种C．48D．72种

B练习第八十五页，共107页。2、（海南卷9）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有（）A.20种 B.30种C.40种D.60种

A第八十六页，共107页。例1、6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；解：（1）根据分步计数原理得到：种四、不同小球分堆分配问题第八十七页，共107页。例1、6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：(2)分为三份，每份2本；解析：(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有种方法．根据分步计数原理所以．

可得：因此，分为三份，每份两本一共有15种方法所以．第八十八页，共107页。点评：本题是分组中的“均匀分组”问题．一般地：将mn个元素均匀分成n组（每组m个元素）,共有种方法第八十九页，共107页。例1、6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；解：（3）这是“不均匀分组”问题，一共有种方法．（4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有种方法．第九十页，共107页。例1、6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本。解：（5）可以分为三类情况：①“2、2、2型”的分配情况，有种方法；②“1、2、3型”的分配情况，有种方法；③“1、1、4型”，有种方法，所以，一共有90+360+90＝540种方法．第九十一页，共107页。例2、（1）四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？（2）四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？解：（1）根据分步计数原理：一共有种方法；（2）（捆绑法）第一步：从四个不同的小球中任取两个“捆绑”在一起看成一个元素有种方法；第二步：从四个不同的盒中任取三个将球放入有种方法，所以，一共有＝144种方法第九十二页，共107页。练习1、6个人分乘2辆车，每车至少坐2个人有多少坐法？2、5个不同的小球装入编号分别为1,、2、3的三个盒子，每个盒子至少装1个，有多少装法？3、10个不同的小球装入编号分别为1、2、3的三个盒子，每个盒子装的球数不少于其编号数，有多少装法？第九十三页，共107页。思考：6本相同的书，（1）分成三堆，每堆至少1本，有多少分法？（2）分给3个人，每人至少1本？五、相同小球分堆分配问题第九十四页，共107页。规律：n个相同小球装入m个不同盒子，（1）不允许空盒，有多少种不同的方法？（2）允许空盒，有多少种不同方法？例1、(1)求x+y+z=10的正整数解的个数？(2)求x+y+z=10的自然数解的个数？例2、已知字母均为自然数，求满足下列条件的有序数组的个数。（1）（2）第九十五页，共107页。例3、有10个运动员名额，再分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有___________种分法。一班二班三班四班五班六班七班将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为第九十六页，共107页。例4、（1）10个优秀指标分配给6个班级，每个班级至少一个，共有多少种不同的分配方法？（2）10个优秀指标分配到1、2、3三个班，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？分析：（1）这是同种元素的“不平均分组”问题.本小题可构造数学模型，用5个隔板插入10个指标中的9个空隙，既有种方法。按照第一个隔板前的指标数为1班的指标，第一个隔板与第二个隔板之间的指标数为2班的指标，以此类推，因此共有种分法.第九十七页，共107页。（2）先拿3个指标分给二班1个，三班2个，然后，问题转化为7个优秀指标分给三个班，每班至少一个.由（1）可知共有种分法注：第一小题也可以先给每个班一个指标，然后，将剩余的4个指标按分给一个班、两个班、三个班、四个班进行分类，共有种分法.例题解读：第九十八页，共107页。例5、马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？解：（插空法）本题等价于在7只亮着的路灯之间的6个空档中插入3只熄掉的灯，故所求方法总数为种方法第九十九页，共107页。1．5个人分4张同样的足球票，每人至多分一张，而且票必须分完，那么不同的分法种数是

．2．某学生要邀请10位同学中的6位参加一项活动，其中有2位同学要么都请，要么都不请，共有

种邀请方法.3.一个集合有5个元素，则该集合的非空真子集共有

个.4.平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，这两组平行线相交，可以构成

个平行四边形.5．空间有三组平行平面，第一组有m个，第二组有n个，第三组有t个，不同两组的平面都相交，且交线不都平行，可构成

个平行六面体9830练习第一百页，共107页。6.高二某班第一小组共有12位同学，现在要调换座位，使其中有3个人都不坐自己原来的座位，其他9人的座位不变，共有

种不同的调换方法7.某兴趣小组有4名男生，5名女生：