北京市海淀区101中学2015届高三上学期期中模拟考试数学试题Word版含解析

一、填空题（将答案写在答卷纸上相应的地点）1．计算sin(330)。【答案】12【分析】试题剖析：因为sin(330)sin(330360)11sin(30)，所以sin(330)22.考点：随意角的三角函数.2．已知A{y|ysinx,xR},B{y|y2R},则AB。x,x【答案】y|0y1【分析】试题剖析：因为A{y|ysinx,xR}{y|1y1}，B{y|y0}，所以ABy|0y1.考点：会合间的基本运算.3．椭圆3x24y212的离心率为。【答案】12【分析】试题剖析：因为324y212，所以x2y21，所以a2,b3,c1x43所以椭圆的离心率e12.考点：椭圆的性质.4．若(a2i)ibi，此中a,bR,i是虚数单位，则ab。【答案】1【分析】试题剖析：因为(a2i)ibi，所以ai2bi，所以a1,b2，所以ab1考点：复数的运算.5．右图是某算法的流程图，则履行该算法输出的结果是S。【答案】16【分析】试题剖析：si0113459716（输出）9(知足条件)考点：程序框图.6．函数f(x)lg(a2)为奇函数，则实数a。1x【答案】-1【分析】试题剖析：因为函数f(x)lg(a2)为奇函数，所以fxfx，即1xlg(a2)lg(a2)a12x1a11x1xa21x考点：函数的奇偶性.7．“c0”是“实系数一元二次方程x2xc0有两异号实根”的条件。（填“充分不用要”、“必需不充分”、“充要”或许“既不充分又不用要”）【答案】既不充分又不用要【分析】试题剖析：因为实系数一元二次方程x2xc0有两异号实根，所以b24ac01，所以“c0”是“实系数一元二次方程x2xc0有x1x2c0cc04a两异号实根”的既不充分又不用要条件。考点：充分必需条件.8．函数f(x)cosxsinx,x[0,]的最大值是。【答案】2【分析】试题剖析：因为f(x)cosxsinx2sinx且x0,4所以当x4时，有最大值2。考点：三角函数的性质.9．直线3x4y15被圆x2y225截得的弦AB的长为。0【答案】8【分析】试题剖析：由题意可得：圆心0,0到直线3x4y150的距离d153，3242所以被圆x2y225截得弦长为252328。考点：圆的性质.10．在公差为正数的等差数列{an}中，a10a110,且a10a110,Sn是其前n项和，则使Sn取最小值的n是。【答案】10【分析】考点：等差数列的定义及性质.11．已知向量a和b的夹角是60°，a1,b2,且b(mab),则实数m。【答案】4【分析】试题剖析：因为向量a和b的夹角是60°，a1,b2b(mab)，所以b(mab)0220m4mabb0mabcos60b考点：平面向量的数目积.12．函数f(x)lg(cos2xsin2x)的定义域是。22【答案】{x|2kx2k,kZ}44【分析】试题剖析：因为f(x)lg(cos2xsin2x)，所以cos2xsin2x0cosx022222k,2k所以函数的定义域为：{x|2kx2k,kZ}。2244考点：函数的定义域及三角不等式.13．在ABC中，若sinA2cosBcosC,则tanBtanC。【答案】2【分析】试题剖析：因为sinA2cosBcosC，所以2cosBcosCsinBCsinBcosCsinCcosBtanBtanC2考点：三角恒等变换.14．设函数fx)x3bxb为常数),若方程fx)0的根都在区间[-2，2]内，且函数(((f(x)在区间（0，1）上单一递加，则b的取值范围是。【答案】3,4【分析】试题剖析：因为函数f(x)x3bx（b为常数），所以f(x)x2bx0的根都在区间[-2，2]内，所以b2b4；又因为函数f(x)在区间（0，1）上单一递加，所以'(x)3x2b0在区间（0，1）上恒建立，所以b3综上可得：3b4。考点：导数的应用.二、解答题（将解答过程写在答卷纸上相应的地点）15．（本小题满发14分）已知sinx2cosx0.2I）求tanx的值；（II）求cos2x的值2cos(x)sinx4【答案】（I）413；（II）.4【分析】试题剖析：(1)由题意可得：tanx2，且由三角恒等变换可知：2代入数据可得tanx的值；（2）利用三角公式及平方差公式化简1，而后辈入tanx的值即可.tanx试题分析：（I）由sinx2cosx0.得tanx2,,,,,2分2222tanx224故tanx26分2x122.,,,,1tan32tanxtanx2，所以12xtan2cos2x可得2cos(x)sinx42（II）原式cos2xsin2x8分2cosx,,,,2(2sinx)sinx22(coxssinx)(coxssinx)(coxssinx)sinxcosxsinx12分sinx11131.,,,,14分tanx44考点：三角恒等变换.16．（本小题满分14分）在直角坐标系中，O为坐标原点，设直线l经过点P(3,2)，且与x轴交于点F（2，0）。I）求直线l的方程；II）假如一个椭圆经过点P，且以点F为它的一个焦点，求椭圆的标准方程。【答案】（I）y2(x2).；（II）x2y21.128【分析】则依据两点式得，所求直线l的方程为y0x2.,,,,,,3分2032即y2(x2).从而直线l的方程是y2(x2).,,,,7分x2y21(ab0),,,,8分（II）设所求椭圆的标准方程为2b2.a因为一个焦点为F（2，0），则c2,即a2b24①,,,,10分又点P(3,2)x2y21(ab0)上，在椭圆2b2.a921②,,,,12分则2b2a由①②解得a212,b28.所以所求椭圆的标准方程为x2y214分121,,,,8考点：椭圆的定义及性质应用.17．（本小题满分14分）已知：在函数f(x)mx3x的图象上，以N(1,n)为切点的切线的倾斜角为4.（I）求m,n的值；IIk，使得不等式f(x)k1993对于x[1,3]恒建立？假如（）能否存在最小的正整数存在，恳求出最小的正整数k，假如不存在，请说明原因。【答案】（I）m2,n1；（II）k2008..33【分析】试题剖析：(1)求出f'x而后把切点N的横坐标代入f'x表示出直线的斜率等于tan，得4到对于m的方程，而后把点N(1,n)代入f(x)mx3x即可求出n的值；（2）要使不等式f(x)k1993对于x[1,3]恒建立，就是要kf(x)max1993恒建立，即要求出fx的最大值，方法是令f'x0求出x的值，而后在1,3区间上利用x的值议论函数的单一性，由此得出函数的最大值.试题分析：（1）()321,fxmx依题意，得f(1)tan,即3m11,m2.43因为f(1)n,所以n1.,,,,6分3（II）令f(x)2x210,得x2.,,,,8分2当1x2时,f(x)2x210;2当2x2时,f(x)2x210;22当2x3时,f(x)2x210;2又f(1)1,f(2)2,f(2)2,f(3)15.32323所以，当x[1,3]时,2f(x)15.,,,,12分3要使得不等式f(x)k1993对于x[1,3]恒建立，则k1519932008.所以，存在最小的正整数k2008.使得不等式f(x)k1993对于x[1,3]恒建立。,,,,

14分考点：导数的应用

.18．（本小题满分

16分）如图，已知矩形

ABCD中，AB=10，BC=6，沿矩形的对角线

BD把

ABD折起，使

A移到A1点，且

A1在平面

BCD上的射影

O恰幸亏

CD上。（I）求证：

BC

A1D;（2）求证：平面

A1BC

平面

A1BD.【答案】（I）略；（II）略.【分析】试题剖析：(1)由投影的定义可得

A1O

平面BCD，从而可得

BC

A1O

，联合

BC

CO得出BC

平面A1CD

进一步证明

BC

A1D.；（2）依据

ABCD是矩形可得

A1D

A1B.，由（1）可得A1D平面A1BC,从而能够证明平面A1BC平面A1BD.试题分析：证明：（I）因为A1在平面BCD上的射影O在CD上，则A1O平面BCD,又BC平面BCD则BCA1O,,,,4分又BCCO,A1OCOO,则BC平面A1CD,又A1D平面A1CD,故BCA1D.,,,,8分（II）因为ABCD为矩形，所以A1DA1B.由（I）知BCA1D,A1BBCB,则A1D平面A1BC,又A1D平面A1BD.从而有平面A1BC平面A1BD.,,,,16分考点：空间几何元素的地点关系.19．（本小题满分16分）如下图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延伸线上，N在AD的延伸线上，且对角线MN过C点。已知AB=3米，AD=2米。（I）设ANx（单位：米），要使花坛AMPN的面积大小32平方米，求x的取值范围；（II）若x[3,4)（单位：米），则当AM，AN的长度分别是多少时，花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积。8(8，+)；（II）当AN＝3米，AM=9米时，花坛AMPN的面积最大，最【答案】（I）(2，)3大值为27平方米.【分析】试题剖析：(1)依据相像比可得：AM＝3x表示出三角形的面积S＝AN?AM＝3x2依据题x2AMPNx2意可得3x2>32，解不等式3x232x640可得x的范围；（2）求面积的导函数x2y′＝6x(x2)3x2（4)，当x[3,4)时，y′<0，所以由此可得函数y＝3x23xx在(x2)2(x2)2x2[3,4)上为单一递减函数，所以能够得出AN＝3米，AM=9米时面积最大。试题分析：解：因为DNDC,则AM＝3xANAMx2故SAMPN＝AN?AM＝3x2,,,,4分x23x2（1）由SAMPN>32得>32，x2因为x>2，所以3x232x640，即（3x－8）（x－8）>08或x8即AN长的取值范围是8(8，+),,,,8分从而2x(2，)33（2）令y＝3x22)3x2（4),,,,10分，则y′＝6x(x3xxx2(x2)2(x2)2因为当x[3,4)时，y′<0，所以函数y＝3x2在[3,4)上为单一递减函数，x23x2AMPN的面积最大27平方米，从而当x＝3时y＝获得最大值，即花坛x2此时AN＝3米，AM=9米,,,,15分考点：函数的定义以及导函数的应用.20．（本小题满分16分）已知数列{an}中，a22，前n项和为Sn,且Snn(an1).2（I）证明数列{an1an}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式；（II）设bn1，数列{bn}的前n项和为Tn，求使不等式Tnk(2an1)(2an1)对全部57nN*都建立的最大正整数k的值。【答案】（I）ann(nN*)；（II）Tnn.，18.2n1【分析】试题剖析：(1)由题意当n1时,a1S1a11,则a11.a22,则a2a11.2试题分析：解：（I）由题意，当n1时,a1S1a11,则a11.2a22,则a2a11.当n2时,anSnSn1n(an1)(n1)(an11)1(n1)an11],22[nan2an11[(n1)an1nan1],2则an1an1[(n1)an12nan(n1)an1],2则(n1)an12(n1)an(n1)an10,即an12anan10,即an1ananan1.则数列{an1an}是首项为1，公差为0的等差数列。,,,,6分从而anan11，则数列{an}是首