排列组合归纳总结

排列、组合及二项式定理一、计数分类加法计数原理和分步乘法计数原理f分类加法计数原理定义完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有m种不同的方法，那么，完成这件事情共有N=m1+m2+...+m种不同的方法.n分步乘法计数原理定义完成一件事情需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，，做第n步有mn种方法，那么完成这件事共有N=m1m2m种不同的方法."分类加法计数原理与分步乘法弄数原理区别与联系联系；都涉及完成一件事情的不同方法的种数.区别：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成.分类分步标准分类就是一步到位，(1)类与类之间要互斥；(2)总数完整。分步是局部到位，(1)按事件发生的连贯过程进行分步；(2)步与步之间相互独立，互不干扰；(3)保证连续性。f排列与组合1.排列排列定义：从n个不同元素中，任取m(mWn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.排列数公式：Am=CmAm=n(n—1)(n—2)・・・(n—m+1)或写成nmn!—Am=(n_m)!,特殊:Ann=n!=n(n-1)!特征：有序且不重复组合组合定义：从n个不同元素中，任取m(mWn)个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.组合数公式：Cm=+=n(nT)(n2)"(nm+1)或写成nAmmm

CmnnCmnn!m!(n~m)!（3）组合数的性质^^Cm=Cn-m;nn②Cm=Cm+Cm-1.n+1nn(4)特征：有序且不重复排列与组合的区别与联系：区别：排列有序，组合无序联系：排列可视为先组合后全排基本原则：（1）先特殊后一般；（2）先选后排；（3）先分类后分步。f排列组合的应用（常用方法：直接法，间接法）抽取问题：（1）关键：特殊优先；（2）题型：①把n个相同的小球，一次性的放入到m个不同的盒子中（nWm），每个盒子至少1个，有多少种不同的方法？C「把n个相同的小球，依次性的放入到m个不同的盒子中（nWm），每个盒子至少1个，有多少种不同的方法？Amn把n个相同的小球，放入到m个不同的盒子中（nWm），每个盒子放球数目不限，有多少种不同的方法？mn把n个不同的小球，放入到m个不同的盒子中（nWm），每个盒子至少1个，有多少种不同的方法？Amn把n个相同的小球，依次性的放入到m个不同的盒子中（nNm），每个盒子至多1个，有多少种不同的方法？4_广隔板法排序问题：特殊优先（1）排队问题:对n个元素做不重复排序A「;对n个元素进行（其中有m个元素的位置固定）排列A1；如果对n个元素进行（其中有m个元素的位置固定,k个元素的位置固定）排列—AA一;mK相邻问题一捆绑法（注意松绑）;不相邻问题：（a）一方不相邻一先排没要求的元素，再把不相邻的元素插入空位；（b）互不相邻先排少的在插入多的；⑵数字问题；各位相加为奇数的——奇数的个数是奇数；各位相加为偶数的——奇数的个数是偶数；组成n为偶数（奇数）的数----特殊优先法；能被n整除的数——特殊优先法；比某数大的数，比某数小的数或某数的位置----从大于（小于）开始排，再排等于；⑶着色问题：区域优先——颜色就是分类点；颜色优先——区域就是分类点.（4）几何问题:①点、线、面的关系一般均为组合问题；②图中有多少个矩形C62C42;从入到BA的最短距离C38（5）分组、分配问题：非均分不编号；n个不同元素分成m组，每组元素数目均不相等，且不考虑各组间的顺序，不考虑是否分尽非均分编号；n个不同元素分成m组，每组组元素数目均不相性.日夹甫攵幺日I同Ml俑岸不夹甫皇木仆尺C%Cm2Cm3•……•Am等，且考虑各组间的顺序，不考虑是否刀尽nn一气n一，气-%m均分不编号；n个不同元素分成m组，其中有k组元素数目均相等，

且不考虑各组间的顺序，不考虑是否分尽Cmn—m且不考虑各组间的顺序，不考虑是否分尽Cmn—m1—m^均分编号；n个不同元素分成m组，其中有k组元素数目均相等，且考虑各组间的顺序，不考虑是否分尽（Cm1Cm—mCm—m—m……卅An112二、二项式定理1.定理：（a+b）n=Coanbo+Clan-1b+qan-*2+・••+Cjan-rbr+•••+Cnaobn（r=0,1,2,…，n）.疝2・二项展开式的通项T1=Cran-rbr9r=0,1,2,…，O,其中Cr叫做二项式系数.二项式系数的性质"对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等，即C0=Cn,C1=Cn-1,…，Cn=Cn-k，・・・.最大值：当n为偶数时，中间的一项的二项式系数取得最大值；当n为奇数时，中间的两项佝三项式系数cp相等，且同时取得最大值.n各二项式系数的和Co+C1+C2+・・・+Ck+…+Cn=2n;nnnnnC0+C2+•+C2r+^=C1+C3+•+C2r+1+^=2<2n=2n-1.―二项式定理的应用：求通项；T=Cran—rbrr+1n含Xr的项：①项的系数；②二项式系数。常数项（含xr的项中r=0）整数项（含xr的项中rUN）有理项（含xr的项中rUZ）无理项（含xr的项中r史Z）项的系数和：(1)已知多项式f(x)=(a+bx)n(a,b>0)=a。+aix+a2x2+^+axn：a°=f(0)a。+a]+a2+・・・+a=f(1)=(a+b)n；|a。|+|a1l+|a2|+—+|a|=f(1)=(a+b)n；川)+/(-1).TOC\o"1-5"\h\za+a+a+…=?'024a+a+a+…二/⑴-/(T).1352(a+a+a+,,,)2-(a+a+a+,,•)2=f(1)f(—1)。024135(2)已知多项式f(x)=(a~bx)n(a,b>0)=a+ax+aX2+•••+axn：012na=f(0)0a+a+a+・・・+a=f(1)=(a-b)n；\o"CurrentDocument"012n|a|+1a|+1a|+•••+1a|=f(~1)=(a+b)n；012n/(!)+/(-!).a+a+a+…=?'024a+a+a+…二'⑴-/(T).1352(a+a+a+・・・)2—(a+a+a+•••)2=f(1)f(—1)。024135已知多项式f(x)=(ax-b)n(a,b>0)=a+ax+aX2+・・・+axn:012n令g(x)=(-1)n(b~ax)na=f(0)0a+a+a+・・・+a=f(1)=(a—b)n；TOC\o"1-5"\h\z012n|a|+1a|+1a|+•••+1a|=|(-l)n|g(-l)012n/(I)+/(-D.a+a+a+…=?'024a+a+a+…二'⑴-'(T).1352(a+a+a+,,,)2-(a+a+a+,,,)2=f(1)f(—1)。024135已知多项式f(x)=(-ax-b)n(a,b>0)=a+ax+aX2+・・・+axn:012n令g(x)=(-1)n(ax+b)na0=f(0)a°+&^+&2+^+&=f(1)=(a-b)n；la。l+S]|+|a2|+・・・+|a|=|(-1)n|g(1)f(1)+f(-1).a。+a2+a4+…=2，a+a+a+…=f⑴-f(-1),(a。+a2+a4+^)2-(a]+a3+a5