2021版新数学一轮：练案 （19） 任意角和弧度制及任意角的三角函数含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2021版新高考数学（山东专用）一轮：练案（19）任意角和弧度制及任意角的三角函数含解析［练案19]第三章三角函数、解三角形第一讲任意角和弧度制及任意角的三角函数A组基础巩固一、单选题1．单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为(D）A．10π B．9πC．eq\f（9π，10) D．eq\f(10π,9)［解析］单位圆的半径r＝1,200°的弧度数是200×eq\f（π,180）＝eq\f(10π，9)，由弧度数的定义知eq\f(10π，9)＝eq\f(l，r)，所以l＝eq\f（10π，9）。故选D。2．(2020·河北唐山一中模拟)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－eq\f（4，5)，则m的值为(B）A．－eq\f(1,2) B．eq\f（1,2）C．－eq\f(\r（3）,2) D．eq\f（\r（3）,2）［解析］由题意得，点P到原点的距离r＝eq\r（64m2＋9)，∴cosα＝eq\f(－8m,\r（64m2＋9))＝－eq\f(4,5），∴m>0,∴eq\f(4m2,64m2＋9）＝eq\f（1,25），即m＝eq\f(1，2)。3．（2020·河南省驻马店市期末）已知点P（tanα,cosα)在第三象限，则角α的终边在（B）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析］因为点P（tanα，cosα）在第三象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα<0，cosα〈0))，所以α为第二象限角，故选B.4．(2020·福建莆田二十四中月考)一个扇形的弧长与面积的数值都是6,则这个扇形的圆心角的弧度数是（C）A．1 B．2C．3 D．4[解析]设扇形的圆心角的弧度数为θ，半径为R。由题意得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（θR＝6，,\f(1，2）θR2＝6.）)解得θ＝3，即扇形的圆心角的弧度数是3。故选C.5．在△ABC中,若sinA·cosB·tanC〈0，则△ABC的形状是(B)A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．不能确定[解析]∵△ABC中每个角都在(0，π）内，∴sinA〉0.∵sinA·cosB·tanC〈0，∴cosB·tanC<0。若B,C同为锐角，则cosB·tanC>0。∴B，C中必定有一个钝角．∴△ABC是钝角三角形．故选B。6．集合{α｜kπ＋eq\f(π，4）≤α≤kπ＋eq\f（π，2)，k∈Z}中的角所表示的范围（阴影部分)是(C)[解析］当k＝2n（n∈Z）时,2nπ＋eq\f（π，4)≤α≤2nπ＋eq\f（π，2)，此时α表示的范围与eq\f(π,4)≤α≤eq\f（π,2）表示的范围一样;当k＝2n＋1（n∈Z)时，2nπ＋π＋eq\f（π,4）≤α≤2nπ＋π＋eq\f（π,2），此时α表示的范围与π＋eq\f（π，4)≤α≤π＋eq\f(π，2)表示的范围一样，结合图形知选C。7．已知A＝｛α｜α＝eq\f（k,4）π＋eq\f(π，12），k∈Z｝，当k＝k0（k0∈Z）时，A中的一个元素与角－eq\f（17π,12)终边相同，若k0取最小正值为a，最大负值为b,则a＋b＝（C）A．－12 B．－10C．－4 D．4［解析]与－eq\f（17，12)π终边相同的角的集合为：｛β｜β＝2kπ－eq\f（17,12)π，k∈Z｝，当k＝1时，β＝eq\f(7,12）π,此时A＝｛α｜α＝eq\f（kπ,4）＋eq\f（π，12)，k∈Z}中的k0取值为2;当k＝0时，β＝－eq\f（17,12）π,此时A＝｛α｜α＝eq\f(kπ，4）＋eq\f（π，12），k∈Z}中的k0取值为－6，∴a＋b＝2－6＝－4.8．已知角α终边上一点P的坐标是(2sin2，－2cos2），则sinα等于(D）A．sin2 B．－sin2C．cos2 D．－cos2[解析］因为r＝eq\r(2sin22＋－2cos22)＝2,由任意三角函数的定义，得sinα＝eq\f（y,r)＝－cos2.故选D。二、多选题9．某人从家步行到学校,一般需要10分钟，则10分钟时间钟表的分针走过的角度是（BD）A．eq\f(π，6） B．－eq\f(π，3）C．60° D．－60°［解析]因为分针是按顺时针方向旋转的，故分针走过的角是负角，又分针旋转了10分钟，故分针走过的角是－60°。故选B、D.10．（2020·吉林长春普通高中模拟改编)若角α的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－eq\r(3）x上,则角α的取值集合是(AD）A．｛α｜α＝2kπ－eq\f（π，3)，或α＝2kπ＋eq\f(2π，3)，k∈Z}B．｛α｜α＝2kπ＋eq\f(2π，3），k∈Z｝C．{α|α＝kπ－eq\f(2π，3），k∈Z}D．｛α｜α＝kπ－eq\f(π，3），k∈Z}［解析］因为直线y＝－eq\r（3）x的倾斜角是eq\f(2π，3),所以终边落在直线y＝－eq\r（3)x上的角的取值集合为｛α|α＝2kπ－eq\f（π,3)或α＝2kπ＋eq\f（2π,3),k∈Z｝或｛α｜α＝kπ－eq\f（π,3），k∈Z}．故选A、D.三、填空题11．－2020°角是第__二__象限角，与－2020°角终边相同的最小正角是__140°__，最大负角是__－220°__.[解析］∵－2020°＝－6×360°＋140°，∴－2020°角的终边与140°角的终边相同．∴－2020°角是第二象限角,与－2020°角终边相同的最小正角是140°.又是140°－360°＝－220°,故与－2020°终边相同的最大负角是－220°。12．在直角坐标系xOy中，O是原点，A(eq\r(3)，1），将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为（－1，eq\r(3）).［解析]依题意知OA＝OB＝2，∠AOx＝30°,∠BOx＝120°，设点B坐标为(x，y)，所以x＝2cos120°＝－1,y＝2sin120°＝eq\r（3)，即B(－1，eq\r（3))．13．一扇形是从一个圆中剪下的一部分,半径等于圆半径的eq\f(2,3）,面积等于圆面积的eq\f（5,27).则扇形的弧长与圆的周长之比为eq\f(5，18）.［解析］设圆的半径为r,则扇形的半径为eq\f(2r,3），记扇形的圆心角为α,则eq\f（\f（1，2）α\f（2r，3）2，πr2)＝eq\f（5，27），所以α＝eq\f(5π,6）.所以扇形的弧长与圆的周长之比为eq\f（l，c）＝eq\f（\f(5π,6)·\f(2r，3），2πr）＝eq\f（5,18）。14．（2020·郑州模拟）函数y＝lg（2sinx－1）＋eq\r（1－2cosx)的定义域为［2kπ＋eq\f（π，3），2kπ＋eq\f(5π，6））(k∈Z)。[解析]要使原函数有意义，必须有：eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(2sinx－1〉0,,1－2cosx≥0,))即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（sinx>\f（1，2），，cosx≤\f(1,2)，）)如图，在单位圆中作出相应三角函数线，由图可知，原函数的定义域为［2kπ＋eq\f(π,3），2kπ＋eq\f（5π,6))（k∈Z）．B组能力提升1．（2020·河北石家庄模拟）已知角α（0°≤α〈360°)终边上一点的坐标为（sin150°，cos150°），则α＝（C)A．150° B．135°C．300° D．60°［解析］sin150°＝eq\f（1,2)>0，cos150°＝－eq\f（\r(3）,2）〈0，角α终边上一点的坐标为（eq\f（1，2)，－eq\f(\r(3）,2）)，故该点在第四象限，由三角函数的定义得sinα＝－eq\f(\r(3),2)，又0°≤α〈360°，所以角α为300°，故选C。2．(2020·唐山模拟)函数f(x）＝eq\f（sinx，｜sinx｜）＋eq\f(cosx，｜cosx｜)＋eq\f(tanx，｜tanx|)的值域为（D)A．｛3,2,1} B．{－1,2，1}C．{－1，0,1｝ D．｛－1,3｝［解析］由sinx≠0,cosx≠0,知x终边不在坐标轴上，若x为第一象限角,f(x）＝eq\f(sinx,sinx）＋eq\f（cosx，cosx）＋eq\f（tanx,tanx)＝3.若x为第二象限角，f(x）＝eq\f（sinx,sinx）＋eq\f（cosx，－cosx)＋eq\f(tanx,－tanx)＝－1。若x为第三象限角，f（x）＝eq\f（sinx，－sinx）＋eq\f（cosx,－cosx)＋eq\f(tanx,tanx)＝－1。若x为第四象限角，f（x）＝eq\f(sinx，－sinx）＋eq\f(cosx，cosx）＋eq\f（tanx,－tanx）＝－1.故选D.3．（2020·河南省洛阳市高三统考)已知角α的始边与x轴的非负半轴重合,顶点与坐标原点重合，终边过点P(3，4）,则eq\f(sinα＋2cosα,sinα－cosα)＝（A)A．10 B．eq\f（1，10）C．5 D．eq\f(1,5)[解析］根据角α的终边过P（3,4）,利用三角函数的定义，得tanα＝eq\f(4，3)，所以有eq\f（sinα＋2cosα,sinα－cosα）＝eq\f(tanα＋2，tanα－1）＝eq\f(\f（4，3)＋2,\f(4，3)－1)＝eq\f(\f(10,3）,\f（1，3)）＝10。故选A.4．（2020·广东广州花都模拟）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，是《算经十书》中最重要的一种，其中《方田》章有弧田面积计算问题,计算术曰:以弦乘矢,矢又自乘，并之,二而一．其大意是，弧田面积的计算公式为弧田面积＝eq\f(1，2）(弦×矢＋矢×矢）．弧田是由圆弧（简称为弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段（简称为弧田弦)围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田弦的长,“矢"等于弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弦长AB等于6m，其弧所在圆为圆O,若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为eq\f（7,2）m2，则cos∠AOB＝(D)A．eq\f（1，25) B．eq\f(3，25)C．eq\f(1,5) D．eq\f（7,25）［解析］设矢为xm，则由弧田面积公式得eq\f(7，2)＝eq\f(1,2)(6x＋x2)，解得x＝1或x＝－7（舍去），设圆O的半径为Rm,则R2＝（R－1）2＋32，解得R＝5，则cos∠AOB＝eq\f(52＋52－62，2×5×5）＝eq\f（7，25)，故选D.5．已知sinα>s