2007年高考数学试题分类汇编立体几何

2007年高考数学试题分类汇编立体几何一．选择题1．(2007安徽·文)设l,m,n均为直线,其中m,n在平面a内,则“l”是“l”是“lm且ln”的（）(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件2．(2007安徽·文)把边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角,折成直二面角后,在A,B,C,D四点所在的球面上,B与D两点之间的球面距离为（）22(B)(A)(C)(D)233．(2007北京·文)平面∥平面的一个充分条件是（），a∥，a∥Ａ．存在一条直线，，a∥存在一条直线aaＢ．Ｃ．存在两条平行直线a，b，a，b，a∥，b∥Ｄ．存在两条异面直线a，b，a，a∥，b∥4．(2007福建·文)如图，在正方体ABCDABCD中，E，F，G，H1111分别为AA，AB，BB，BC的中点，则异面直线EF与GH所成的角1111等于（）456090120Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．5．(2007广东·文)若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（）l，则//,l,nl//n，则B．若,lA．若C.若ln,mn，则l//mD．若l,l//，则//6．(2007湖北·文)在棱长为1的正方体ABCDABCD中，E，F分别为棱AA，BB的中111111点，G为棱AB上的一点，且AG(0≤≤1)．则点G到平面DEF的距离为（）11113Ｂ．2Ｃ．2Ｄ．55Ａ．237．(2007天津·文)设a，b为两条直线，，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）a，ba∥bA．若与所成的角相等，则a∥b∥∥a∥bB．若，，，则aba∥b∥C．若，，，则ababD．若，，，则8．(2007湖南·文)如图1，在正四棱柱ABCDABCDE，FABBC中，分别是，的中111111点，则以下结论中不成立的是（）．．．EFBBA．与垂直1EFBDB．与垂直FEFCDC．与异面EFACD．与异面11C9．(2007江西·文)四面体ABCD的外接球球心在CDAB上，且CD2AD3A，B间，，在外接球面上两点的球面距离是（）πＡ．6πＢ．32π5πＤ．6Ｃ．310．(2007全国Ⅰ·文)如图，正四棱柱ABCDABCDAA2ABAB1中，，则异面直线11111AD1与所成角的余弦值为（）123Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．4555511．(2007全国Ⅱ·文)已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（）33B．42C．23D．2A．612．(2007陕西·文)Rt△ABC的三个顶点在半径为13的球面上，8，则球心到平面ABC的距离是（A）5（B）6两直角边的长分别为6和（C）10（D）12(2007四川·文)如图，ABCD-ABCD为正方体，下面结论错误的是1111．．(A）BD∥平面CBD(B)AC1⊥BD11(C)AC1⊥平面CBD1(D)异面直线AD与CB所成的角为60°1二．填空题13．(2007天津·文)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长123分别为，，，则此球的表面积为．14．(2007全国Ⅰ·文)正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S，A，B，2C，D都在同一个球面上，则该球的体积为底面边长为1cm，那么该cm．216．(2007江西·文)如图，正方体AC的棱长为1，过点作平面ABD的垂线，垂足为点H．有11下列四个命题Ａ．点H是△ABD的垂心1Ｂ．AH垂直平面CBD11Ｃ．二面角CBDC的正切值为21113ABCD的距离为41111Ｄ．点H到平面其中真命题的代号是三．解答题．（写出所有真命题的代号）17．(2007广东·文)已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．几何体的体积V；侧面积S(1)求该(2)求该几何体的解:由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V-ABCD;1V86464(1)3(2)该四棱锥有两个侧面VAD.VBC是全等的等腰三角形,且BC边上的高为822h4242,另两个侧面VAB.VCD也是全等的等腰三角形,1622h425AB边上的高为2S2(1642185)40242因此22πRt△AOBOABAB4．Rt△AOC可18．(2007北京·文)如图，在中，，斜边6以通过Rt△AOB以直线为轴旋转得到，且二面角AOBAOC的直二面角．D是AB的中点．（I）求证：平面COD平面；AOB（II）求异面直线AO与CD所成角的大小．解法一：（I）由题意，COAO，，BOAOBOC是二面角BAOC是直二面角，COBOAOBOO，，又CO平面，COAOBCOD又平面．CODAOB平面平面．（II）作DEOBCDEEAOCD是异面直线与所成的角．CEDE∥AO，，垂足为，连结（如图），则在Rt△COE中，COBO2，OE1BO1，2CECO2OE25．1DEAO3．又2tanCDECE5153在Rt△CDE中，．．DE3153AOCDarctan异面直线与所成角的大小为解法二：（I）同解法一．OxyzO(0，0，0)A(0，0，23)，C(2，0，0)，（II）建立空间直角坐标系，如图，则，D(0，1，3)，OA(0，0，23)，CD(2，1，3)，6623224．6arccos异面直线与所成角的大小为4AOCD．19．(2007福建·文)如图，正三棱柱ABCABC2DCC的所有棱长都为，为中点．1111AB⊥求证：平面；1ABD（Ⅰ）A1AADB的大小．（Ⅱ）求二面角1CDBCAO⊥BC．为正三角形，OAO解法一：（△ABCⅠ）取中点，连结．B正三棱柱ABCABC1BCCB⊥BCCB11ABC⊥AO中，平面平面，平面．1111BOBBCC中，分别为O，D11连结，在正方形1AFGCBC，CC的中点，1BO⊥BD，1AB⊥BD．1ABBAAB⊥AB，11在正方形中，11AB⊥ABD平面．11ABABG（Ⅱ）设与交于点，在平面中，ABD111作GF⊥ADFAFAB⊥ABD于，连结，由（Ⅰ）得平面．111AF⊥AD，1∠AFGAADB的平面1为二面角角．45AF5，△AAD在中，由等面积法可求得1AG1AB2，又21AG210AF454．sin∠AFG5z10AAADB的大小为arcsin所以二面角．41BCAO⊥BC．为正三角形，OAO解法二：（△ABCⅠ）取中点，连结．C在正三棱柱ABCABC中，1DO11yBxABC⊥BCCB平面平面，11AO⊥BCCB平面．11取BCOOOBOOOAx，y，z以为原点，，，的方向为轴的正方中点，向建立空间直1111B(1，0，0)，D(11，，0)A(0，2，3)，A(0，0，3)B(1，2，0)，，1角坐标系，则，1AB(1，2，3)，BD(2，1，0)BA(1，2，3)．，11ABBD2200ABBA1430，，111AB⊥BDAB⊥BA，1．11AB⊥ABD平面．11n，，(xyz)．AAD（Ⅱ）设平面的法向量为1AD(11，，3)AA(0，2，0)．，1n⊥AD，n⊥AA，1z1n(3，0，1)AAD令得为平面的一个法向量．1AB⊥ABD由（Ⅰ）知平面，11AB1ABD为平面的法向量．1nAB336．cosnAB，1nAB2224116AADB的大小为arccos4二面角．120．(2007安徽·文)如图，在三棱锥VABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是π2．Ｖ∠VDC，0ABACBCa的中点，且VAB⊥VCD（I）求证：平面平面；Ｃπ与平面所成的角为．BCVAB（II）试确定角的值，使得直线6AＢＤ∵ACBCa，∴△ACBDAB的中点，解法1：（Ⅰ）是等腰三角形，又是∴CDAB，又VC底面．ABC∴VCABAB平面．VCD．于是平面，平面平面．又ABVABVAB∴VCDCVCDCHVDHCD于，则由（Ⅰ）知平面．VAB（Ⅱ）过点在平面内作连接BH，于是CBH就是直线BCVAB与平面所成的角．依题意CBH6π，所以2asin；CH在Rt△CHD中，2πaCHasin，62在Rt△BHC中，2∴sin2．∵0π∴π，．24ππ故当时，直线与平面所成的角为．BCVAB46CA，CB，CVxyz所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间解法2：（Ⅰ）以，C(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，a，0)，D，，0，V0，0，2atanaa直角坐标系，则222，VD，，2atanCD，，0，AB(a，a，0)．aaaa22于是，222从而AB·CD(a，a，0)·，，01a21a200，即ABCD．aa2222同理AB·VD(a，a，0)·，，2atan1a21a200，aa22222即ABVD又AB．又CDVDD∴ABVCD，平面．VAB平面．∴VABVCD平面平面．VABn(x，y，z)，（Ⅱ）设平面的一个法向量为z则由n·AB0，n·VD0．Vaxay0，得a2xay2aztan0．22CBy可取n(11，，2cot)，又BC(0，a，0)，DAπ于是sin6n·BCa2sin，2xn·BCa·22cot22∵0π∴=π即sin，．224ππBCVAB时，直线与平面所成的角为．6=故交4DDC，DBxy所在的直线分别为轴、轴，建立如图所示的解法3：（Ⅰ）以点为原点，以空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A0，2a，0，B0，2a，0，C2a，0，0，222V2a，0，2atanDV2a，0，2atanDC2a，0，0，于是，，22222AB(0，2a，0)．从而AB·DC(0，2a，0)·2a，0，00，即ABDC．2同理AB·DV(0，2a，0)2a，0，2atan0，即ABDV．22又DCDVD，平面VCD．∴AB又AB平面VAB，∴平面VAB平面VCD．（Ⅱ）设平面VAB的一个法向量为n(x，y，z)，2ay0，则由n·AB0，n·DV0，得2ax2aztan0．22V可取n(tan，0，1)，又BC2a，2a，0，2222atanπ于是n·BC2sin，2n·BCa·1tansinCy6B2D即sinπ，∵0π，∴=πxA．422故交π4时，π与平面VAB所成角为．6BC即直线二面角，，，，CPQAPQB21．(2007湖南·文)如图3，已知直CACB，BAP45CA，直线和平面所成的角30为．（I）证明BC⊥PQ；BACP的大小．（II）求二面角CAPQBCCO⊥PQ于点，连结OB．O解：（I）在平面内过点作因为⊥，PQ，所以CO⊥，又因为CACB，所以OAOB．而BAO45，所以ABO45，AOB90，从而BO⊥PQ，又CO⊥PQ，所以PQ⊥OBC平面．因为BCOBCPQ⊥BC．平面，故⊥，PQ，BO，所以BO⊥．BO⊥PQ，又（II）解法一：由（I）知，过点作OOH⊥ACH于点，连结BH，由三垂线定理知，BH⊥AC．故BHOBACP的平面角．是二面角所成的角，则CAO30，和平面CO⊥，所以CAO是CA由（I）知，3不妨设AC2，则AO3，OHAOsin30．2Rt△OAB中，ABOBAO45，所以BOAO3，在BOOH33于是在Rt△BOH中，tanBHO2．2BACP的大小为arctan2．角故二面OC⊥OA，OC⊥OB，OA⊥OBO，故可以为原点，分别以直线解法二：由（I）知，OB，OA，OCxy为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（z如图）．因为CO⊥a，所以CAO是CA所成的角，则CAO30．和平面不妨设AC2，则AO3，CO1．Rt△OAB中，ABOBAO45，在CzO所以BOAO3．AyPBQ则相关各点的坐标分别是xO(0，0，0)，B(3，0，0)，A(0，3，0)，C(0，01)，．AB(3，3，0)，AC(0，31)，．所以nAB0，33y0，x设n{x，y，z}ABC是平面的一个法向量，由1得030yz1nAC1x1，得n(11，，3)．取1n(10，，0)是平面的一个法向量．易知2．2BACP的平面角为，由图可知，n，n设二面角1nn1215cos所以515．|n||n|125BACP的大小为arccos故二面角．5)如图，已知ABCDABCD是棱长为AA22．(2007江苏3的正方体，点E在上，点F11111在CC上，且1AEFC1，1（1）求证：E,B,F,D四点共面；（4分）1G在BC上，BG2MBBGMBFEMH，垂足为，求证：（2）若点，点在上，31面BCCB；（4分）11tan（3）用表示截面EBFD和面BCCB所成锐二面角大小，求。（4分）11123．(2007江西·文)右图是一个直三棱柱（以被一平面所截得到的几何体，ABC为底面）111ABBC1，ABC90，AA4，BB2，CC3．截面为ABC．已知1111111111（1）设点O是AB的中点，证明：OC平面∥ABC；111（2）求AB与平面AACC所成的角的大小；11（3）求此几何体的体积．作OD∥AA交（1）证明：AB于D，连CD1．111则OD∥BB∥CC，11因为O是AB的中点，1OD(AABB)3CC．所以2111则ODCC是平行四边形，因此有OC∥CD，11CD平面CBA，且OC平面CBA1111111则OC∥面ABC．111B作截面BAC∥面ABC，分别交，于，，AACCAC（2）解：如图，过221111122作BH⊥AC于H，22平面，则BH⊥面AACC．⊥AACC1111因为平面ABC22连结AH，则∠BAH就是与面AACC所成的角．AB112sin∠BAHBH10．AB10因为BH2AB5，，所以10AB与面AACC所成的角为1∠BAHarcsin．10121S3（3）因为BH，所以VBH．2BAACCAACC2222112132(12)222．VSBB121．2ABCABC△ABC111111122所求几何体的体积为VVV32．ABCABC11122BAACC22解法二：A(01，，4)，B(0，0，2)，C(1，0，3)，（1）证明：如图，以B为原点建立空间直角坐标系，则11O0，，3，O是AB的中点，所以2因为1OC1，，0，2易知，n(0，0，1)是平面ABC的一个法向量．111由OCn0且OC平面ABC知OC∥平面ABC．111111ABAACC11（2）设与面所成的角为．AA(0，0，4)AC(1，1，0)．求得1，11AAm0z0xy0设m(x，y，z)AACC是平面的一个法向量，则由1得，ACm01111xy1m(11，，0)．取得：又因为AB(0，1，2)cosmABmAB所以，，mAB1010sin则．101010arcsin10ABAACC所以与面所成的角为．11（3）同解法一24．(2007全国Ⅰ·文)四棱锥SABCD中，SBC行四边形，侧面底面底面ABCD为平SABCD，已知ABC45AB2SABC；BC22SASB，，，3．（Ⅰ）证明：C（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．BD解法一：（1）作SO⊥BCAOAO，垂足为，连结SBC⊥ABCDSO⊥，由侧面底面，得底面ABCD．SASBAOBO，因为，所以∠ABC45又△AOB，故AO⊥BO，为等腰直角三角形，由三垂线定理，得SA⊥BC．SA⊥BC，S（Ⅱ）由（Ⅰ）知依题设AD∥BC，ADBC22，故SA⊥AD，由BCESA3，DASDAD2SA211．又AOABsin452，作DE⊥BCE，垂足为，DE⊥则平面，连结SBCSE．∠ESD为直线SDSBC与平面所成的角．2211SD所以，直线SBCarcsin与平面所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SO⊥BCOAOSBC⊥ABCD，垂足为，连结，由侧面底面，得平面SO⊥ABCD．SASBAOBO因为，所以．∠ABC45△AOBAO⊥OB，为等腰直角三角形，．又OOAxOxyz如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，因为AOBO2AB2，2SSOSB2BO21，BC22A(2，0，0)又，所以，BCB(0，2，0)，C(0，2，0)．DAS(0，01)，，SA(2，0，1)，CB(0，22，0)，SACB0，所以．（Ⅱ）SDSAADSACB(2，22，1)，OA(2，0，0).SA⊥BC与的夹角记为，与平面所成的角记为，因为为平面的法向OASDSDABCOASBC量，所以与互余．cosOASD22sin22，，1111OASD22所以，直线与平面所成的角为．SDSBCarcsin11SSABCD25．(2007全国Ⅱ·文)如图，在四棱锥中，ABCDSD⊥ABCD，E，F底面为正方形，侧棱底面AB，SC分别为的中点．SADEF∥（1）证明平面；FSD2DCAEFD（2）设，求二面角的大小．解法一：FG∥DCSDGGSD（1）作交于点，则为的中点．AG，FG1CDCDAB连结∥，又∥，C2D故FG∥AE，AEFG为平行四边形．AEBSEF∥AG，又AG平面SAD，EF平面SAD．所以EF∥平面SAD．（2）不妨设DC2，则SD4，DG2，△ADG为等腰直角三角形．H又AB⊥平面SAD，所以AB⊥DH，而ABAGA，F取AG中点，连结DH，则DH⊥AG．G所以DH⊥面AEF．取EF中点M，连结MH，则HM⊥EF．连结DM，则DM⊥EF．HMC故DMH为二面角AEFD的平面角DtanDMHDH22．1AEBHMzS所以二面角AEFD的大小为arctan2．解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系Dxyz．设A(a，0，0)，S(0，0，b)，则B(a，a，0)，C(0，a，0)，aabFGEa，，0，F0，，，222Mb．EFa，0，Cy2DAbba，，0．2EB取SD的中点G0，0，2，则AGxAEFAG，EF∥AG，AG平面SAD，EF平面SAD，所以EF∥平面SAD．11（2）不妨设A(1，0，0)，则B(11，，0)，C(0，1，0)，S(0，0，2)，E1，，0，F0，，1．22111222111EF(101)MDEF0，MD⊥EFEFM中点，，，MD，，，，，，22212又EA0，，0，EAEF0，EA⊥EF，所以向量MD和EA的夹角等于二面角AEFD的平面角．cosMD，EAMDEAMDEA3．3．26．(2007安徽·文)如图,在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中,AD//BC,ABC90,PA平面vPA3,AD2,AB23,BC=6.(Ⅰ)求证:BDBD平面PAC;(Ⅱ)求二面角PBDA的大小.平面，BD平面ABCDPA⊥解法一：（Ⅰ）ABCD．BD⊥PA．又tanABDAD3，tanBACBC3．PAB3AB∠ABD30，∠BAC60，DAE∠AEB90，即BD⊥AC．⊥CB又PAACA．平面．（Ⅱ）连接PE．BDPACBD⊥平面．PACBD⊥PE，BD⊥AE．∠AEPPBDA的平面角．为二面角在Rt△AEB中，AEABsinABD3，tanAEPAP3，∠AEP60，AEPBDA的大小为．60二面角解法二：（Ⅰ）如图，建立坐标系，则A(0，0，0)，B(23，0，0)，C(23，6，0)，D(0，2，0)，P(0，0，3)，AP(0，0，3)，AC(23，6，0)，BD(23，2，0)，BDAP0，BDAC0．BD⊥AP，BD⊥AC，又PAACA，BD⊥面．PACzPAABD（Ⅱ）设平面的m(0，0，1)，法向量为PBD设平面的n(x，y，1)，法向量为DyE则nBP0，nBD0，BCx3x，33．23x30，2解得n，，123x2y0，322y，2mn1cosmn，PBDA60．二面角的大小为．mn227．(2007四川·文PC所成的角为60°，又AC=1,BC=2PM=2,∠ACB=90°(Ⅰ)求证：AC⊥BM;(Ⅱ)求二面角M-AB-C的大小；（Ⅲ）求多面体PMABC的体积)如图，平面PCBM⊥平面ABC,∠PCB=90°,PM∥BC,直线AM与直线.解析：本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、棱锥体积等有关知识，考查思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力．（Ⅰ）∵平面PCBM平面，，平面．ABCACBCACABC∴AC平面PCBM又∵BM平面PCBM∴ACBM（Ⅱ）取BC的中点N，则CN1．连接AN、MN．∵平面PCBM平面，平面PCBM平面，．ABCBCPCBCABC∴PC平面．ABC∵PM//CN，∴MN//PC，从而MN平面．ABC作NHAB于，连结，则由三垂线定理知．HMHABMH从而MHN为二面角MABC的平面角．∵直线AM与直线PC所成的角为AMN60．60°，∴在ACN中，由2．勾股定理得AN236．在RtAMN中，MNANcotAMN3311555．NHBNsinABCBNAC在RtBNH中，AB6MNNH35303在RtMNH中，tanMHN5303故二面角MABC的大小为arctan（Ⅱ）如图以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz．P(0,0,z)(z0)，有B(0,2,0)，A(1,0,0)，M(0,1,z)．设000AM(1,1,z)，CP(0,0,z)00由直线AM与直线PC所成的角为60°，得z21z2