2023年长沙理工大学数值分析习题集及答案

第长沙理工大学数值分析习题集及答案

数值分析习题集

（适合课程《数值方法A》和《数值方法B》）

长沙理工大学

第一章绪论

1.设x0,x的相对误差为delta;,求lnx的误差.

2.设x的相对误差为2％,求x的相对误差.

3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出

它们是几位有效数字:4.利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:

xxxxxx1?1.1021,x2?0.031,x3?385.6,x4?56.430,x5?7?1.0.

nxxxxxxxxxxxx(i)x1?x2?x4,(ii)x1x2x3,(iii)x2/x4,其中x1,x2,x3,x4均为第3题所给的数.

5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少?6.设Y0?28,按递推公式

1783100(n=1,2,)

Y计算到Y100.若取783asymp;27.982(五位有效数字),试问计算100将有多大误差?

Yn?Yn?1?27.求方程x?56x?1?0的两个根,使它至少具有四位有效数字(783asymp;27.982).

8.当N充分大时,怎样求

???N1dx1?x2?

29.正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝?10.设

误差增加,而相对误差却减小.11.序列

S?12gt2假定g是准确的,而对t的测量有plusmn;0.1秒的误差,证明当t增加时S的绝对

{yn}满足递推关系yn?10yn?1?1(n=1,2,),若y0?2?1.41(三位有效数字),y10时误差有多大?这个计算过程稳定吗?

计算到

612.计算f?(2?1),取2?1.4,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?

113,(3?22),,99?702.63(2?1)(3?22)213.f(x)?ln(x?x?1),求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若

改用另一等价公式

计算,求对数时误差有多大?

ln(x?x2?1)??ln(x?x2?1)

14.试用消元法解方程组

?x1?1010x2?1010;x1?x2?2.假定只用三位数计算,问结果是否可靠?

1?absinc,0?c?22,且测量a,b,c的误差分别为15.已知三角形面积其中c为弧度,

?a,?b,?c.证明面积的误差?s满足

s??s?a?b?c???.sabc

第二章插值法

1.根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令

1Vn(x)?Vn(x0,x1,?,xn?1,x)??11证明Vn(x)是n次多项式,它的根是x0,?,xn?1,且

x0?xn?1x2x0???nx0?x2?xn

2nxn?xn?1?1Vn(x)?Vn?1(x0,x1,?,xn?1)(x?x0)?(x?xn?1).

2.当x=1,-1,2时,f(x)=0,-3,4,求f(x)的二次插值多项式.

3.给出f(x)=lnx的数值表用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值.x0.40.50.60.7lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.3577650.8-0.223144

4.给出cosx,0deg;le;xle;90deg;的函数表,步长h=1prime;=(1/60)deg;,若函数表具有5位有效数字,

研究用线性插值求cosx近似值时的总误差界.

maxl2(x)x?x?khx0?x?x3k05.设,k=0,1,2,3,求.

xj6.设

为互异节点(j=0,1,,n),求证:

i)ii)7.设

?xl(x)?xkjjj?0nnk(k?0,1,?,n);

?(xj?0j?x)klj(x)???k?1,2,?,n).2f(x)?C?a,b?且f(a)?f(b)?0,求证maxa?x?bx?61f(x)?(b?a)2maxf?(x).8a?x?b

x8.在?4?x?4上给出f(x)?e的等距节点函数表,若用二次插值求e的近似值,要使截

断误差不超过10,问使用函数表的步长h应取多少?

n449.若yn?2,求?yn及?yn.

10.如果f(x)是m次多项式,记?f(x)?f(x?h)?f(x),证明f(x)的k阶差分

?kf(x)(0?k?m)是m?k次多项式,并且?m?lf(x)?0(l为正整数).

11.证明?(fkgk)?fk?gk?gk?1?fk.12.证明k?0n?1n?1n?1?f?gkk?fngn?f0g0??gk?1?fk.k?0

13.证明

??j?02yj??yn??y0.

n?1n14.若f(x)?a0?a1x???an?1x?anx有n个不同实根x1,x2,?,xn,证明

?f?(x)j?1jnxkj??0,0?k?n?2;?1an,k?n?1.15.证明n阶均差有下列性质:i)

若F(x)?cf(x),则

F?x0,x1,?,xn??cf?x0,x1,?,xn?;

Fx,x,?,xn??f?x0,x1,?,xn??g?x0,x1,?,xn?.

ii)若F(x)?f(x)?g(x),则?0174f?20,21,?,27?f?20,21,?,28?f(x)?x?x?3x?1????.16.,求及

17.证明两点三次埃尔米特插值余项是

并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.

R3(x)?f(4)(?)(x?xk)2(x?xk?1)2/4!,??(xk,xk?1)

18.求一个次数不高于4次的多项式P(x),使它满足P(0)?P(?k?1)并由此求出分段三次

埃尔米特插值的误差限.19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式P(x),以便使它能够满足以下边界条件

P(0)?P?(0)?0,P(1)?P?(1)?1,P(2)?1.

20.设

f(x)?C?a,b?,把?a,b?分为n等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数?n(x)a,b?上一致收敛到f(x).

并证明当n??时,?n(x)在?2f(x)?1/(1?x),在?5?x?5上取n?10,按等距节点求分段线性插值函数Ih(x),21.设

计算各节点间中点处的Ih(x)与f(x)的值,并估计误差.

a,b?上的分段线性插值函数Ih(x),并估计误差.

22.求f(x)?x在?2423.求f(x)?x在?24.给定数据表如下:0.25xja,b?上的分段埃尔米特插值,并估计误差.

0.300.54770.390.62450.450.67080.530.7280yj0.5000试求三次样条插值S(x)并满足条件i)ii)

2f(x)?C?a,b?,S(x)是三次样条函数,证明25.若

S?(0.25)?1.0000,S?(0.53)?0.6868;S?(0.25)?S?(0.53)?0.

i)

??f?(x)?dx???S?(x)?dx???f?(x)?S?(x)?dx?2?aaab2b2b2baS?(x)?f?(x)?S?(x)?dx;

ii)若f(xi)?S(xi)(i?0,1,?,n),式中xi为插值节点,且a?x0?x1???xn?b,则

?baS?(x)?f?(x)?S?(x)?dx?S?(b)?f?(b)?S?(b)??S?(a)?f?(a)?S?(a)?.

26.编出计算三次样条函数S(x)系数及其在插值节点中点的值的程序框图(S(x)可用(8.7)

式的表达式).

第三章函数逼近与计算

1.(a)利用区间变换推出区间为?a,b?的伯恩斯坦多项式.

?上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的(b)对f(x)?sinx在?马克劳林级数部分和误差做比较.2.求证:

0,?/2(a)当m?f(x)?M时,m?Bn(f,x)?M.(b)当f(x)?x时,Bn(f,x)?x.

0,2??的最佳一致逼近多项式.

3.在次数不超过6的多项式中,求f(x)?sin4x在?a,b?上连续,求f(x)的零次最佳一致逼近多项式.

4.假设f(x)在?5.选取常数a,使0?x?1maxx3?ax达到极小,又问这个解是否唯一?

0,?/2?上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.

6.求f(x)?sinx在?0,17.求f(x)?e在??上的最佳一次逼近多项式.

x?1,1?上与零偏差最小?r是否唯一?

8.如何选取r,使p(x)?x?r在?20,19.设f(x)?x?3x?1,在??上求三次最佳逼近多项式.

43xxxT(x)?T(2x?1),x?0,1??T(x),T(x),T(x),T3(x).nn01210.令,求

11.试证12.在??Txn(x)?是在?0,1?上带权

??1x?x2的正交多项式.

?1,1?上利用插值极小化求1f(x)?tg?1x的三次近似最佳逼近多项式.

?x?1,1?上的插值极小化近似最佳逼近多项式为Ln(x),若f?Ln13.设f(x)?e在?有界,

证明对任何n?1,存在常数?n、?n,使

?nTn?1(x)?f(x)?Ln(x)??nTn?1(x)(?1?x?1).

112331541655?(x)?1?x?x?x?x?x?1,1??28243843840,试将?(x)降低到3次多14.设在上

项式并估计误差.15.在??1,1?上利用幂级数项数求f(x)?sinx的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.

?a,a?上的连续奇(偶)函数,证明不管n是奇数或偶数,f(x)的最佳逼近多项式

16.f(x)是?Fnx(x)?Hn也是奇(偶)函数.

??ax?b?sinx?dx为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.

17.求a、b使?1g(x)?C?a,b?,定义f(x)18.、

202(a)(f,g)??f?(x)g?(x)dx;(b)(f,g)??f?(x)g?(x)dx?f(a)g(a);aabb问它们是否构成内积?

1

x6dx?01?x19.用许瓦兹不等式(4.5)估计的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,

并比较其结果.

20.选择a,使下列积分取得最小值:21.设空间

?1?1(x?ax2)2dx,?x?ax2dx?11.

???span?1,x?,?2?span?x100,x101?,分别在?1、?2上求出一个元素,使得其为

x2?C?0,1?的最佳平方逼近,并比较其结果.

?1?span?1,x2,x4?f(x)?x?1,1??22.在上,求在上的最佳平方逼近.

sin?(n?1)arccosx?un(x)?1?x223.是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系

un?1?x??2xun?x??un?1?x?.

24.将

近多