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文档简介
bnεnεnbibxxbnεnεnbibxxnbbnnxxbxba第章
定分牛—布茨式定f[a,b]数F,即F(x)=f(x)x则f在a,b]上可
b
f
(x)dx=F(a)-F(b),为顿莱尼公a
f
ab.a证对a,b]割,x,…=b}01n间x,x]对i-1i在η,x)i=1,2,…,ii-1i
))]=eq\o\ac(△,))=ii-1ii
f(eq\o\ac(△,))i
i
iii∵f[a,b],的ε>0,存在>0,当x,x”∈且|x-x”|<δ时’)-f(x”.bxTδ时取∈(x,x),||<δ,iii-1iii∴|
f(ξeq\o\ac(△,))i
i
[fξ)(ηeq\o\ac(△,)])x|iii
f(ξ)()△ii
ii
ii<△=ε由定积分bi
f
例(1)
);aa
dx(3)
a
x2
(0<a<b);(4)
dx;(5)
x-x
解∫xdx=+C,ndx=nn
ba
=.n(2)∵∫edx=e+C,a
x
a
1=-x4-x-),8=11i-1iii11211--xx-x1-11=-x4-x-),8=11i-1iii11211--xx-x1-1(3)∵∫+C,x2xx2x
a
111-.bb(4)∵∫sinxdx=-cosx+C,
a
=-cosπ(5)∵∫
x4-x
1130
-x)3
=3例
∞
11nn2n
解式lim∞i
11
11dxin01xn
注i
11
1in
数[0,1]这里所1xeq\o\ac(△,,)x=,ξ=nn习1、
,i=1,2,…,n.(1)
(2x3)
dx;(2)
0
1-x12
dx;(3)
dxxlnx
(4)
0
e-e2
-x
(5)
x
dx;(6)
xx
(7)
401x
(8)
1x
(lnx)
解(1)
(2x3)
(2)
0
1-x12
=2(3)
ee
xlnx
e
(4)
0
e
x
(e)2
=2
=||16444132131=1112i1n=1=||16444132131=1112i1n=1(5)
-3(6)
xx
23
x
x
33(7)令t
x
40
dx1x
=
0
2t1
20
(8)
1x
(ln
3
|
1
=.32、(1)
n∞
1n4
(1
3
)
111lim∞(n22)2
(3)
n∞
n
11222
2
12(nsinsinsinn∞n
解=lim=dx=∞0i
x44
=.4(2)原式
lim∞i
1in
11n0(1x)
11x
=.2(3)原式lim=∞01
=4(4)原式sin∞i
(i-1)1nn
cosx3、若f[a,b]上,[a,b]上F’(x)=f(x),
b
f
a证y,y,…有’对[a,b]割’,12m
nεnnεnεnbi,x,…,x割’添点,y,…,y后割01n12m间x,x]对i-1i在η,x)i=1,2,…,ii-1i
))]=eq\o\ac(△,))=(ηeq\o\ac(△,))xii-1iii
i
∵f在a,b]上可积,iii∴f[a,b],的ε>0,存在>0,当x,x”∈且|x-x”|<δ时’)-f(x”.于bδ取∈,x),便有|<δ,iii-1iii∴|
f(ξ
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