褚2007高教社杯全国生数学建模竞赛

2007高教社杯大学生数学建模竞赛区评阅编号（由赛区评阅前进行编号赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用统一编号（由赛区送交前编号评阅编号（ 评阅前进行编号首先进行数据搜集挖掘与整理将1949-2005年的口信息进行完善然分别总人口进行中短期预测和长期预测对于中短期预测由于人口预测（模型ⅠG（11型并对2006-2015年口预测结果进行了比较分析发现两种模型的预测结果G（11mG（11模型进行了残基于小m色预测模型（模型Ⅱ201513.75～13.79Logistic（模型ⅢBertalanffy（模型ⅣBertalanffyLogistic205515.004～15.119Ⅴ，建立了Ⅵ口峰值较小，但人口化速度加快，将一系列的社会问题；当过大时，人口峰值较大且连续多年居高不下，不符合我国国策和可持续发展，(1.4,1.6)时较为符合我国国情，大2025年口达到峰值为14亿左右。、后利用改进的莱斯利模型对人口指标如人口总数、人口结构、结构、结构等进行预测分析，得到了这些人口指标的预测值，并用EXCEL作出了人口结构结、关键字：人口预测模型基于小m法残差修正的等维递补灰色预测模Logistic型Bertalanffy型改进莱斯利模型基于人口发展方程的人口一、问题重近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着口的增长。2007发布的《国家人口发展》(附录1)还做出了进一步的分析。关于口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2是从《中国附录1《国家人口发 附录2：人口数据 口统计年鉴》中的部分数据）及其说明⑴建 口增长的数学模型 二、问题分题中所给数据只有2001至2005年的市、镇和乡人口不同的人在该类人口中所占的（‰ 文献[1]和《中计年鉴（1991-2005）等，将数据扩充为1949-2005年的 2LogisticLogisticLogisticBertalanffy灰色系统预测法是指多个因素组成的系统发展变化的预测,是指系统中含有可用GM(1,N)GM(1,1),它是GM(1,N)综合考虑各种预测方法的优缺点，尝试建立人口预测模型、基于小m法残差修正的基于小m法残差修正的等维递补灰色预测模型、Bertalanffy模型、改进的莱斯利模型等来实现人口增长的中短期和长期趋势预测、分析口各项指标等。三、模型假不考虑国 政策、自然等对人口增长的影响人们 观念基本不变四、符号说t：预测年期N(t：预测年（第t年）N(0)u0：基期年的人口出生率u0：相对于基期年的出生率的变化率D0：基期年的人口总数C：ps1s2：预测值、误差值的方差五、模型的建立与求出未来的人口发展趋势，所以，首先根据题目中附录2的数据和查找《中计年鉴人口预（一）短期预模型 人口预测模资料中查到，这是制约人口预测模型的关键因素。而附录2中人口数据《组人口状态递推[2]来描述：t(t)hi(t)ki(t)xi

x0(t)(1u00(t))x1(t1)(1u0(t))x0(t)f0x2(t1)(1u1(t))x1(t)xm(t1)(1um1(t))xm1(t)

对于总人口预测模型，若不考虑人口扰动项f0（即机械增长）的影响，其预[3]可表达为N(t)N(0)N(0)eu0u0t

uN(0)

tN(t是预测年（第t年）N(0)

u0是相对于基期年的出生率的变化率，D0基于以上所建立的人口预测模型，只要知道第t年的出生率与基期年的人口总数就可以对第t年的人口总数进行预测，而基期年的人口数又可以《从中计年鉴》建模之前以2000年为基期年，通过人口预测模型预测2001-2005的数据，通过比较预测数据与实际值的误差，并对计算均方差比值Cp的大小Cs2ssppPe0ke0.6745ss s1用6.5求解的结果如下表1所表1人口预测模型对2001-2005年数据拟（万（万相对误差均方差比值0122：精度检验等级参照表相对误差均方差比值根据6.5k<0.01,均方差比值C<0.35,小误差概p>0.95,所以人口预测模型对2001-2005因此，以2005年为基期年，利用人口预测模型可预测出2006-2015年的总3表3：人口预测模型2005-2015年中国总人口预测预测总人口（万根据人口预测模型预测结果，2006-2010年这五，口总数将缓慢增长，到2015年，口将达到13.75亿。这与中国实行政策和人民生活水模型Ⅱ：基于小m法残差修正的等维递补灰色预测模GM（1，1）设有k个原始非负样本序列x(0){x(0) x(0) x(0)(k)}为揭示系统的客规律,在建模前灰色系统理论采用了独特的数据预处理方式,对序列x(0)(k)进行一阶1-AGOk x(1)kx(0) (k

x(1)(k){x(1)

x(1)

x(1)

据此建立关于x(1)(k)的一阶线性白化微分方程dx(1)

ax(1)

利用最小二乘法求解参数 u为a(BTB)1

u u

N1(x(1)(1)x(1) 22B

1(x(1)(2)x(1) 11(x(1)(n1)x(1) 1 NYx(0)N

x(1)

x(0)x(1)的灰色预测GM（1，1）模型 u x1k1

ek

k0,

a x0k1x1k1x1k,

k0,

GM（1，1）⑴求出x0k与x0k之残差ek、相对误差k和平均相对误差ek

kx0k

kekkek in1nkkx，残差平均值ex1nk

x0k

e1n1

e0k⑶求出原始数据方差s2与残差方差s2的均方差比值Cp 1 1 1

x0kxnk

s2

n

2e0k 2k

C21pPe0ke0.6745s1通常ek、k、Cpm定义序列0l定义l时刻原始x0l与预测x0l之差，称l时刻的残0lx0lx0l对0l作如下处理，

,0l0l l1,,,作新序列0l，令0l0l l1, ，则不论序列0l,种形式，恒有0l0，且1l是递增的，这是微分模型可以表达的对序列1l建立GM（1，1）模d1

式中 b是为建立GM需要确定的参数，1是0的累加k1k0i 令aBBBYN 1121 122B

211312, 12 11N1N 1 Y02,0 ,0N 确定x0l的新的预测由上面确定的参数a，可以确定微分方d1

令初值01，则响应函数1t01beat a bak 1k

aa

k a

这样得到了l的 列0l在此基础上作新的 列x0i, x0i,10ix0i, 0i0i

i i

x0i,1就是x0i经修正以后的 列 基于小m[6]中最早的一个数据以保证在序列维数不变的前提下样本数据中始终含有的数用这种处理方法使预测模型得到了有效修正，其预测精度得到了明显的提高。以1949-2005年的中国总人口（单位：万）为原始非负样本序列，依据以上所建立的GM（1，1）模型和基于小m法残差修正的等维递补灰色预测模型，对于基于小m法残差修正的等维递补灰色预测模型，通过比较59维，可知56m56.5201541991-2015（万（万差k比值（万差k比值p0101----上表列出了GM（1，1）模型和基于小m法残差修正的等维递补灰色预测模型的预测结果和衡量预测精度的几项指标，由上表可以看出，GM（1，1）模型预测2015年中国总人口将达到13.795亿，而基于小m法残差修正的等维递补灰色预测模型的预测值为测模型的精度水平几乎一样，根据精度检验等级参照表（见表1.2两个模型的精度等级都是一级，且等维递补的每次预测均方差比值Cp级的条件，因此，两种模型都可以进行预测，但基于小m用6.5编程拟合出的总人口实际值与预测值拟合曲线如下图示图1：也从另一个角度反映了GM（1，1）模型和基于小m法残差修正的等维递补灰色预测模型表5（二）长期预模型Ⅲ：Bertalanffy模模型建立——LogisticLogisticLogisticdyby1y

L 其中b相当于y=0时的增长率,称固有增长率，y表示极限容量(在生态学中)或饱水平（描述技术扩散时）；1ydy~y L yL处达到最大值。y～t是一条S2yL处，当t→∞时，y→L2模型改进——Bertalanffy对Logistic模型作推广，其中最重要的当属世界人口增长模型[7]dy 1 yA1exp 0yk

L修正的非对称响应Logistic yLby L

(

和Bertalanffy ydtby1L

(

其中L（在生态学中）或饱和水平（在描述技术扩散时Logistic式（3.1）0yt0

(L10这里的y为t0时的y值1 yL故令Y 可L y ydtbL

1L

bY1Y

L

L从而有yt

1 (

y0

yL即Bertalanffy模型可看成是进行尺度变换Y L

后，以Y1Logistic3.4LLy 1expbty L

y令Y y

1，则有lnYln和bb 由于lnYilnbtii (i 故应使s2lnYlnbt

极小化，即求*i

is*

minS，此处 是关于的预估计值的上下界 饱和水平L此时，可直接从式（3.5） Lyi 1i (i0, L

S(L,,b,)2

y

i

i0

12005，LogisticBertalanffy表6：LogisticBertalanffy口（万Bertalanffy差差表中数据可以看出，LogisticBertalanffy比较小，但Bertalanffy模型的标准差和相对误差平均值均比Logistic模型小，这说BertalanffyLogistic图2：1981-2005 口实际值与预测值拟合曲Bertalanffy图3：BertalanffyLogistic模型与Bertalanffy模型相比线的几何直观上看后者预测曲线与实测值的重合程度大，后者预测结果好于前者。所以利用Bertalanffy模型计算出的人Bertalanffy205515.004人口控制与指标分以上这些模型得出的人口数量预测对于制定人口政策和人口规划只能起到引导作测。因此又建立了基于人口发展方程的人口控制模型。1pr, tpr, tu

tp

tfr, t

pr, 0

r p

ttutNt22t(t)hi(t)ki(t)xix0(t)(1u00(t))x1(t1)(1u0(t))x0(t)f0x2(t1)(1u1(t))x1(t)

xm(t1)(1um1(t))xm1(t)x(t1)Htxt(t)BtxtFt

其中x(t)x x

x F(t)f0 f1

以年为组划分组，令最 为m，设第t年满i足岁不到i+1足岁的人数xit，记dit为第t年 组 率，因此xi1t11ditxit

i0,

m

t0, 令bit为i组妇女在t年的 时的女性人口比率，则第t年出生人口为2i2pitbitkitxit设d00t为第t年婴儿出 率，x0t1d00tpit

i2为妇女的育龄期kiti组中t则有x1t11d00t1d0tbitkitxit若将bit分解为bitthit，其中hit 模式，成立hit2i2而tbit表示第t年每个育龄妇女平 婴儿数i令bt1dt1dthtkt，i xt1tb'txt 分别令x(t)x x x(t)T 1d1t At

1d2t

1dm1t r2r2

b't

b't

Bt 那么有xt1AtxttBtxt，在社会稳定的前提 率都比较稳定从而可以视At，

Bt为常数

Bxt1AxttBxt对于率函数，采用改进的莱斯利模型对其进行分段预测，考虑到率与社会生活、医疗水平的联系非常大，而且总体呈递减趋势但应有极限态，的重点是在给定t用附录2中的数据和《中计年鉴（1991-2006）中的补充数据进行预测，6.57：根据改进的莱斯利模型不同（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）67890123450505800536045559664图4由于中国的传统习俗影响和少数民族状况以及双胞胎、三胞胎的可能性，1.01.21.4或1.8，也就是当我国主体上坚持执行政策，对大多数人特别是农村人口实行一胎政策（因为农村人口占了八亿多也是我国人口增长的主要部分)，但对少数民族以及一些特殊情况的人群可以允许12在的人口政策和人口实际情况的，从选取的四个值，进行计算的结果来分析，人口在1525几年内还是在增长，说明我国的人口形势还比较严峻的，如果取消的政策，全面允许一对夫妇生两胎或两胎以上人口就会增长对于我国现在重负的土地资源、水资源、森林资源、矿产资源等等，以及严峻的就业、L说不定很快就会超过我国的自然资源和社会资源所能承受的能力，激发，乃至造成社会不安。因此我国的政策在近二、三十年内使应该继续坚持而不应当然从上面的数据也可以看出我国现在已经进入社会化“社会化是指一个社会的老年人数在总人口中占有一定比例。规定，如果一个国家60岁及以上人口占社会总人口的60%，或65岁及以上人口占7%，均可被认为进入化社会。从上面的计算和分析可看出我国已经开始进入社会化而且随着时间的推移，化程度越来越严重。这个结果与口年报、中新社、华声报、科技日报、人民日报等的快速进入了社会化的事实相符，而且随着时间的推移社会老20206510%。据、、等一些比较发达的城市，老年人占的越来越大，老年人的赡养问题、老年人的生活、文化、医疗等等了一系列的社会问题。这些都是函需解决的。各级也要认识到社会化问题的严重性和急迫性，要对社会化的问题给予重视，对出现的问题及时给予解决。故而针对一些比较发达城市的化得出结果的分析来看，当越大时，化的程度增长的越慢，这样有助于延缓化、、、对于人口预测的内容包括:人口总数状况状况、人口结构结构、、、、口的发展趋势,决策通过改进的莱斯利模型可以对未来任一年的人口在各个的人数，下面举2020段20101092020109男女男女0-段20101092020109男女男女0-5-10-15-20-25-30-35-40-45-50-55-60-65-70-75-80-85-20102020101.97（其中女性为100利用模型求得的数据EXCEL做出20102020年的人口金字图5：20102020-- 年--通过该模型用6.5编程还能求出在 年的老年抚养比分别为0.1203，0.2087，少年抚养比分别为0.1573、0.1126。因此当为2时我国在2010年人口将达到13.5379亿人其中人占1.6245亿人，且男女比例为101.97，老年抚养率为0.1203，少年抚养率为0.1573；而在2020年人口将达到14.3378亿人，其中人占2.9617亿人，较2010年有较大提高，且男女比例为102.08，老年抚养率为0.2087，少年抚养率为0.1126随着时间的增加，得我国率基本保持不变，因此少年抚养率有所下降，这也与人的观念的改变有六、模型时，采用了小m法残差修，提高了修正的精度，减少了预测误差。大大减小了灰色BertalanfyLogistic够的历史数据来确定方程中的参数估计值而这些估计值在统计中作用十分显著时更是BertalanffyLogistic从而实现对人口发展的指导作用。七、模型推⑴基于小m⑷由于人们的观念随着时间的推移有所变化，因此模式是一个随着时间变化的函数，在进行莱斯利改进模型预测时，可以对人们的观念，得出人们的观念，由此分析出对模式的影响，进而进行预测。八、参考文[1]中计局口信息网 日[2]，于景元，人口控制论，：科学，1985[3]等，人口预测与人口控制，：人民，1980，[4]汤，土地利用规划中人口预测模型的比较研究， ，192；2005[5]，等，数学模型，：复旦，2006[6]，等维递补灰色校正模型的研究及应用，运筹与管理，第16卷第1期20073；2004[8]，党耀国，预测方法与技术，：高等教育,2005 ，谢金星，数学模型（第三版 ：高等教 ，2006九、附下列程序均是用编写实现 %%%%到1951+b1n=b1- %%%%从1951+a1年开 长度是b1-fory(i-x1(i)=x1(i-b(i-1,1:2)=[-0.5.*(x1(i-forifk==1x01(k)=x11(k)-x11(k- e=x0-forif(e(j)-ep)<0.6745*s1fprintf('均差比为 %%%%到1951+b1 %%%%从1951+a1年开始 长度是b1-a1+1=nwhile%%%%fory(i1-x1(i1)=x1(i1-b(i1-1,1:2)=[-0.5*(x1(i1-forifk==1x01(k)=x11(k)-x11(k- forqy(i11-q1(i11)=q1(i11-qb(i11-1,1:2)=[-0.5*(q1(i11-fork=1:n+1ifk==1q01(k)=q11(k)-q11(k- %%%% e=x0-forif(e(j)-ep)<0.6745*s1forii=1:n-1 saveccwhilei>=1&i<=10fory(i1-x1(i1)=x1(i1-b(i1-1,1:2)=[-0.5.*(x1(i1-forifk==1x01(k)=x11(k)-x11(k-forii=1:n-1 %%%%whileformat fort=1:10n(t)=n0+n0*(exp(csl(t)*t)-1)*(1-loadcforshice(t)=n2000+n2000*(exp(csl(t)*t)-1)*(1-forif(e(j)-ep)<0.6745*s1logisticformatx=[98705100072101654103008104357105851107507109300111026114333115823117171118517119850121121122389123626124761125786127627128453129227129988130756];holdon;holdoff;disp('20062055forxi=c(1)./(1+(c(1)./98705-1).*exp(-c(2).*(ti-e(ti-1979)=abs(xi-x(ti- ei(ti-1979)=e(ti-1979)./x(ti- logisticBertalanffyformatx=[98705100072101654103008104357105851107507109300111026114333115823117171118517119850121121122389123626124761125786127627128453129227129988130756];holdon;holdoff;disp('20062055forxii=c(1)./(1+((c(1)/98705).^c(3)-1).*exp(c(2).*(ti