20必修四 第三章 三角恒等变换 第一节 两角和差的正弦余弦及正切公式- 教师版

个性化教学辅导教案学生姓名年级高一学科数学上课时间2017年月日教师姓名课题必修四第三章第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式教学目标1．掌握两角和与差的正弦、余弦和正切公式以及常见的变形．2．理解相关公式的推导过程，会灵活应用相应的公式解决实际问题．教学过程教师活动学生活动1．已知＝a，＝b，对于任意点M关于A点的对称点为S，S点关于B点的对称点为N.(1)用a，b表示向量；(2)设|a|＝1，|b|＝2，||∈[2eq\r(3)，2eq\r(7)]，求a与b的夹角θ的取值范围．解：(1)依题意，知A为MS的中点，B为NS的中点．∴＝2，＝2.∴＝－＝2(－)＝2＝2(－)＝2(b－a)．(2)∵||∈[2eq\r(3)，2eq\r(7)]，∴2∈[12,28]，∴12≤4(b－a)2≤28.∴3≤4＋1－2a·b≤7，∴－1≤a·b≤1.∵cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a·b,2)，∴－eq\f(1,2)≤cosθ≤eq\f(1,2).∵0≤θ≤π，∴eq\f(π,3)≤θ≤eq\f(2π,3)，即θ的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3))).2．已知在梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝eq\f(1,2)AB.求证：AC⊥BC.证明：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图，设AD＝1，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)．∴＝(－1,1)，＝(1,1)，·＝－1×1＋1×1＝0，∴⊥，∴BC⊥AC.3．设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(m，cos2x)，b＝(1＋sin2x，1)，x∈R，且y＝f(x)的图象经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，2)).求实数m的值．解：f(x)＝a·b＝m(1＋sin2x)＋cos2x，由已知得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋sin\f(π,2)))＋coseq\f(π,2)＝2，解得m＝1.4．(1)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，求a与b的夹角；(2)设＝(2,5)，＝(3,1)，＝(6,3)，在上是否存在点M，使⊥？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)(2a－3b)·(2a＋b)＝4a2－4a·b－3b2＝61.∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－6,4×3)＝－eq\f(1,2)，∴θ＝120°.(2)假设存在点M，且＝λ＝(6λ，3λ)(0<λ≤1)，∴＝(2－6λ，5－3λ)，＝(3－6λ，1－3λ)，∴(2－6λ)×(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，∴45λ2－48λ＋11＝0，得λ＝eq\f(1,3)或λ＝eq\f(11,15).∴＝(2,1)或＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(22,5)，\f(11,5))).∴存在M(2,1)或Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(22,5)，\f(11,5)))满足题意.考点一给角求值问题[问题1余弦公式]求下列各式的值．(1)cos75°cos15°－sin75°sin195°； (2)sin46°cos14°＋sin44°cos76°；(3)eq\f(1,2)cos15°＋eq\f(\r(3),2)sin15°.[解](1)cos75°cos15°－sin75°sin195°＝cos75°cos15°－sin75°sin(180°＋15°)＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°＝cos(75°－15°)＝cos60°＝eq\f(1,2).(2)sin46°cos14°＋sin44°cos76°＝sin(90°－44°)cos14°＋sin44°cos(90°－14°)＝cos44°cos14°＋sin44°sin14°＝cos(44°－14°)＝cos30°＝eq\f(\r(3),2).(3)∵eq\f(1,2)＝cos60°，eq\f(\r(3),2)＝sin60°，∴eq\f(1,2)cos15°＋eq\f(\r(3),2)sin15°＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°＝cos(60°－15°)＝cos45°＝eq\f(\r(2),2).[问题1正弦公式](1)eq\f(cos20°,sin20°)·cos10°＋eq\r(3)sin10°tan70°－2cos40°＝________.(2)求值：(tan10°－eq\r(3))eq\f(cos10°,sin50°).[解](1)2(2)原式＝(tan10°－tan60°)eq\f(cos10°,sin50°)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin10°,cos10°)－\f(sin60°,cos60°)))eq\f(cos10°,sin50°)＝eq\f(sin－50°,cos10°cos60°)·eq\f(cos10°,sin50°)＝－2.[问题1正切公式](1)若α＋β＝eq\f(π,3)，tanα＋eq\r(3)(tanαtanβ＋c)＝0(c为常数)，则tanβ＝________.(2)tan23°＋tan37°＋eq\r(3)tan23°tan37°的值是________．[答案](1)eq\r(3)(c＋1)(2)eq\r(3)考点二给值(式)求值问题[问题2余弦公式](1)若sinα－sinβ＝eq\f(\r(3),2)，cosα－cosβ＝eq\f(1,2)，则cos(α－β)的值为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(3),4)D．1(2)α，β为锐角，cos(α＋β)＝eq\f(12,13)，cos(2α＋β)＝eq\f(3,5)，求cosα的值．[解](1)A(2)∵α，β为锐角，∴0<α＋β<π.又∵cos(α＋β)＝eq\f(12,13)>0，∴0<α＋β<eq\f(π,2)，∴0<2α＋β<π.又∵cos(2α＋β)＝eq\f(3,5)，∴0<2α＋β<eq\f(π,2)，∴sin(α＋β)＝eq\f(5,13)，sin(2α＋β)＝eq\f(4,5)，∴cosα＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β)＝eq\f(3,5)×eq\f(12,13)＋eq\f(4,5)×eq\f(5,13)＝eq\f(56,65).[问题2正弦公式]已知eq\f(π,4)<α<eq\f(3π,4)，0<β<eq\f(π,4)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋β))＝eq\f(5,13).(1)求sin(α＋β)的值；(2)求cos(α－β)的值．[解](1)∵eq\f(π,4)<α<eq\f(3π,4)，eq\f(π,2)<eq\f(π,4)＋α<π，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)))＝eq\f(4,5).∵0<β<eq\f(π,4)，eq\f(3π,4)<eq\f(3π,4)＋β<π，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋β))＝－eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋β)))＝－eq\f(12,13)，∴sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝－sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋β))))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋β))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋β))＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,5)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×\f(5,13)))＝eq\f(63,65).(2)由(1)可知，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(4,5)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋β))＝－eq\f(12,13)，∴sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋β))))＝sineq\f(π,4)＋αcoseq\f(3π,4)＋β－coseq\f(π,4)＋αsineq\f(3π,4)＋β＝eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq\f(5,13)＝－eq\f(33,65).又∵sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋β))))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(α－β－\f(π,2)))＝－cos(α－β)，∴cos(α－β)＝eq\f(33,65).[问题2正切公式]已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝eq\f(4,5)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝－eq\f(12,13)，且α－eq\f(β,2)和eq\f(α,2)－β分别为第二、第三象限角，求taneq\f(α＋β,2)的值．[解]由题意，得coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝－eq\f(5,13)，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝－eq\f(4,3)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\f(5,12)，∴taneq\f(α＋β,2)＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))))＝eq\f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β)),1＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β)))＝eq\f(－\f(4,3)－\f(5,12),1－\f(4,3)×\f(5,12))＝－eq\f(63,16).考点三给值求角问题[问题3余弦公式](1)已知α，β均为锐角，且sinα＝eq\f(2\r(5),5)，sinβ＝eq\f(\r(10),10)，则α－β＝________.(2)已知cos(α－β)＝－eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝eq\f(3,5)，且α－β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，α＋β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，求角β的值．[解](1)eq\f(π,4)(2)由α－β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，cos(α－β)＝－eq\f(3,5)，可知sin(α－β)＝eq\f(4,5).又∵α＋β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，cos(α＋β)＝eq\f(3,5)，∴sin(α＋β)＝－eq\f(4,5)，∴cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq\f(4,5)＝－1.∵α－β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，α＋β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，∴2β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，∴2β＝π，故β＝eq\f(π,2).[问题3正弦公式]已知△ABC中，B＝60°，且eq\f(1,cosA)＋eq\f(1,cosC)＝－eq\f(\r(2),cosB)，若A>C，求A的值．[解]由已知B＝60°，A＋C＝120°，设eq\f(A－C,2)＝α，∵A>C，则α>0，故A＝eq\f(A＋C,2)＋eq\f(A－C,2)＝60°＋α，C＝eq\f(A＋C,2)－eq\f(A－C,2)＝60°－α，故eq\f(1,cosA)＋eq\f(1,cosC)＝eq\f(1,cos60°＋α)＋eq\f(1,cos60°－α)＝eq\f(1,\f(1,2)cosα－\f(\r(3),2)sinα)＋eq\f(1,\f(1,2)cosα＋\f(\r(3),2)sinα)＝eq\f(cosα,\f(1,4)cos2α－\f(3,4)sin2α)＝eq\f(cosα,cos2α－\f(3,4)).由题设有eq\f(cosα,cos2α－\f(3,4))＝－eq\f(\r(2),cosB)＝－2eq\r(2)，整理得：4eq\r(2)cos2α＋2cosα－3eq\r(2)＝0.即(2cosα－eq\r(2))(2eq\r(2)cosα＋3)＝0.∵2eq\r(2)cosα＋3≠0，∴2cosα－eq\r(2)＝0.∴cosα＝eq\f(\r(2),2).故α＝45°，A＝60°＋45°＝105°.[问题3正切公式]是否存在锐角α和β，使α＋2β＝eq\f(2π,3)①，且taneq\f(α,2)tanβ＝2－eq\r(3)②，同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．[解]由①得eq\f(α,2)＋β＝eq\f(π,3)，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋β))＝eq\f(tan\f(α,2)＋tanβ,1－tan\f(α,2)tanβ)＝eq\r(3).将②代入得taneq\f(α,2)＋tanβ＝3－eq\r(3).∵taneq\f(α,2)tanβ＝2－eq\r(3)，∴taneq\f(α,2)，tanβ是方程x2－(3－eq\r(3))x＋2－eq\r(3)＝0的两根．解得x1＝1，x2＝2－eq\r(3).若taneq\f(α,2)＝1，则与α为锐角矛盾．∴tanβ＝1，taneq\f(α,2)＝2－eq\r(3)，∴β＝eq\f(π,4)，代入①得α＝eq\f(π,6)，满足taneq\f(α,2)＝2－eq\r(3).【两角差的余弦公式】[提出问题]问题1：当α＝60°，β＝30°时，cosα－cosβ等于多少？提示：cosα－cosβ＝cos60°－cos30°＝eq\f(1－\r(3),2).问题2：cos60°－cos30°＝cos(60°－30°)成立吗？提示：不成立．问题3：cosα－cosβ＝cos(α－β)成立吗？提示：不一定．问题4：单位圆中(如图)，∠AOx＝α，∠BOx＝β，那么A，B的坐标是什么？与的夹角是多少？提示：A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)．与的夹角是α－β.问题5：你能用几种方法计算·的数量积？提示：①·＝||·||cos(α－β)＝cos(α－β)．②·＝(cosα，sinα)·(cosβ，sinβ)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.问题6：根据上面的计算可以得出什么结论？提示：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.[导入新知]两角差的余弦公式公式cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β简记符号C(α－β)使用条件α，β为任意角[几点说明]1．公式C(α－β)的结构特点及适用条件(1)公式的结构特点公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式．(2)公式的适用条件公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α＋β,2)－\f(α－β,2)))中的eq\f(α＋β,2)相当于公式中的角α，eq\f(α－β,2)相当于公式中的角β.可用两角差的余弦公式展开，因此对公式的理解要注意结构形式，而不要局限于具体的角．2．公式的巧记两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和．【两角和的余弦公式】[提出问题]问题1：把公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ中的β用－β代替，结果如何？提示：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.问题2：在cos(α±β)的公式中，α，β的条件是什么？提示：α，β为任意角．[导入新知]两角和与差的余弦公式名称公式简记符号条件两角和的余弦cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_βC(α＋β)α，β∈R两角差的余弦cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβC(α－β)[几点说明]公式C(α＋β)的推导cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cosαcos(－β)＋sinαsin(－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，即cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.【两角和与差的正弦公式】[提出问题]问题1：由公式C(α＋β)或C(α－β)可求sin75°的值吗？提示：可以，因为sin75°＝cos15°＝cos(45°－30°)．问题2：由公式C(α±β)可以得到sin(α＋β)的公式吗？提示：可以，sin(α＋β)＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α＋β))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))－β))＝sinαcosβ＋cosαsinβ.问题3：能利用上述公式把sin(α－β)用sinα，cosα，sinβ，cosβ表示吗？提示：能．[导入新知]两角和与差的正弦公式名称公式简记符号使用条件两角和的正弦sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_βS(α＋β)α，β∈R两角差的正弦sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_βS(α－β)α，β∈R[几点说明]两角和与差的正弦公式与余弦公式的区别(1)余弦公式右边函数名的排列顺序为：余·余±正·正，左右两边加减运算符号相反．(2)正弦公式右边函数名的排列顺序为：正·余±余·正，左右两边加减运算符号相同．【两角和与差的正切公式】[提出问题]问题1：前面学习的同角三角函数关系中，tanα，sinα，cosα的关系怎样？提示：tanα＝eq\f(sinα,cosα).问题2：利用该关系式及两角和的正、余弦公式，能把tan(α＋β)用tanα，tanβ表示吗？提示：能．tan(α＋β)＝eq\f(sinα＋β,cosα＋β)＝eq\f(sinαcosβ＋cosαsinβ,cosαcosβ－sinαsinβ)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ).问题3：能用tanα，tanβ表示tan(α－β)吗？提示：能．问题4：公式中，α，β是任意实数吗？提示：不是，α，β，α±β≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.[导入新知]两角和与差的正切公式名称公式简记符号使用条件两角和的正切tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)T(α＋β)α，β，α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)两角差的正切tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)T(α－β)α，β，α－β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)[几点说明]1．公式tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)的推导当cos(α＋β)≠0时，将公式S(α＋β)，C(α＋β)的两边分别相除，有tan(α＋β)＝eq\f(sinα＋β,cosα＋β)＝eq\f(sinαcosβ＋cosαsinβ,cosαcosβ－sinαsinβ)，若cosαcosβ≠0，将上式的分子、分母分别除以cosαcosβ，得tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ).2．公式tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)的推导由于tan(－β)＝eq\f(sin－β,cos－β)＝eq\f(－sinβ,cosβ)＝－tanβ，在T(α＋β)中以－β代替β，可得tan(α－β)＝tan[α＋(－β)]＝eq\f(tanα＋tan－β,1－tanαtan－β)，即tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ).【典例剖析】考点一给角求值问题[问题1余弦公式]求下列各式的值．(1)cos75°cos15°－sin75°sin195°； (2)sin46°cos14°＋sin44°cos76°；(3)eq\f(1,2)cos15°＋eq\f(\r(3),2)sin15°.[解](1)cos75°cos15°－sin75°sin195°＝cos75°cos15°－sin75°sin(180°＋15°)＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°＝cos(75°－15°)＝cos60°＝eq\f(1,2).(2)sin46°cos14°＋sin44°cos76°＝sin(90°－44°)cos14°＋sin44°cos(90°－14°)＝cos44°cos14°＋sin44°sin14°＝cos(44°－14°)＝cos30°＝eq\f(\r(3),2).(3)∵eq\f(1,2)＝cos60°，eq\f(\r(3),2)＝sin60°，∴eq\f(1,2)cos15°＋eq\f(\r(3),2)sin15°＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°＝cos(60°－15°)＝cos45°＝eq\f(\r(2),2).[问题1正弦公式](1)eq\f(cos20°,sin20°)·cos10°＋eq\r(3)sin10°tan70°－2cos40°＝________.(2)求值：(tan10°－eq\r(3))eq\f(cos10°,sin50°).[解](1)2(2)原式＝(tan10°－tan60°)eq\f(cos10°,sin50°)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin10°,cos10°)－\f(sin60°,cos60°)))eq\f(cos10°,sin50°)＝eq\f(sin－50°,cos10°cos60°)·eq\f(cos10°,sin50°)＝－2.[问题1正切公式](1)若α＋β＝eq\f(π,3)，tanα＋eq\r(3)(tanαtanβ＋c)＝0(c为常数)，则tanβ＝________.(2)tan23°＋tan37°＋eq\r(3)tan23°tan37°的值是________．[答案](1)eq\r(3)(c＋1)(2)eq\r(3)考点二给值(式)求值问题[问题2余弦公式](1)若sinα－sinβ＝eq\f(\r(3),2)，cosα－cosβ＝eq\f(1,2)，则cos(α－β)的值为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(3),4)D．1(2)α，β为锐角，cos(α＋β)＝eq\f(12,13)，cos(2α＋β)＝eq\f(3,5)，求cosα的值．[解](1)A(2)∵α，β为锐角，∴0<α＋β<π.又∵cos(α＋β)＝eq\f(12,13)>0，∴0<α＋β<eq\f(π,2)，∴0<2α＋β<π.又∵cos(2α＋β)＝eq\f(3,5)，∴0<2α＋β<eq\f(π,2)，∴sin(α＋β)＝eq\f(5,13)，sin(2α＋β)＝eq\f(4,5)，∴cosα＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β)＝eq\f(3,5)×eq\f(12,13)＋eq\f(4,5)×eq\f(5,13)＝eq\f(56,65).[问题2正弦公式]已知eq\f(π,4)<α<eq\f(3π,4)，0<β<eq\f(π,4)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋β))＝eq\f(5,13).(1)求sin(α＋β)的值；(2)求cos(α－β)的值．[解](1)∵eq\f(π,4)<α<eq\f(3π,4)，eq\f(π,2)<eq\f(π,4)＋α<π，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)))＝eq\f(4,5).∵0<β<eq\f(π,4)，eq\f(3π,4)<eq\f(3π,4)＋β<π，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋β))＝－eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋β)))＝－eq\f(12,13)，∴sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝－sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋β))))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋β))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋β))＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,5)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×\f(5,13)))＝eq\f(63,65).(2)由(1)可知，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(4,5)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋β))＝－eq\f(12,13)，∴sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋β))))＝sineq\f(π,4)＋αcoseq\f(3π,4)＋β－coseq\f(π,4)＋αsineq\f(3π,4)＋β＝eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq\f(5,13)＝－eq\f(33,65).又∵sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋β))))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(α－β－\f(π,2)))＝－cos(α－β)，∴cos(α－β)＝eq\f(33,65).[问题2正切公式]已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝eq\f(4,5)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝－eq\f(12,13)，且α－eq\f(β,2)和eq\f(α,2)－β分别为第二、第三象限角，求taneq\f(α＋β,2)的值．[解]由题意，得coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝－eq\f(5,13)，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝－eq\f(4,3)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\f(5,12)，∴taneq\f(α＋β,2)＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))))＝eq\f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β)),1＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β)))＝eq\f(－\f(4,3)－\f(5,12),1－\f(4,3)×\f(5,12))＝－eq\f(63,16).考点三给值求角问题[问题3余弦公式](1)已知α，β均为锐角，且sinα＝eq\f(2\r(5),5)，sinβ＝eq\f(\r(10),10)，则α－β＝________.(2)已知cos(α－β)＝－eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝eq\f(3,5)，且α－β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，α＋β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，求角β的值．[解](1)eq\f(π,4)(2)由α－β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，cos(α－β)＝－eq\f(3,5)，可知sin(α－β)＝eq\f(4,5).又∵α＋β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，cos(α＋β)＝eq\f(3,5)，∴sin(α＋β)＝－eq\f(4,5)，∴cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq\f(4,5)＝－1.∵α－β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，α＋β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，∴2β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，∴2β＝π，故β＝eq\f(π,2).[问题3正弦公式]已知△ABC中，B＝60°，且eq\f(1,cosA)＋eq\f(1,cosC)＝－eq\f(\r(2),cosB)，若A>C，求A的值．[解]由已知B＝60°，A＋C＝120°，设eq\f(A－C,2)＝α，∵A>C，则α>0，故A＝eq\f(A＋C,2)＋eq\f(A－C,2)＝60°＋α，C＝eq\f(A＋C,2)－eq\f(A－C,2)＝60°－α，故eq\f(1,cosA)＋eq\f(1,cosC)＝eq\f(1,cos60°＋α)＋eq\f(1,cos60°－α)＝eq\f(1,\f(1,2)cosα－\f(\r(3),2)sinα)＋eq\f(1,\f(1,2)cosα＋\f(\r(3),2)sinα)＝eq\f(cosα,\f(1,4)cos2α－\f(3,4)sin2α)＝eq\f(cosα,cos2α－\f(3,4)).由题设有eq\f(cosα,cos2α－\f(3,4))＝－eq\f(\r(2),cosB)＝－2eq\r(2)，整理得：4eq\r(2)cos2α＋2cosα－3eq\r(2)＝0.即(2cosα－eq\r(2))(2eq\r(2)cosα＋3)＝0.∵2eq\r(2)cosα＋3≠0，∴2cosα－eq\r(2)＝0.∴cosα＝eq\f(\r(2),2).故α＝45°，A＝60°＋45°＝105°.[问题3正切公式]是否存在锐角α和β，使α＋2β＝eq\f(2π,3)①，且taneq\f(α,2)tanβ＝2－eq\r(3)②，同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．[解]由①得eq\f(α,2)＋β＝eq\f(π,3)，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋β))＝eq\f(tan\f(α,2)＋tanβ,1－tan\f(α,2)tanβ)＝eq\r(3).将②代入得taneq\f(α,2)＋tanβ＝3－eq\r(3).∵taneq\f(α,2)tanβ＝2－eq\r(3)，∴taneq\f(α,2)，tanβ是方程x2－(3－eq\r(3))x＋2－eq\r(3)＝0的两根．解得x1＝1，x2＝2－eq\r(3).若taneq\f(α,2)＝1，则与α为锐角矛盾．∴tanβ＝1，taneq\f(α,2)＝2－eq\r(3)，∴β＝eq\f(π,4)，代入①得α＝eq\f(π,6)，满足taneq\f(α,2)＝2－eq\r(3).[余弦公式]1．cos(x＋27°)cos(x－18°)＋sin(x＋27°)sin(x－18°)＝________.答案：eq\f(\r(2),2)2．求eq\f(2cos10°－sin20°,sin70°)的值．答案：eq\r(3)3．若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋α))＝eq\f(5,13)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－β))＝eq\f(3,5)，且0<α<eq\f(π,4)<β<eq\f(3π,4)，求sin(α＋β)的值．答案：eq\f(56,65)4．已知α，β都是锐角，cosα＝eq\f(1,3)，sin(α＋β)＝eq\f(2\r(2)＋\r(3),6)，求角β的值．答案：eq\f(π,3)[正弦公式]1．求值：[2sin50°＋sin10°(1＋eq\r(3)tan10°)]·eq\r(2sin280°).答案：eq\r(6)2．已知α，β是锐角，且sinα＝eq\f(4\r(3),7)，cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，求sinβ的值．答案：eq\f(\r(3),2)3．已知α，β均为锐角，且sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(\r(10),10)，求α－β的值．答案：－eq\f(π,4)[正切公式]1．计算eq\f(1＋tan105°,1－tan105°)的值．答案：－eq\f(\r(3),3)2．求tan20°＋tan40°＋eq\r(3)tan20°tan40°的值．答案：eq\r(3)3．已知cosα＝eq\f(4,5)，α∈(0，π)，tan(α－β)＝eq\f(1,2)，求tanβ及tan(2α－β)的值．答案：tanβ＝eq\f(2,11)；tan(2α－β)＝24．已知tan(α－β)＝eq\f(1,2)，tanβ＝－eq\f(1,7)，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．答案：－eq\f(3π,4)[方法技巧]一、给值求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①α＝(α－β)＋β；②α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．二、已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围；(2)求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数；(3)结合三角函数值及角的范围求角．【经典例题剖析】[求三角函数值时忽略角的范围][典例1]已知α，β为锐角，cosα＝eq\f(1,7)，sin(α＋β)＝eq\f(5\r(3),14)，则cosβ＝________.[解析]因为α为锐角，cosα＝eq\f(1,7)，所以sinα＝eq\f(4\r(3),7).因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π.又sin(α＋β)＝eq\f(5\r(3),14)<eq\f(\r(3),2)，所以0<α＋β<eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)<α＋β<π.由cosα＝eq\f(1,7)<eq\f(1,2)，得eq\f(π,3)<α<eq\f(π,2)，从而eq\f(2π,3)<α＋β<π，于是cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝eq\f(1,2).[答案]eq\f(1,2)[易错防范]本题若不能利用sin(α＋β)＝eq\f(5\r(3),14)<eq\f(\r(3),2)将α＋β的范围进一步缩小为0<α＋β<eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)<α＋β<π，误认为α＋β∈(0，π)，则会得出cos(α＋β)＝±eq\f(11,14)，进而得出cosβ＝eq\f(1,2)或eq\f(71,98)的错误答案．[变式]已知α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(12,13)，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))的值．答案：－eq\f(56,65)[与辅助角有关的公式][典例2]已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋acosx＋b(a，b∈R，且均为常数)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，0))上单调递增，且恰好能够取到f(x)的最小值2，试求a，b的值．[解题流程][规范解答](1)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋acosx＋b＝2sinxcoseq\f(π,6)＋acosx＋b＝eq\r(3)sinx＋acosx＋b＝eq\r(a2＋3)sin(x＋φ)＋b.(4分)所以，函数f(x)的最小正周期为2π.(6分)(2)由(1)可知：f(x)的最小值为－eq\r(a2＋3)＋b，所以－eq\r(a2＋3)＋b＝2.①(8分)另外由f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，0))上单调递增，可知f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，0))上的最小值为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝－eq\f(3,2)＋eq\f(a,2)＋b＝2.②(10分)由①②解得a＝－1，b＝4.(12分)[名师批注]此处在解题过程中极易忽视.注意对“恰好能够取到fx的最小值2”的理解，否则无法求解.[变式]已知函数f(x)＝sin2x＋eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2x)).(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x的值；(3)求函数f(x)的单调增区间．答案：(1)π(2)x＝kπ＋eq\f(π,12)(k∈Z)时，f(x)有最大值为2；x＝kπ－eq\f(5π,12)(k∈Z)时，f(x)有最小值为－2(3)kπ－eq\f(5π,12)，kπ＋eq\f(π,12)(k∈Z)[三角函数中的求角问题][典例3]已知tanα＝eq\f(1,7)，sinβ＝eq\f(\r(10),10)，且α，β为锐角，求α＋2β的值．[解题流程][规范解答]∵tanα＝eq\f(1,7)<1且α为锐角，∴0<α<eq\f(π,4).(2分)又∵sinβ＝eq\f(\r(10),10)<eq\f(\r(50),10)＝eq\f(\r(2),2)，且β为锐角，∴0<β<eq\f(π,4)，∴0<α＋2β<eq\f(3π,4).①(4分)由sinβ＝eq\f(\r(10),10)，β为锐角，得cosβ＝eq\f(3\r(10),10)，∴tanβ＝eq\f(1,3).(6分)∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(\f(1,7)＋\f(1,3),1－\f(1,7)×\f(1,3))＝eq\f(1,2).(8分)∴tan(α＋2β)＝eq\f(tanα＋β＋tanβ,1－tanα＋βtanβ)＝eq\f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,2)×\f(1,3))＝1.②(10分)由①②可得α＋2β＝eq\f(π,4).(12分)[名师批注]利用tanα＝eq\f(1,7)<1及α为锐角，进一步将α的范围缩小到eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，此处极易被忽视.由sinβ<eq\f(\r(2),2)及β为锐角，将β的范围缩小到eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，此处同样很容易被忽视而造成解题错误．此处在本题的解决过程中起到桥梁过渡的作用，若考虑不到此点，则问题很难解决．将α＋2β化为(α＋β)＋β，使问题得以顺利解决，此处常因找不到此转化关系而造成题目无法求解或求解困难．[变式]设α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，tanα，tanβ是一元二次方程x2＋3eq\r(3)x＋4＝0的两个根，求α＋β的值．答案：－eq\f(2π,3)[余弦公式]1．cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ化简为()A．sin(2α＋β) B．cos(α－2β)C．cosα D．cosβ答案：C2．设α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，若sinα＝eq\f(3,5)，则eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝()A.eq\f(1,5)B.eq\f(7,5)C．－eq\f(7,5) D．－eq\f(1,5)答案：B3．计算：cos(－42°)cos18°＋sin42°sin(－18°)＝______.答案：eq\f(1,2)4．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＝eq\f(12,13)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，则cosα的值为________．答案：eq\f(12\r(3)－5,26)5．若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，且sinx＝eq\f(4,5)，求2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2π,3)))＋2cosx的值．答案：eq\f(4\r(3)－3,5)[正弦公式]1．sin105°的值为()A.eq\f(\r(3)＋\r(2),2)B.eq\f(\r(2)＋1,2)C.eq\f(\r(6)－\r(2),4)D.eq\f(\r(2)＋\r(6),4)答案：D2．若sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于()A．1 B．－1C．0 D．±1答案：C3．已知cos(α＋β)＝eq\f(4,5)，cos(α－β)＝－eq\f(4,5)，则cosαcosβ＝________.答案：04．已知sinα＝－eq\f(3,5)，α是第四象限角，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝________.答案：eq\f(7\r(2),10)5．化简求值：(1)sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)；(2)cos(70°＋α)sin(170°－α)－sin(70°＋α)cos(10°＋α)；(3)cos21°·cos24°＋sin159°·sin204°.答案：(1)sin2α(2)－eq\f(\r(3),2)(3)eq\f(\r(2),2)[正切公式]1．计算：eq\f(1－tan75°,1＋tan75°)＝()A.eq\r(3) B．－eq\r(3)C.eq\f(\r(3),3) D．－eq\f(\r(3),3)答案：D2．若α＝20°，β＝25°，则(1＋tanα)(1＋tanβ)的值为()A．1 B．2C．1＋eq\r(2) D．1＋eq\r(3)答案：B3．已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝eq\f(1,7)，则tanβ的值为________．答案：34．已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则α等于________．答案：eq\f(3π,8)5．已知sinα＝eq\f(3,5)，α为第二象限角，且tan(α＋β)＝1，求tanβ的值．答案：7[余弦公式]1．计算：eq\f(\r(2),2)(cos75°＋sin75°)＝________.答案：eq\f(\r(3),2)2．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0和cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)的值是________．答案：－eq\f(1,2)3．已知cos(α＋β)＝eq\f(4,5)，cos(α－β)＝－eq\f(4,5)，eq\f(3π,2)<α＋β<2π，eq\f(π,2)<α－β<π，则cos2β＝________.答案：－14．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝eq\f(2\r(5),5)，求cos(α－β)的值．解：∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，∴a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)．∴|a－b|＝eq\r(cosα－cosβ2＋sinα－sinβ2)＝eq\r(cos2α－2cosαcosβ＋cos2β＋sin2α－2sinαsinβ＋sin2β)＝eq\r(2－2cosα－β)＝eq\f(2\r(5),5)，∴2－2cos(α－β)＝eq\f(4,5)，∴cos(α－β)＝eq\f(3,5).5．已知sinα＝eq\f(12,13)，cosβ＝－eq\f(3,5)，α、β均为第二象限角，求cos(α－β)的值．解：由sinα＝eq\f(12,13)，α为第二象限角，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))2)＝－eq\f(5,13).又由cosβ＝－eq\f(3,5)，β为第二象限角，∴sinβ＝eq\r(1－cos2β)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))2)＝eq\f(4,5).∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＋eq\f(12,13)×eq\f(4,5)＝eq\f(63,65).[正弦公式]1．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))，则tanα＝________.答案：12．若0<α<eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)<β<0，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(1,3)，coseq\f(π,4)－eq\f(β,2)＝eq\f(\r(3),3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs