《椭圆及其标准方程》第2课时示范课教案【高中数学苏教版】

《椭圆及其标准方程》教学设计第2课时教学目标教学目标1．掌握椭圆的定义、方程及标准方程；2．掌握焦点、焦距、焦点位置与方程的关系；会求满足一定条件的椭圆的标准方程．教学重难点教学重难点求符合一定条件的椭圆的标准方程．教学过程教学过程复习巩固（老师通过幻灯片出示题目，安排学生动手加以解决）1．填空（1）椭圆的定义是_________________________________________________________________________________________________________________________________．数学语言是______________________________________________________________________________________________________________________________________．（2）焦点在x轴上的椭圆的标准方程是________________________________________________________________________________________________________________．（3）焦点在y轴上的椭圆的标准方程是________________________________________________________________________________________________________________．（4）椭圆的三个特征量是______，它们之间的关系是____________________________________________________________________________________________________．2．已知椭圆方程为eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,11)＝1，那么它的焦距是（）A．6B．3C．3eq\r(31)D．eq\r(31)3．a＝6，c＝1，焦点在y轴上的椭圆的标准方程是________________．答案：2．A3．eq\f(y2,36)＋eq\f(x2,35)＝1学生活动：独立思考解决以上问题．设计意图：此组题目编排的目的是使学生熟悉椭圆的定义及标准方程以及椭圆方程中a，b，c各量的关系，熟悉焦距．典型示例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在x轴上，且经过点（2，0）和点（0，1）．（2）焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P（0，－10），P到与它较近的一个焦点的距离等于2．（3）椭圆经过点（1，eq\f(3,2)），（－eq\r(3)，eq\f(\r(3),2)）．通过学生交流探索，让学生学会分析与解决问题，学会转化问题和应用方程组思想．教师活动：将已有的知识更加明朗化；通过学生讨论与反思，体会椭圆标准方程的常规求法，便于掌握本节的重点，突破难点．解：（1）由题意a＝2，b＝1，∴椭圆的标准方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1．（2）由题意a＝10，a－c＝2．∴c＝8．又a2＝b2＋c2，∴b＝6．∴椭圆的标准方程为eq\f(y2,100)＋eq\f(x2,36)＝1．（3）设椭圆方程为ax2＋by2＝1．∵椭圆经过点（1，eq\f(3,2)），（－eq\r(3)，eq\f(\r(3),2)），∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋\f(9,4)b＝1，,3a＋\f(3,4)b＝1.))解得a＝eq\f(1,4)，b＝eq\f(1,3)．∴椭圆标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1．说明：（1）标准方程决定的椭圆中，与坐标轴的交点横坐标或纵坐标的绝对值实际即为a与b的值．（2）后面的学习中将证明椭圆长轴端点距焦点最远或最近．（3）要熟悉待定系数法求曲线的方程，学生在设方程方面需要给予引导．说明：本题若不限制解题方法则可借助椭圆的定义直接写出方程．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(巩固练习))（1）两个焦点坐标分别是（－3，0），（3，0），且经过点（5，0）的椭圆方程为__________；（2）两个焦点坐标分别是（0，5），（0，－5），椭圆上一点P到两焦点的距离和为26的椭圆的标准方程为______________．答案：（1）eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1（2）eq\f(y2,169)＋eq\f(x2,144)＝12已知点M在椭圆eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1上，MP′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P′，并且M为线段PP′的中点，求P点的轨迹方程．分析：引导学生做出草图，点M为主动点，P是从动点．可用代入法求从动点的轨迹方程．解：设P点的坐标为（x，y），M点的坐标为（x0，y0）．∵点M在椭圆eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1上，∴eq\f(x\o\al(2,0),36)＋eq\f(y\o\al(2,0),9)＝1．∵M是线段PP′的中点，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝x，,y0＝\f(y,2).))把eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝x，,y0＝\f(y,2)))代入eq\f(x\o\al(2,0),36)＋eq\f(y\o\al(2,0),9)＝1得eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,36)＝1．即x2＋y2＝36．∴P点的轨迹方程为x2＋y2＝36．点评：由[例2]看出，将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长），可以得到椭圆；将椭圆按照某个方向均匀地拉长（压缩），可以得到圆（也可以得到椭圆）．3P是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上的一点，F1、F2是焦点，若∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积．分析：从已知我们不难知道|PF1|＋|PF2|，还可以知道|F1F2|以及∠F1PF2，据此我们利用余弦定理可求出|PF1|与|PF2|的积，有了这个积，又知道∠F1PF2的大小，由公式S＝eq\f(1,2)absinC即可求出△PF1F2的面积．答案：eq\f(16\r(3),3)从此题可得出一般结论：S△PF1F2＝b2taneq\f(∠F1PF2,2)．4△ABC的两个顶点坐标分别是B（0，6）和C（0，－6），另两边AB、AC的斜率的乘积是－eq\f(4,9)，求顶点A的轨迹方程．解析：设顶点A的坐标为（x，y）．按题意得eq\f(y－6,x)·eq\f(y＋6,x)＝－eq\f(4,9)．∴顶点A的轨迹方程为eq\f(x2,81)＋eq\f(y2,36)＝1（y≠±6）．点评：求出曲线方程后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件．教师活动：规范解题步骤，明确用定义法求标准方程的要领，培养学生应用数学语言的能力．设计意图：增强学生解题过程的规范化和解题的通性通法．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(变练演编))1．一个椭圆过M（－2，eq\r(3)），N（1，2eq\r(3)）两点，求该椭圆的标准方程．2．求过点A（0，－2）且与椭圆eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,9)＝1共焦点的椭圆的标准方程．1．提示：引导利用椭圆标准方程的统一形式mx2＋ny2＝1（m>0，n>0，m≠n）解题．2．分析：由已知的椭圆方程可知，椭圆的焦点为（0，－1），（0，1），所以c＝1．又因为椭圆过点（0，－2），所以a＝2．故所求方程为eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(达标检测))1．已知椭圆过点P（eq\f(3,5)，－4）和点Q（－eq\f(4,5)，3），则此椭圆的标准方程是（）A．eq\f(y2,25)＋x2＝1B．eq\f(x2,25)＋y2＝1C．eq\f(x2,25)＋y2＝1或x2＋eq\f(y2,25)＝1D．以上都不对解析：设椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1（a＞0，b＞0）．∵椭圆过P、Q两点，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(9,25a2)＋\f(16,b2)＝1，,\f(16,25a2)＋\f(9,b2)＝1.))解得a2＝1，b2＝25，∴x2＋eq\f(y2,25)＝1为所求．答案：A2．已知椭圆的方程是eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,25)＝1（a＞5），它的两个焦点分别为F1、F2，且|F1F2|＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（）A．10B．20C．2eq\r(41)D．4eq\r(41)解析：∵a＞5，∴椭圆的焦点在x轴上．∴a2－25＝42，a＝eq\r(41)．由椭圆的定义知△ABF2的周长为4a＝4eq\r(41)．答案：D3．已知曲线C的方程是eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，则曲线C是（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在x轴上或焦点在y轴上的椭圆D．可能不是椭圆解析：当a2＝b2时，曲线C为圆．答案：D4．已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP′，则线段PP′中点M的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．可能是圆也可能是椭圆D．以上都有可能解析：设M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），则xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝4，x0＝x，y0＝2y，把x0＝x，y0＝2y代入xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝4得x2＋4y2＝4，即eq\f(x2,4)＋y2＝1．∴点M的轨迹是一个椭圆．答案：B课堂小结（让学生主动盘点收获，教师补充．主要围绕：1．利用椭圆的定义和标准方程解题；2．待定系数法．）布置作业教材本节练习3，4．补充练习1．方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,m2－2)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m满足________．2．椭圆eq\f(x2,cos2θ)＋eq\f(y2,sin2θ)＝1，θ∈（eq\f(π,4)，eq\f(π,2)）的焦点坐标是____________．3．椭圆的两个焦点F1，F2都在y轴上，且它们到原点的距离都是2，CD是过F2的弦，且△CDF1的周长为12，则此椭圆的方程为____________．答案：1．（eq\r(2)，2）2．（0，±eq\r(sin2θ－cos2θ)）3．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,9)＝1教学反思教学反思本节课的设计力图贯彻“以人的发展为本”的教育理念，体现“教师为主导，学生为主体”的现代教学思想．设计主要是让学生掌握椭