一次函数的图像和性质（2种类型4大技巧）初中数学（含答案）

一次函数的图像和性质（2种类型4大技巧考点1：一次函数增减性应用考点2：一次函数图像与系数的关系判断直线经过象限的方法：k的符号决定直线经过第一、三象限还是第二、四象限（k＞0，图像经过第一、三象限；k＜0，图像经过第二、四象限）；b的符号决定直线与y轴交点位置（b＞0，图像与y轴的正半轴相交；b=0,图像经过原点；b＜0，图像与y轴的负半轴相交）的大小决定直线的倾斜程度，即越大，直线与x轴正方向的夹角越大，越小，直线与y轴正方向的夹角越小。【考点1：一次函数的增减性的应用】【典例1】（2021秋•商河县期末）点P1（﹣1，y1），点P2（2，y2）是一次函数y＝kx+b（k＜0）图象上两点，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定【答案】A【解答】解：∵k＜0，∴y随x的增大而减小，又∵点P1（﹣1，y1），点P2（2，y2）是一次函数y＝kx+b（k＜0）图象上两点，且﹣1＜2，∴y1＞y2．故选：A．【变式1-1】（2021秋•金寨县期末）函数y＝﹣3x+1图象上有两点A（1，y1），B（3，y2），则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定【答案】A【解答】解：∵k＝﹣3＜0，∴y随x的增大而减小，又∵点A（1，y1），B（3，y2）在一次函数y＝﹣3x+1图象上，且1＜3，∴y1＞y2．故选：A．【变式1-2】（2021秋•西安期末）一次函数y＝x+1的图象如图所示，下列说法正确的是（）A．y的值随着x的增大而减小 B．函数图象经过第二、三、四象限 C．函数图象与x轴的交点坐标为（1，0） D．函数图象与y轴的交点坐标为（0，1）【答案】D【解答】解：A、一次函数y＝x+1中，k＝1＞0，所以y随x的增大而增大，故错误；B、由图象可知，函数图象经过一、二、三象限，故错误；C、令y＝0，则x＝﹣1，所以直线与x轴的交点为（﹣1，0），故错误；D、令x＝0，则y＝1，所以直线与y轴的交点为（0，1），故正确．故选：D．【变式1-3】（2021秋•柯桥区期末）已知点A（﹣2，y1），B（3，y2）在一次函数y＝﹣2x+b的图象上，则y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．以上都不对【答案】A【解答】解：∵k＝﹣2＜0，∴y随x的增大而减小，又∵点A（﹣2，y1），B（3，y2）在一次函数y＝﹣2x+b的图象上，且﹣2＜3，∴y1＞y2．故选：A．【典例2】（2021秋•毕节市期末）直线y＝mx﹣n经过二、三、四象限，则直线y＝nx+m的图象只能是图中的（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵直线y＝mx﹣n经过二、三、四象限，∴m＜0，n＞0，∴直线y＝nx+m的图象经过第一、三、四象限，故选：A．【变式2-1】（2022•长兴县开学）直线y＝kx+b经过二、三、四象限，则直线y＝﹣bx+k的图象只能是图中的（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵直线y＝kx+b经过二、三、四象限，∴k＜0，b＜0，∴直线y＝﹣bx+k的图象经过第一、三、四象限，故选：D．【变式2-2】（2021秋•玉门市期末）已知正比例函数y＝kx的图象经过第一、三象限，则一次函数y＝kx﹣k的图象可能是如图中的（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过第一、三象限，∴k＞0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过第一、三、四象限．故选：D．【变式2-3】（2021秋•鄞州区期末）一次函数y＝（m﹣3）x+m+2的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围在数轴上表示为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：由题意：由题意：，解得﹣2＜x＜3故选：C．【考点2一次函数中的规律探究题】【典例3】（2021春•鄂州期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1交x轴于点A，交y轴于点A1，A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第10个等腰直角三角形是A10B9B10，其点B10的横坐标为（）A．512 B．1023 C．2047 D．2048【答案】B【解答】解：直线y＝x+1与x轴、y轴的交点分别为（﹣1，0），（0，1），∴OA1＝1，∵△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，∴B1（1，0），∴A2（1，2），∴A2B1＝2，∴B2（3，0），∴A3（3，4），∴A3B2＝4，∴B3（7，0），……∴顶点Bn的坐标为Bn（2n﹣1，0），∴点B10的横坐标为：210﹣1＝1023．故选：B．【变式3-1】（2020秋•南海区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…，都在x轴正半轴上，点B1，B2，B3，…，都在直线y＝x上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…，都是等边三角形，且OA1＝1，则点B6的纵坐标是．【答案】16【解答】解：过B1作B1C⊥x轴于C，过B2作B2D⊥x轴于D，过B3作B3E⊥x轴于E，如图所示：设△BnAnAn+1的边长为an，则A1C＝A2C＝A1A2，A2D＝A3D＝A2A3，…，∴B1C＝a1，B2D＝a2，B3E＝a3，…，∵点B1，B2，B3，…是直线y＝x上的第一象限内的点，∴∠AnOBn＝30°，又∵△AnBnAn+1为等边三角形，∴∠BnAnAn+1＝60°，∴∠OBnAn＝30°，∠OBnAn+1＝90°，∴BnBn+1＝OBn＝an，∵OA1＝1，∴点A1的坐标为（1，0），∴a1＝1，a2＝1+1＝2，a3＝1+a1+a2＝4，a4＝1+a1+a2+a3＝8，…，∴an＝2n﹣1，∴a6＝32，∴点B6的纵坐标为a6＝×32＝16，故答案为：16．【变式3-2】（2015•东营）如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为1的等边三角形，点A在x轴上，点O，B1，B2，B3，…都在直线l上，则点A2015的坐标是．【答案】（，）【解答】解：过B1向x轴作垂线B1C，垂足为C，由题意可得：A（1，0），AO∥A1B1，∠B1OC＝30°，∴CB1＝OB1cos30°＝，∴B1的横坐标为：，则B1的纵坐标为：，∴点B1，B2，B3，…都在直线y＝x上，∴B1（，），等边三角形边长为1可得出：A的横坐标为：1，∴y＝，∴A2（2，），…An（1+，）．∴A2015（，）．故答案为（，）．【典例4】（2021春•饶平县校级期末）如图，正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按其所示放置，点A1，A2，A2，…和C1，C2，C3，…分别在直线y＝x+1和x轴上，则点B2020的横坐标是．【答案】22020﹣1【解答】解：当x＝0时，y＝x+1＝1，∴A（0，1），∴直线与x轴的交点（﹣1，0），∵四边形A1OC1B1是正方形，∴OC1＝C1B1＝1，∠OC1B1＝90°，∴B1（1，1），易得△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、△A4B4A5……均是等腰直角三角形，可得：每一个正方形的边长都是它前一个正方形边长的2倍，因此：B2的横坐标为1+1×2＝1+2＝20+21＝3＝22﹣1，B3的横坐标为1+1×2+2×2＝1+2+4＝20+21+22＝7＝23﹣1，B4的横坐标为24﹣1，B5的横坐标为25﹣1，……B2020的横坐标为22020﹣1，故答案为：22020﹣1．【变式4-1】（2021春•汝阳县期末）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x﹣1与x轴交于点A1，如图所示，依次作正方形A1B1C1O，正方形A2B2C2C1，…，正方形AnBn∁nCn﹣1，使得点A1，A2，A3，…，在直线l上，点C1，C2，C3，…，在y轴正半轴上，则点B2021的坐标为（）A．（22020，22021﹣1） B．（22021，22021） C．（22021，22022﹣1） D．（22020，22021+1）【答案】A【解答】解：当y＝0时，有x﹣1＝0，解得：x＝1，∴点A1的坐标为（1，0）．∵四边形A1B1C1O为正方形，∴点B1的坐标为（1，1）．同理，可得出：A2（2，1），A3（4，3），A4（8，7），A5（16，15），…，∴B2（2，3），B3（4，7），B4（8，15），B5（16，31），…，∴Bn（2n﹣1，2n﹣1）（n为正整数），∴点B2021的坐标为（22020，22021﹣1）．故选：A．【变式4-2】（2021•兴安盟）如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为1，过点B1作B1A1⊥x轴，垂足为A1，以A1B1为边向右作正方形A1B1C1A2，延长A2C1交直线l于点B2；以A2B2为边向右作正方形A2B2C2A3，延长A3C2交直线l于点B3；…；按照这个规律进行下去，点B2021的坐标为．【答案】（，）【解答】解：∵点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为1，过点B1作B1A1⊥x轴，垂足为A1，∴A1（1，0），B1（1，），∵四边形A1B1C1A2是正方形，∴A2（，0），B2（，），A3（，0），B3（，），A4（，0），B4（，），……An（，0），Bn（，），∴点B2021的坐标为（，），故答案为：（，）．1．（2021秋•西湖区校级期末）已知（﹣3，y1）（﹣1，y2），（，y3）是直线y＝﹣x+2上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y1＞y2【答案】A【解答】解：∵k＝﹣＜0，∴y随x的增大而减小，又∵（﹣3，y1）（﹣1，y2），（，y3）是直线y＝﹣x+2上的三个点，﹣3＜﹣1＜，∴y1＞y2＞y3．故选：A．2．（2021秋•合肥期末）若点A（x1，y1）和B（x2，y2）都在一次函数y＝（k﹣1）x+2（k为常数）的图象上，且当x1＜x2时，y1＞y2，则k的值可能是（）A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝3【答案】A【解答】解：∵点A（x1，y1）和B（x2，y2）都在一次函数y＝（k﹣1）x+2（k为常数）的图象上，且当x1＜x2时，y1＞y2，即y随x的增大而减小，∴k﹣1＜0，∴k＜1，∴k的值可能是0．故选：A．3．（2021秋•阳山县期末）若直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，则函数y＝bx﹣k的大致图象是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，∴k＜0，b＞0，∴b＞0，﹣k＞0，∴一次函数y＝bx﹣k图象第一、二、三象限，故选：B．4．（2021秋•三水区期末）若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则一次函数y＝bx+k的图象大致是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：一次函数y＝kx+b过一、二、四象限，则函数值y随x的增大而减小，因而k＜0；图象与y轴的正半轴相交则b＞0，因而一次函数y＝bx﹣k的一次项系数b＞0，y随x的增大而增大，经过一三象限，常数项k＜0，则函数与y轴负半轴相交，因而一定经过一三四象限，故选：D．5.（2021秋•苏州期末）若一次函数y＝（m﹣1）x﹣1的图象经过第一、三、四象限，则m的值可能为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2【答案】D【解答】解：∵一次函数y＝（m﹣1）x﹣1的图象经过第一、三、四象限，∴m﹣1＞0，∴m＞1，∴m的值可能为2．故选：D．6．（2021秋•亳州月考）已知一次函数y＝kx﹣k，当k＜0时，图象过第几象限？（）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限【答案】B【解答】解：∵kB＜0，∴﹣k＞0，∴a＜0，b＞0，∴一次函数的图象经过第一、二、四象限．故选：B．7．（2021春•永年区期末）已知一次函数y＝ax+b，ab＞0，且y随x的增大而增大，则此图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解答】解：∵一次函数y＝ax+b，ab＞0，且y随x的增大而增大，∴a、b同号且a＞0，∴a＞0，b＞0，∴该函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故选：D．8．（2021秋•东阳市期末）请你写出一个图象过点（0，2）且y随x的增大而减小的一次函数的表达式：．【答案】y＝﹣x+2（答案不唯一）【解答】解：设函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），∵图象经过点（0，2），∴b＝2，又∵y随x的增大而减小，∴k＜0，可取k＝﹣1．这样满足条件的函数可以为：y＝﹣x+2．故答案为：y＝﹣x+2（答案不唯一）9．（2015•六盘水）正方形A1B1C1O和A2B2C2C1按如图所示方式放置，点A1，A2在直线y＝x+1上，点C1，C2在x轴上．已知A1点的坐标是（0，1），则点B2的坐标为．【答案】（3，2）【解答】解：∵直线y＝x+1，当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝﹣1，∴OA1＝1，OD＝1，∴∠ODA1＝45°，∴∠A2A1B1＝45°，∴A2B1＝A1B1＝1，∴A2C1＝C1C2＝2，∴OC2＝OC1+C1C2＝1+2＝3，∴B2（3，2）．故答案为（3，2）．10．（2020•北碚区模拟）如图，已知直线l：，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为（）A．（0，128） B．（0，256） C．（0，512） D．（0，1024）【答案】B【解答】解：∵直线l的