《数学归纳法》示范公开课教案【高中数学苏教版教学设计】

第四章数列《数学归纳法》教学设计教学目标教学目标1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的命题．教学重难点教学重难点重点：数学归纳法证明的原理及基本步骤．难点：基本步骤的第二步推演过程．教学过程教学过程一.情境引入问题1：已知数列an满足a1=1，an+1=12−an答案：已知反映相邻两项关系的递推公式，又已知首项，那么就可以求出该数列的每一项．令n=1，就有a2=12−a1，把a1=1代入，可得a2=1．同理，令n=追问1：仅通过前几项能得出所有的结果吗？这样得出的猜想一定正确吗？答案：仅通过前几项不能得出所有的结果，这样得出的猜想不一定正确.如：17世纪，法国大数学家费马发现，对于22n+1这个数，分别验证n追问2：该如何证明这个猜想呢？答案：一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证.但当n较大时，验证起来会很麻烦.尤其是我们这里要证明n取所有正整数都成立，这是一个无限的问题，逐一验证是不可能的，我们无法用常规方法严格证明.因此，我们很有必要寻求一种新的方法，这种方法能让我们通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立.二、新知探究问题2：将多米诺骨牌按一定间距排成一行，怎么做能让骨牌都倒下？答案：可通过动手操作发现将骨牌保持适当的间距，碰倒第一块骨牌，骨牌都会倒下．追问1：如果碰倒第一块骨牌，是不是其余的骨牌都将被依次推倒呢？答案：若骨牌间距过大，导致前一块骨牌无法推倒后一块骨牌，那就不能使所有骨牌都倒下．因此要让相邻两个骨牌之间保持合适的间距，这个间距要能保证任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定能导致后一块倒下．追问2：如果保证了前一块一定能把后一块推倒，那么它们倒了吗？答案：如果第一块骨牌不倒，那么后面的骨牌自然也不会倒．所以第一块骨牌倒下，给所有骨牌倒下提供了基础，这个条件必不可少．进而归纳得出使所有骨牌都倒下的条件有两个：（1）第一块骨牌已倒；（2）前一块倒下一定能导致后一块倒下．追问3：条件（1）与条件（2）有何联系？答案：如果要从第一块开始所有骨牌都倒下，就要保证“，如果前一块倒下，那么后一块也能跟着倒下．”为了表示起来更方便，引入一个字母k，表述上把“前一块”给换成“第k块”．条件（2）就是若第k块倒，则第k+1块也一定能倒．关于k的取值，首先它是正整数，其次，还必须保证k能取从1开始的正整数，所以k≥1．类似的，如果要求从第二块开始后面的骨牌都倒下，那么需要满足的条件是第二块骨牌已经倒下，并且从第二块开始，前一块倒下一定能导致后一块倒下，即k≥2．一般的，如果要求从第n0n0∈N∗块开始，后面的骨牌都倒下，那么需要满足的条件是：第n0块骨牌已经倒下，并且从第n追问4：多米诺骨牌游戏与证明猜想“数列an的通项公式是a答案：一方面，为了保证所有骨牌都倒下，两个条件缺一不可.而问题1中“a1=1”和“an+1=12−ann∈N∗”这两个条件但凡有一个不知道，就无法写出任意一项．另一方面，问题1中之所以可以顺利地依次根据前一项写出后一项，问题3：类比骨牌原理，证明问题1中的猜想需要几步？答案：需要分成两步．追问1：多米诺骨牌游戏的条件（1）是确保第一块已经倒下．那么猜想的证明中第一步应该是什么呢？答案：第一步应该证明猜想在n=1时成立．追问2：骨牌原理的条件（2）是确保“如果第k块骨牌倒下，那么第k+1块骨牌也能倒下．”类似的，猜想的证明中就是要证明什么呢？答案：第二步应该证明若n=k时猜想成立，则n=k+1时猜想也成立.如果能证明这一点，那么就可以由“n=1时猜想成立”推出“n=2时猜想成立”，再由“n=2时猜想成立”推出“n=3时猜想成立”，依此类推，就可以使这个猜想成立的范围从1开始，向后一个数接一个数地传递到1以后地每一个数，从而完成证明．问题4：你能从这个具体问题的解决办法中，抽象概括出数学归纳法的一般证明过程吗？答案：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）证明当n=n0n0∈N∗时命题成立；（2）以“当n=k（k∈N∗，k≥n0）时命题成立”为条件，推出“当追问1：所有命题都是从n=1开始成立吗？答案：证明起点的选择不一定要取1，而是取证明命题成立的最小正整数.如：用数学归纳法证明命题“凸多边形的内角和为(n-2)180。”应从n=3开始验证．所以，证明的第一步是：证明当n=n追问2：第二步中的k是怎样的正整数？答案：k应该是大于或等于n0的正整数，不能把“k≥n0”改成“k＞n0”．追问3：数学归纳法适用于怎样的数学问题?答案：数学归纳法用于证明一个与正整数n有关的命题，可以将这个关于正整数n的命题记为P(n)．追问4：数学归纳法这两个步骤之间有关系吗？答案：这两个步骤之间既相互依存，又彼此联系，是一个有机的整体.第一步验证了当n=n0时这个命题成立，即Pn0为真.第二步是假设假设Pkk∈N∗，k≥n0为真，由“P三、应用举例例1用数学归纳法证明：若等差数列an中，a1为首项，d为公差，则通项公式为证明：(1)当n=1时，等式左边=a1，等式右边=a1+0×d=(2)假设当n=k时，等式①成立，即ak=a1+k−1ak+1这就是说，当n=k+1时等式①也成立．根据(1)和(2)可知，对任何n∈N∗，等式想一想：数学归纳法中的两个步骤都必要吗？答案：第一步是命题递推的基础，确定了n=n0时命题成立，n=n0成为后面递推的出发点，没有它，递推就成为无源之水．就好比多米诺骨牌，只有推倒其中一块骨牌，后面的骨牌才有可能倒．我们把第一步称为是归纳奠基．而第二步是命题递推的依据，即确认一种递推关系，好比是多米诺骨牌游戏中，如果第k块骨牌倒下，那么要保证第k+1块骨牌也能倒下，再加之k的任意性，即保证了骨牌倒下去的传递性．类似地，借助第二步，命题成立的范围就能从正整数n0开始，向后一个数接一个数地无限传递到n0以后的每一个正整数，从而完成证明．所以，我们把第二步称为是归纳递推．“归纳奠基”和“归纳递推”这两个步骤缺一不可．例２用数学归纳法证明：当n∈N∗时，证明：(1)当n=1时，等式左边=1，等式右边=1，等式成立．(2)假设当n=k时等式成立，即1+3+5+⋯+2k−1那么，当n=k+1时，有1+3+5+⋯+2k−1这就是说，当n=k+1时等式也成立．根据(1)和(2)可知，对任何n∈N∗，等式例３用数学归纳法证明：当n∈N∗时，证明：(1)当n=1时，12=1，1×(2)假设当n=k时等式成立，即12那么，当n=k+1时，有12所以当n=k+1时等式也成立．根据(1)和(2)可知，对任何n∈N四、课堂练习1.求证：1−2.用数学归纳法证明：1×4+2×7+3×10+⋯+n3n+1=n参考答案：１.证明：(1)当n=1时，左边＝1−12=1假设当n=kk≥1时等式成立，即1−则当n=k+1时，1−即当n=k+1时等式也成立．根据(1)和(2)可知，对任何n∈N2.证明：(1)当n=1时，左边＝1×4=4，右边＝1×(2)假设当n=kn∈N∗时等式成