《等差数列的前n项和(1)》示范课教案【高中数学苏教版教学设计】

第四章数列《等差数列的前n项和(1)》教学设计教学目标教学目标1.探索并掌握等差数列的前n项和公式，并会应用其解决相关问题；2.体会等差数列前n项和公式的推导过程；3.借助等差数列前n项和公式的推导及应用，培养学生逻辑推理、数学运算等核心素养.教学重难点教学重难点重点：等差数列的前n项和公式．难点：等差数列的前n项和公式的推导．教学过程教学过程一、新课导入情境：如图，这是某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根，怎样计算这堆钢管的总数呢？直接列式计算：4+5+6+7+8+9=39.追问：如果总数较大如何计算呢？有没有更简便的求和的方法？ 4，5，6，7，8，9是等差数列，这节课我们一起来研究等差数列的求和问题.设计意图：通过实际情境引入本节课要学习的等差数列的求和问题，激发学生的学习兴趣和求知欲．二、新知探究问题1：这堆钢管一共有几层？它的横截面是什么形状？答案：共有6层；横截面是等腰梯形.问题2：假设在这堆钢管旁边再倒放上捆扎着的同样一堆钢管，如图所示，则这样共有多少根钢管？追问1：每一层的钢管数均为：4+9=13(根).答案：(4+9)×6=78(根).追问2：原来有多少根钢管？答案：6×4+9追问3：从上面的求和过程中你能得到什么启示？答案：等差数列可以通过“倒序相加”的方法求和.问题3：上述方法可以推广到求等差数列{an}的前n一般地，对于数列an，把a1+a2+a3答案：设等差数列an的首项为a1，公差为dSn=a1把各项的次序反过来，SnSn=①+②，得2S由此可得等差数列an的前n项和公式S公式表明：等差数列前n项和等于首末两项和的一半的n倍.思考：如果已知等差数列首项a1，公差d可以求得前n项和S答案：将等差数列的通项公式an=a1+(n−1)d代入Sn归纳：等差数列的求和公式为Sn=n交流：等差数列的前n项和公式中共涉及哪几个相关量？这几个量分别表示什么？这几个相关量中，已知几个可以求出其他几个？答案：等差数列的前n项和公式中有五个量：首项a1，公差d，项数n，末项an，前n项和Sn，这五个量可以“设计意图：通过问题探究让学生了解等差数列的求和公式的推导过程，培养学生的逻辑推理、数学运算等核心素养．三、应用举例设Sn为等差数列an的前n（1）已知a1=3，a50（2）已知a1=3，公差d=解：（1）根据等差数列前n项和公式，得S50（2）S10例2在等差数列an中，已知公差d=12，an=32，列前n解：由题意得a由②，得a1=代入①后化简，得n2解得n=10或−3(舍去)，例3在等差数列an解：设等差数列的前n项和为Sn，公差为d.S10即10解得a所以a21=a21即第21项到第30项的和为1510.思考：还有其它的方法能解决上面的问题吗？分析：设等差数列的前n项和为Sn，公差为dS10=aS20−SS30−由上可得②−①=③−②=100所以S10，S20−S10，S由S10=310，S所以S30即第21项到第30项的和为1510.思考：通过上面的方法，你能得到什么结论？结论：若等差数列an的前n项和为Sn，公差为d.则Sn，S2n−Sn设计意图：通过例题，进一步熟悉等差数列的求和公式，并能灵活运用等差数列的求和公式解决相关问题．四、课堂练习1.已知数列an是等差数列（1）若a1=7，（2）若a1=2，2.某商店的售货员想在货架上用三角形排列方式展示一种罐头饮料，底层放置15个罐头，第2层放置14个罐头，第3层放置13个罐头……顶层放置1个罐头，这样的摆法需要多少个罐头？3.设等差数列an的前n项和为Sn，若S8=100参考答案：1.解：（1）S（2）由a1=2，a22.解：设货架上的罐头从底层到顶层，各层的罐头数依次排成一列，构成数列an，其前n项和为Sn，根据题意得a1=S所以，这样的摆法需要120个罐头3.解：（方法1）S8=100，S168a1所以a24=S24方法2：等差数列an的前n项和为SS8，S16−S因为S8=100，S则新数列的公差为：292−所以S24所以S24五、课堂小结求数列的基本量的基本方法是构建方程或方程组